Алгебра фон Неймана

«Операторское кольцо» перенаправляется сюда. Не путать с оператором вызова или помощью оператора .

В математике алгебра фон Неймана или W*-алгебра — это *-алгебра ограниченных операторов в гильбертовом пространстве , замкнутая в слабой операторной топологии и содержащая тождественный оператор . Это особый тип C*-алгебры .

Алгебры фон Неймана были первоначально введены Джоном фон Нейманом , мотивированным его изучением одиночных операторов , групповых представлений , эргодической теории и квантовой механики . Его теорема о двойном коммутанте показывает, что аналитическое определение эквивалентно чисто алгебраическому определению как алгебры симметрий.

Два основных примера алгебр фон Неймана таковы:

• Кольцо $L^{\infty }(\mathbb {R} )$ существенно ограниченных измеримых функций на вещественной прямой является коммутативной алгеброй фон Неймана, элементы которой действуют как операторы умножения путем поточечного умножения в гильбертовом пространстве. $L^{2}(\mathbb {R} )$ квадратом функций, интегрируемых с .
• Алгебра ${\mathcal {B}}({\mathcal {H}})$ всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве ${\mathcal {H}}$ является алгеброй фон Неймана, некоммутативной, если гильбертово пространство имеет размерность не менее $2$.

Алгебры фон Неймана были впервые изучены фон Нейманом (1930) в 1929 году; он и Фрэнсис Мюррей разработали базовую теорию под первоначальным названием колец операторов в серии статей, написанных в 1930-х и 1940-х годах (Ф. Дж. Мюррей и Дж. фон Нейман , 1936 , 1937 , 1943 ; Дж. фон Нейман , 1938 , 1940). , 1943 , 1949 ), перепечатано в собрании сочинений фон Неймана (1961) .

Вводные описания алгебр фон Неймана приведены в онлайн-заметках Джонса (2003) и Вассермана (1991) , а также в книгах Диксмье (1981) , Шварца (1967) , Блэкадара (2005) и Сакаи (1971) . Трехтомная работа Такесаки (1979) дает энциклопедическое изложение теории. В книге Конна (1994) обсуждаются более сложные темы.

Определения

Есть три распространенных способа определения алгебр фон Неймана.

Первый и наиболее распространенный способ — определить их как слабо замкнутые *-алгебры ограниченных операторов (в гильбертовом пространстве), содержащие единицу. В этом определении слабая (операторная) топология может быть заменена многими другими распространенными топологиями, включая сильную , сверхсильную или сверхслабую операторную топологию. *-алгебры ограниченных операторов, замкнутые в топологии нормы, являются C*-алгебрами , поэтому, в частности, любая алгебра фон Неймана является C*-алгеброй.

Второе определение состоит в том, что алгебра фон Неймана — это подалгебра ограниченных операторов, замкнутая относительно инволюции (*-операции) и равная своему двойному коммутанту или, что то же самое, коммутанту некоторой подалгебры, замкнутой относительно *. Теорема фон Неймана о двойном коммутанте ( фон Нейман, 1930 ) утверждает, что первые два определения эквивалентны.

Первые два определения описывают алгебру фон Неймана конкретно как набор операторов, действующих в некотором заданном гильбертовом пространстве. Сакаи (1971) показал, что алгебры фон Неймана также могут быть определены абстрактно как C*-алгебры, имеющие предуальную ; другими словами, алгебра фон Неймана, рассматриваемая как банахово пространство , является двойственной к некоторому другому банаховому пространству, называемому предуальным. Предуальная алгебра фон Неймана на самом деле единственна с точностью до изоморфизма. Некоторые авторы используют «алгебру фон Неймана» для алгебр вместе с действием в гильбертовом пространстве и «W*-алгебру» для абстрактного понятия, поэтому алгебра фон Неймана представляет собой W*-алгебру вместе с гильбертовым пространством и подходящей точной унитарное действие в гильбертовом пространстве. Конкретные и абстрактные определения алгебры фон Неймана аналогичны конкретным и абстрактным определениям С*-алгебры, которая может быть определена либо как замкнутая по норме *-алгебра операторов в гильбертовом пространстве, либо как банахова *-алгебра. такой, что || аа* ||=|| а || || а* ||.

Терминология

Некоторая терминология в теории алгебры фон Неймана может сбивать с толку, и эти термины часто имеют разные значения вне предмета.

• Фактор — это алгебра фон Неймана с тривиальным центром, т. е. центром, состоящим только из скалярных операторов.
• Конечная . алгебра фон Неймана - это алгебра, которая является прямым интегралом конечных факторов (это означает, что алгебра фон Неймана имеет точное нормальное состояние следа) $\tau :M\rightarrow \mathbb {C}$). Точно так же собственно бесконечные алгебры фон Неймана являются прямым интегралом собственно бесконечных факторов.
• Алгебра фон Неймана, действующая в сепарабельном гильбертовом пространстве, называется сепарабельной . Заметим, что такие алгебры редко бывают сепарабельными в топологии нормы.
• Алгебра фон Неймана, порожденная набором ограниченных операторов в гильбертовом пространстве, является наименьшей алгеброй фон Неймана, содержащей все эти операторы.
• Тензорное произведение двух алгебр фон Неймана, действующих на двух гильбертовых пространствах, определяется как алгебра фон Неймана, порожденная их алгебраическим тензорным произведением, рассматриваемым как операторы в тензорном произведении гильбертова пространства гильбертовых пространств.

Забыв о топологии алгебры фон Неймана, мы можем считать ее (единичной) *-алгеброй или просто кольцом. Алгебры фон Неймана полунаследственны : каждый конечно порожденный подмодуль проективного модуля сам по себе проективен. Было предпринято несколько попыток аксиоматизировать основные кольца алгебр фон Неймана, включая *-кольца Бэра и AW*-алгебры . присоединенных *-алгебра операторов конечной алгебры фон Неймана является регулярным кольцом фон Неймана . (Сама алгебра фон Неймана, вообще говоря, не является регулярной по фон Нейману.)

фон

Основная статья: абелева алгебра фон Неймана

Связь между коммутативными алгебрами фон Неймана и пространствами с мерой аналогична связи между коммутативными С*-алгебрами и локально компактными хаусдорфовыми пространствами . Любая коммутативная алгебра фон Неймана изоморфна L ^∞ ( X ) для некоторого пространства с мерой ( X , µ) и наоборот, для любого σ-конечного пространства с мерой X *-алгебра L ^∞ ( X ) — алгебра фон Неймана.

Благодаря этой аналогии теорию алгебр фон Неймана назвали некоммутативной теорией меры, а теорию C*-алгебр иногда называют некоммутативной топологией ( Connes 1994 ).

Прогнозы

Операторы E в алгебре фон Неймана, для которых E = EE = E* , называются проекциями ; это в точности операторы, которые дают ортогональную проекцию H на некоторое замкнутое подпространство. подпространство гильбертова пространства H Говорят, что принадлежит алгебре фон Неймана M, если оно является образом некоторого проектора в M . Это устанавливает соответствие 1:1 между проекциями M и подпространствами, принадлежащими M . Неформально это закрытые подпространства, которые можно описать с помощью элементов M или о которых M «знает».

что замыкание образа любого оператора из M и ядро ​​любого оператора из M принадлежит M. Можно показать , Кроме того, замыкание образа под оператором M любого подпространства, принадлежащего M, также принадлежит M . (Эти результаты являются следствием полярного разложения ).

Сравнительная теория проекций

Основная теория проекций была разработана Мюрреем и фон Нейманом (1936) . Два подпространства, принадлежащие M , называются ( Мюррея – фон Неймана ) эквивалентными , если существует частичная изометрия, изоморфно отображающая первое на другое, которое является элементом алгебры фон Неймана (неформально, если M «знает», что подпространства изоморфны) . Это индуцирует естественное отношение эквивалентности в проекциях, определяя E как эквивалентное F, если соответствующие подпространства эквивалентны или, другими словами, если существует частичная изометрия H , которая изометрически отображает образ E в образ F и является элемент алгебры фон Неймана. Другой способ заявить это состоит в том, что E эквивалентно F , если E=uu* и F=u*u для некоторой частичной изометрии u в M .

Определенное таким образом отношение эквивалентности ~ является аддитивным в следующем смысле: предположим, что E ₁ ~ F ₁ и E ₂ ~ F ₂ . Если E1 _​ ⊥ E2 _​ и F1 _E2 ⊥ F2 _​ , E1 _​ + ​ _​ ~ F1 _​ + F2 _то . Аддитивность вообще не была бы справедливой, если бы требовалось унитарная эквивалентность в определении ~, т. е. если бы мы сказали, что E эквивалентно F, если u*Eu = F для некоторого унитарного u . Теоремы Шредера –Бернштейна для операторных алгебр дают достаточное условие эквивалентности Мюррея–фон Неймана.

Подпространства, принадлежащие M, частично упорядочены по включению, что приводит к частичному порядку ≤ проекторов. Существует также естественный частичный порядок на множестве классов эквивалентности проекторов, индуцированный частичным порядком ≤ проекторов. Если M — фактор, ≤ — это полный порядок классов эквивалентности проекций, описанный в разделе о следах ниже.

Проекция (или подпространство, принадлежащее M ) E называется конечной проекцией, если не существует проекции F < E (то есть F ≠ E и F ≠ E ), эквивалентной E . Например, все конечномерные проекции (или подпространства) конечны (поскольку изометрии между гильбертовыми пространствами оставляют размерность фиксированной), но тождественный оператор в бесконечномерном гильбертовом пространстве не конечен в алгебре фон Неймана всех ограниченных операторов на это, поскольку оно изометрически изоморфно собственному подмножеству самого себя. Однако бесконечномерные подпространства могут быть конечными.

Ортогональные проекции являются некоммутативными аналогами индикаторных функций в L ^∞ ( Р ). л ^∞ ( R ) является ||·|| _∞ -замыкание подпространства, порожденного индикаторными функциями. Точно так же алгебра фон Неймана порождается своими проекциями; это является следствием спектральной теоремы для самосопряженных операторов .

Проекции конечного фактора образуют непрерывную геометрию .

Факторы

Алгебра фон Неймана N которой , центр состоит только из кратных единичному оператору, называется фактором . Как показал фон Нейман (1949) , каждая алгебра фон Неймана в сепарабельном гильбертовом пространстве изоморфна прямому интегралу факторов. Это разложение по существу уникально. Таким образом, задача классификации классов изоморфизма алгебр фон Неймана на сепарабельных гильбертовых пространствах сводится к классификации классов изоморфизма факторов.

Мюррей и фон Нейман (1936) показали, что каждый фактор имеет один из трех типов, описанных ниже. Классификация типов может быть распространена на алгебры фон Неймана, которые не являются факторами, и алгебра фон Неймана имеет тип X, если ее можно разложить как прямой интеграл факторов типа X; например, каждая коммутативная алгебра фон Неймана имеет тип I ₁ . Любую алгебру фон Неймана можно однозначно записать как сумму алгебр фон Неймана типов I, II и III.

Существует несколько других способов разделения факторов на классы, которые иногда используются:

• Фактор называется дискретным (или иногда ручным ), если он имеет тип I, и непрерывным (или иногда диким ), если он имеет тип II или III.
• Фактор называется полуконечным , если он имеет тип I или II, и чисто бесконечным, если он имеет тип III.
• Фактор называется конечным, если проекция 1 конечна и собственно бесконечна в противном случае. Факторы типов I и II могут быть как конечными, так и собственно бесконечными, но факторы типа III всегда собственно бесконечны.

Факторы

Говорят, что фактор относится к типу I, если существует минимальная проекция E ≠ 0 , то есть проекция E такая, что не существует другой проекции F с 0 < F < E . Любой фактор типа I изоморфен алгебре фон Неймана всех ограниченных операторов в некотором гильбертовом пространстве; существует одно гильбертово пространство поскольку для каждого кардинального числа , классы изоморфизма факторов типа I точно соответствуют кардинальным числам. принято называть Поскольку многие авторы рассматривают алгебры фон Неймана только на сепарабельных гильбертовых пространствах, ограниченные операторы в гильбертовом пространстве конечной размерности n фактором типа I _n , а ограниченные операторы в сепарабельном бесконечномерном гильбертовом пространстве - фактор типа I _∞ .

Факторы

Фактор называется типом II , если не существует минимальных проекций, но есть ненулевые конечные проекции . Это означает, что каждую проекцию E можно «делить пополам» в том смысле, что существуют две проекции F и G , которые эквивалентны Мюррею – фон Нейману и удовлетворяют E = F + G . Если тождественный оператор в факторе типа II конечен, говорят, что фактор имеет тип II ₁ ; в противном случае говорят, что он имеет тип II _∞ . Наиболее изученными факторами типа II являются типа II ₁ гиперконечный фактор и типа II _∞ гиперконечный фактор , обнаруженные Мюрреем и фон Нейманом (1936) . Это уникальные гиперконечные факторы типов II ₁ и II _∞ ; существует бесчисленное множество других факторов этого типа, которые являются предметом интенсивного изучения. Мюррей и фон Нейман (1937) доказали фундаментальный результат о том, что фактор типа II ₁ имеет единственное конечное следовое состояние, а множество следов проекций равно [0,1].

Фактор типа II _∞ имеет полуконечный след, единственный с точностью до масштабирования, а множество следов проекций равно [0,∞]. Множество действительных чисел λ, для которых существует автоморфизм, масштабирующий след в λ раз, называется фундаментальной группой фактора типа II _∞ .

Тензорное произведение фактора типа II ₁ и бесконечного фактора типа I имеет тип II _∞ , и наоборот, любой фактор типа II _∞ может быть построен таким образом. Фундаментальная группа фактора типа II ₁ определяется как фундаментальная группа его тензорного произведения с бесконечным (сепарабельным) фактором типа I. В течение многих лет оставалась открытой проблема найти фактор типа II, фундаментальная группа которого не была группа положительных вещественных чисел , но Конн затем показал, что групповая алгебра фон Неймана счетной дискретной группы со свойством Каждана (T) (тривиальное представление изолировано в дуальном пространстве), такой как SL(3, Z ), имеет счетная фундаментальная группа. Впоследствии Сорин Попа показал, что фундаментальная группа может быть тривиальной для некоторых групп, включая полупрямое Z произведение ² по SL(2, Z ).

Примером фактора типа II ₁ является групповая алгебра фон Неймана счетной бесконечной дискретной группы такой, что каждый нетривиальный класс сопряженности бесконечен. Макдафф (1969) нашел несчетное семейство таких групп с неизоморфными групповыми алгебрами фон Неймана, показав тем самым существование бесчисленного множества различных сепарабельных _{типа II 1} факторов .

Факторы

Наконец, факторы типа III — это факторы, которые вообще не содержат ненулевых конечных проекций. В своей первой статье Мюррей и фон Нейман (1936) не смогли решить, существуют они или нет; первые примеры были позже найдены фон Нейманом (1940) . Поскольку тождественный оператор всегда бесконечен в этих факторах, в прошлом их иногда называли типом III _∞ , но недавно это обозначение было заменено обозначением III _λ , где λ — действительное число в интервале [0,1]. Точнее, если спектр Конна (его модулярной группы) равен 1, то фактор имеет тип III ₀ , если спектр Конна представляет собой все целые степени λ для 0 < λ < 1, то тип — III _λ , и если Спектр Конна - все положительные действительные числа, тогда тип III ₁ . (Спектр Конна представляет собой замкнутую подгруппу положительных вещественных чисел, поэтому это единственные возможности.) Единственный след на факторах типа III принимает значение ∞ на всех ненулевых положительных элементах, и любые две ненулевые проекции эквивалентны. Когда-то факторы типа III считались трудноразрешимыми объектами, но Теория Томиты-Такесаки привела к хорошей структурной теории. В частности, любой фактор типа III можно каноническим образом записать как скрещенное произведение фактора типа II _∞ и действительных чисел.

Предуальный

Любая алгебра фон Неймана M имеет предуальное M _∗ является банаховым пространством всех ультраслабо непрерывных линейных функционалов на M. , которое Как следует из названия, M (как банахово пространство) является двойственным своему предуалу. Предуальное пространство уникально в том смысле, что любое другое банахово пространство, двойственным которому является M, канонически изоморфно M _∗ . Сакаи (1971) показал, что существование предуала характеризует алгебры фон Неймана среди алгебр C*.

Определение предуала, данное выше, по-видимому, зависит от выбора гильбертова пространства, на котором действует M , поскольку это определяет сверхслабую топологию. Однако предуальное также можно определить без использования гильбертова пространства, на котором действует M , определив его как пространство, порожденное всеми положительными нормальными линейными функционалами на M . (Здесь «нормальный» означает, что он сохраняет максимальные значения при применении к возрастающим сетям самосопряженных операторов или, что то же самое, к возрастающим последовательностям проекций.)

Предуальное M _∗ — это замкнутое подпространство двойственного M* (которое состоит из всех непрерывных по норме линейных функционалов на M ), но, как правило, меньшего размера. Доказательство того, что M _∗ (обычно) не то же самое, что M* , неконструктивно и существенно использует аксиому выбора; очень сложно явно указать элементы M* , которых нет в M _∗ . Например, экзотические положительные линейные формы на алгебре фон Неймана l ^∞ ( Z ) задаются свободными ультрафильтрами ; они соответствуют экзотическим *-гомоморфизмам в C и описывают Стоуна–Чеха Z компактификацию .

Примеры:

1. Предуал алгебры фон Неймана L ^∞ ( R ) существенно ограниченных на R функций является банаховым пространством L ¹ ( R ) интегрируемых функций. Двойник L ^∞ ( R ) строго больше, чем L ¹ ( R ) Например, функционал на L ^∞ ( R ), продолжающий меру Дирака δ ₀ на замкнутом подпространстве ограниченных непрерывных функций C ⁰ _b ( R ) не может быть представлено как функция из L ¹ ( Р ).
2. Предуал алгебры фон Неймана B ( H ) ограниченных операторов в гильбертовом пространстве H является банаховым пространством всех ядерных операторов со следовой нормой || А ||= Тр(| А |). Банахово пространство ядерных операторов само является двойственным С*-алгебре компактных операторов (которая не является алгеброй фон Неймана).

Веса, состояния и трассировки

Дополнительная информация: Некоммутативная мера и интегрирование.

Веса, состояния и следы их особых случаев подробно обсуждаются в ( Такесаки 1979 ).

• Вес ) в [0 , ω на алгебре фон Неймана — это линейное отображение множества положительных элементов (формы a*a ∞].
• Положительный линейный функционал — это вес с конечным ω(1) (или, скорее, расширение ω на всю алгебру по линейности).
• Состояние — это вес с ω(1) = 1.
• След — это вес с ω( aa* ) = ω( a*a ) для всех a .
• Следовое состояние — это след с ω(1) = 1.

Любой фактор имеет такой след, что след ненулевой проекции не равен нулю, а след проекции бесконечен тогда и только тогда, когда проекция бесконечна. Такая трасса уникальна с точностью до масштабирования. Для разделимых или конечных факторов две проекции эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же след. Тип фактора можно определить по возможным значениям этой трассы на проекциях фактора следующим образом:

• Введите I _n : 0, x , 2 x , ...., nx для некоторого положительного x (обычно нормируемого как 1/ n или 1).
• Тип I _∞ : 0, x , 2 x , ....,∞ для некоторого положительного x (обычно нормированного на 1).
• Тип II ₁ : [0, x ] для некоторого положительного x (обычно нормируемого как 1).
• Тип II _∞ : [0,∞].
• Тип III: {0,∞}.

Если алгебра фон Неймана действует в гильбертовом пространстве, содержащем вектор нормы 1 v , то функционал a → ( av , v ) является нормальным состоянием. Эту конструкцию можно перевернуть, чтобы задать действие в гильбертовом пространстве из нормального состояния: это конструкция GNS для нормальных состояний.

Модули с коэффициентом

Учитывая абстрактный сепарабельный фактор, можно потребовать классификации его модулей, то есть сепарабельных гильбертовых пространств, на которых он действует. Ответ дается следующим образом: каждому такому модулю H можно присвоить M -размерность dim _M ( H ) (а не его размерность как комплексного векторного пространства) такую, что модули изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую M -размерность. M - размерность аддитивна, и модуль изоморфен подпространству другого модуля тогда и только тогда, когда он имеет меньшую или равную M -размерность.

Модуль называется стандартным , если он имеет циклический разделяющий вектор. Каждый фактор имеет стандартное представление, единственное с точностью до изоморфизма. Стандартное представление имеет антилинейную инволюцию J такую, что JMJ = M ′ . Для конечных факторов стандартный модуль задается конструкцией GNS, примененной к уникальному нормальному состоянию следа, а M -размерность нормализуется так, что стандартный модуль имеет M -размерность 1, тогда как для бесконечных факторов стандартным модулем является модуль с M - размерность равна ∞.

Возможные M -размеры модулей задаются следующим образом:

• Тип I _n ( n конечный): M -размерность может быть любой из 0/ n , 1/ n , 2/ n , 3/ n , ..., ∞. Стандартный модуль имеет M -размерность 1 (и комплексную размерность n ² .)
• Тип I _∞ M - размерность может быть любой из 0, 1, 2, 3, ..., ∞. Стандартное представление B ( H ) — это H ⊗ H ; его M -размерность равна ∞.
• Тип II ₁ : M -размерность может быть чем угодно в [0, ∞]. Он нормирован так, что стандартный модуль имеет M -размерность 1. M -размерность также называется константой связи модуля H .
• Тип II _∞ : M -размерность может быть чем угодно в [0, ∞]. В целом не существует канонического способа его нормализации; фактор может иметь внешние автоморфизмы, умножающие M -размерность на константы. Стандартным представлением является представление с M -размерностью ∞.
• Тип III: M -размер может быть равен 0 или ∞. Любые два ненулевых модуля изоморфны, а все ненулевые модули стандартны.

фон

Конн (1976) другие доказали, что все следующие условия для алгебры фон Неймана M в сепарабельном гильбертовом пространстве H эквивалентны и :

• M является гиперконечной или AFD , или приблизительно конечномерной , или приблизительно конечной : это означает, что алгебра содержит возрастающую последовательность конечномерных подалгебр с плотным объединением. (Предупреждение: некоторые авторы используют слово «гиперконечный» в значении «AFD и конечный».)
• M аменабельен дифференцирования это означает, что все M со : значениями в нормальном двойственном банаховом бимодуле являются внутренними.
• M Шварца обладает свойством P : для любого ограниченного оператора T на H слабая операторная замкнутая выпуклая оболочка элементов uTu* содержит элемент, коммутирующий M. с
• M полудискретно : это означает , что тождественное отображение из M в M является слабым поточечным пределом вполне положительных отображений конечного ранга.
• M обладает свойством E или свойством расширения Хакеды–Томиямы : это означает, что существует проекция нормы 1 от ограниченных операторов на H на M '.
• М инъективно А : любое вполне положительное линейное отображение из любого самосопряженного замкнутого подпространства, содержащего единицу любой единичной С*-алгебры М , может быть расширено до вполне положительного отображения из А в М. в

Для приведенного выше класса алгебр не существует общепринятого термина; Конн предположил, что «поддающийся» должен быть стандартным термином.

Аменабельные факторы классифицированы: для каждого из типов I _n , I _∞ , II ₁ , II _∞ , III _λ существует единственный множитель при 0 < λ ⩽ 1, а множители типа III ₀ соответствуют определенным эргодическим факторам. течет. (Для типа III ₀ называть это классификацией немного вводит в заблуждение, поскольку известно, что не существует простого способа классифицировать соответствующие эргодические потоки.) Потоки типов I и II ₁ были классифицированы Мюрреем и фон Нейманом (1943). , а остальные были классифицированы Конном (1976) , за исключением случая типа III ₁ , который был завершен Хаагерупом.

Все аменабельные факторы могут быть построены с использованием конструкции пространства групповой меры Мюррея фон и Неймана для одного эргодического преобразования. Фактически это в точности множители, возникающие как скрещенные произведения свободных эргодических действий Z или Z/nZ на абелевых алгебрах фон Неймана L ^∞ ( Х ). Факторы типа I возникают, когда пространство меры X является атомарным , а действие транзитивным. Когда X является диффузным или неатомарным , оно эквивалентно [0,1] как пространству меры . Факторы типа II возникают, когда X допускает эквивалентную конечную (II ₁ ) или бесконечную (II _∞ ) меру, инвариантную относительно действия Z . Факторы типа III возникают в остальных случаях, когда нет инвариантной меры, а есть только класс инвариантной меры : эти факторы называются факторами Кригера .

алгебр фон

Тензорное произведение гильбертова пространства двух гильбертовых пространств является пополнением их алгебраического тензорного произведения. Можно определить тензорное произведение алгебр фон Неймана (пополнение алгебраического тензорного произведения алгебр, рассматриваемых как кольца), которое снова является алгеброй фон Неймана, и действовать на тензорное произведение соответствующих гильбертовых пространств. Тензорное произведение двух конечных алгебр конечно, а тензорное произведение бесконечной алгебры и ненулевой алгебры бесконечно. Тип тензорного произведения двух алгебр фон Неймана (I, II или III) является максимальным из их типов. Теорема коммутации для тензорных произведений утверждает, что

$(M\otimes N)^{\prime }=M^{\prime }\otimes N^{\prime },$

где M ′ обозначает коммутант M ​ .

Тензорное произведение бесконечного числа алгебр фон Неймана, если оно сделано наивно, обычно представляет собой смехотворно большую несепарабельную алгебру. Вместо этого фон Нейман (1938) показал, что нужно выбрать состояние на каждой из алгебр фон Неймана, использовать это для определения состояния алгебраического тензорного произведения, которое можно использовать для создания гильбертова пространства и (достаточно малого) пространства фон Неймана. алгебра. Араки и Вудс (1968) исследовали случай, когда все факторы являются конечными матричными алгебрами; эти факторы называются Араки-Вудса факторами или факторами ITPFI (ITPFI означает «бесконечное тензорное произведение конечных факторов типа I»). Тип бесконечного тензорного произведения может сильно меняться по мере изменения состояний; например, бесконечное тензорное произведение бесконечного числа факторов типа I ₂ может иметь любой тип в зависимости от выбора состояний. В частности, Пауэрс (1967) нашел несчетное семейство неизоморфных гиперконечных _λ- факторов типа III для 0 < λ < 1, называемых факторами Пауэрса , взяв бесконечное тензорное произведение типа I. ₂ фактора, состояние каждого из которых определяется следующим образом:

$x\mapsto {\rm {Tr}}{\begin{pmatrix}{1 \over \lambda +1}&0\\0&{\lambda \over \lambda +1}\\\end{pmatrix}}x.$

Все гиперконечные алгебры фон Неймана, не относящиеся к типу III _0, изоморфны факторам Араки–Вудса, но существует бесчисленное множество алгебр типа III _0, которые таковыми не являются.

Бимодули и субфакторы

Бимодуль (или соответствие) — это гильбертово пространство H с модульными действиями двух коммутирующих алгебр фон Неймана. Бимодули имеют гораздо более богатую структуру, чем у модулей. Любой бимодуль над двумя сомножителями всегда дает подмножитель, поскольку один из сомножителей всегда содержится в коммутанте другого. Существует также тонкая операция относительного тензорного произведения, связанная с Конном на бимодулях. Теория субфакторов, инициированная Воаном Джонсом , примиряет эти две, казалось бы, разные точки зрения.

Бимодули важны также для групповой алгебры фон Неймана M дискретной группы Γ. Действительно, если V — любое унитарное представление группы Γ, то, рассматривая Γ как диагональную подгруппу группы Γ × Γ, соответствующее индуцированное представление на l ² (Γ, V ) естественно является бимодулем для двух коммутирующих копий M . Важные теоретико-представительные свойства Γ могут быть полностью сформулированы в терминах бимодулей и, следовательно, имеют смысл для самой алгебры фон Неймана. определение аналога свойства Каждана (T) Например, Конн и Джонс дали таким образом для алгебр фон Неймана.

Неизлечимые факторы

Алгебры фон Неймана типа I всегда аменабельны, но для других типов существует бесчисленное количество различных неаменабельных факторов, которые, кажется, очень трудно классифицировать или даже отличить друг от друга. Тем не менее Войкулеску показал, что класс неаменабельных факторов, возникающий из конструкции пространства групповой меры, не пересекается с классом, происходящим из групповых алгебр фон Неймана свободных групп. Позже Нарутака Одзава доказал, что групповые алгебры фон Неймана гиперболических групп дают простые факторы типа II ₁ , то есть те, которые не могут быть факторизованы как тензорные произведения факторов типа II ₁ , результат, впервые доказанный Лимингом Ге для свободных групповых факторов с использованием свободной энтропии Войкулеску . Работа Попы над фундаментальными группами неизлечимых факторов представляет собой еще одно значительное достижение. Теория факторов «за пределами гиперконечного» в настоящее время быстро развивается, принося множество новых и удивительных результатов; оно имеет тесную связь с явлениями жесткости в геометрической теории групп и эргодической теории .

Примеры

• Существенно ограниченные функции на σ-конечном пространстве с мерой образуют коммутативную (типа I ₁ ) алгебру фон Неймана, действующую на L ² функции. Для некоторых пространств с не-σ-конечной мерой, обычно считающихся патологическими , L ^∞ ( X ) не является алгеброй фон Неймана; например, σ-алгебра измеримых множеств может быть счетно-сосчетной алгеброй на несчетном множестве. Фундаментальная аппроксимационная теорема может быть представлена ​​теоремой плотности Капланского .
• Ограниченные операторы в любом гильбертовом пространстве образуют алгебру фон Неймана, более того, фактор типа I.
• Если у нас есть какое-либо унитарное представление группы G в гильбертовом пространстве H, то ограниченные операторы, коммутирующие с G, образуют алгебру фон Неймана G , проекции которой точно соответствуют замкнутым подпространствам H, инвариантным относительно G . Эквивалентные подпредставления соответствуют эквивалентным проекциям в G ′ . Двойной коммутант G ′ ′ группы G также является алгеброй фон Неймана.
• Групповая алгебра фон Неймана дискретной группы G — это алгебра всех ограниченных операторов в H = l ² ( G ) коммутирует с действием G на H посредством правого умножения. соответствующими умножению слева на элемент g ∈ G. Можно показать, что это алгебра фон Неймана, порожденная операторами , Это фактор (типа II ₁ ), если каждый нетривиальный класс сопряженности группы G бесконечен (например, неабелева свободная группа), и гиперконечный фактор типа II _1, если, кроме того, G является объединением конечные подгруппы (например, группа всех перестановок целых чисел, фиксирующих все элементы, кроме конечного).
• Тензорное произведение двух алгебр фон Неймана или счетного числа с состояниями является алгеброй фон Неймана, как описано в разделе выше.
• Скрещенное произведение алгебры фон Неймана на дискретную (или, в более общем случае, локально компактную) группу может быть определено и является алгеброй фон Неймана. Особыми случаями являются конструкции пространства групповой меры с факторами Мюррея и фон Неймана и Кригера .
• алгебры фон Неймана измеримого отношения эквивалентности и измеримого группоида Можно определить . Эти примеры обобщают групповые алгебры фон Неймана и конструкцию пространства с групповой мерой.

Приложения

Алгебры фон Неймана нашли применение в различных областях математики, таких как теория узлов , статистическая механика , квантовая теория поля , локальная квантовая физика , свободная вероятность , некоммутативная геометрия , теория представлений , дифференциальная геометрия и динамические системы .

Например, C*-алгебра обеспечивает альтернативную аксиоматизацию теории вероятностей. В этом случае метод носит название конструкции Гельфанда–Наймарка–Сигала . Это аналогично двум подходам к измерению и интегрированию, где у каждого есть выбор: сначала построить меры множеств, а затем определить интегралы, или сначала построить интегралы и определить меры множеств как интегралы характеристических функций.

См. также

• AW*-алгебра – алгебраическое обобщение W*-алгебры. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Центральный перевозчик
• Теория Томиты – Такесаки - Математический метод функционального анализа

Ссылки

• Араки, Х.; Вудс, EJ (1968), «Классификация факторов», Publ. Рез. Инст. Математика. наук. Сер. А , 4 (1): 51–130, doi : 10.2977/prims/1195195263 MR 0244773
• Блэкадар, Б. (2005), Операторные алгебры , Springer, ISBN  3-540-28486-9 , исправленная рукопись (PDF) , 2013 г.
• Конн, А. (1976), «Классификация инъективных факторов», Annals of Mathematics , вторая серия, 104 (1): 73–115, doi : 10.2307/1971057 , JSTOR   1971057
• Конн, А. (1994), Некоммутативная геометрия , Academic Press, ISBN  0-12-185860-Х .
• Диксмье, Дж. (1981), Алгебры фон Неймана , ISBN  0-444-86308-7 (Перевод Диксмье, Дж. (1957), Операторные алгебры в гильбертовом пространстве: алгебры фон Неймана , Готье-Вилларс , первая книга об алгебрах фон Неймана.)
• Джонс, VFR (2003), алгебры фон Неймана (PDF) ; неполные конспекты курса.
• Костецкий, Р.П. (2013), W*-алгебры и некоммутативное интегрирование , arXiv : 1307.4818 , Bibcode : 2013arXiv1307.4818P .
• Макдафф, Дуса (1969), «Неисчислимо много _{II 1} факторов », Annals of Mathematics , Second Series, 90 (2): 372–377, doi : 10.2307/1970730 , JSTOR   1970730
• Мюррей, Ф.Дж. (2006), «Статьи о кольцах операторов», Наследие Джона фон Неймана (Хемпстед, Нью-Йорк, 1988) , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. 50, Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Соц., стр. 57–60, ISBN.  0-8218-4219-6 Исторический отчет об открытии алгебр фон Неймана.
• Мюррей, Ф.Дж.; фон Нейман, Дж. (1936), «О кольцах операторов», Annals of Mathematics , Second Series, 37 (1): 116–229, doi : 10.2307/1968693 , JSTOR   1968693 . В данной статье приведены их основные свойства и разделение на типы I, II и III, в частности найдены факторы не I типа.
• Мюррей, Ф.Дж.; фон Нейман, Дж. (1937), «О кольцах операторов II», Пер. амер. Математика. Соц. , 41 (2), Американское математическое общество: 208–248, doi : 10.2307/1989620 , JSTOR   1989620 . Это продолжение предыдущей статьи, изучающей свойства следа фактора.
• Мюррей, Ф.Дж.; фон Нейман, Дж. (1943), «О кольцах операторов IV», Annals of Mathematics , Second Series, 44 (4): 716–808, doi : 10.2307/1969107 , JSTOR   1969107 . Это изучает, когда факторы изоморфны, и, в частности, показывает, что все приблизительно конечные факторы типа II ₁ изоморфны.
• Пауэрс, Роберт Т. (1967), «Представления равномерно гиперконечных алгебр и связанных с ними колец фон Неймана», Annals of Mathematics , Second Series, 86 (1): 138–171, doi : 10.2307/1970364 , JSTOR   1970364
• Сакаи, С. (1971), C*-алгебры и W*-алгебры , Springer, ISBN  3-540-63633-1
• Шварц, Джейкоб (1967), W-* Алгебра , ISBN  0-677-00670-5
• Штерн, А.И. (2001) [1994], «Алгебра фон Неймана» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Такесаки, М. (1979), Теория операторных алгебр I, II, III , ISBN  3-540-42248-Х
• фон Нейман, Дж. (1930), «Об алгебре функциональных операций и теории нормальных операторов», Ann. , 102 (1): 370–427, Bibcode : 1930MatAn.102..685E , doi : 10.1007/BF01782352 , S2CID   121141866 . Оригинальная статья об алгебрах фон Неймана.
• фон Нейман, Дж. (1936), «О некоторой топологии колец операторов», Annals of Mathematics , Second Series, 37 (1): 111–115, doi : 10.2307/1968692 , JSTOR   1968692 . Это определяет сверхсильную топологию.
• фон Нейман, Дж. (1938), «О бесконечных прямых произведениях» , Compos. Математика. , 6 : 1–77 . Здесь обсуждаются бесконечные тензорные произведения гильбертовых пространств и действующих на них алгебр.
• фон Нейман, Дж. (1940), «О кольцах операторов III», Annals of Mathematics , Вторая серия, 41 (1): 94–161, doi : 10.2307/1968823 , JSTOR   1968823 . Это свидетельствует о существовании факторов III типа.
• фон Нейман, Дж. (1943), «О некоторых алгебраических свойствах операторных колец», Annals of Mathematics , Second Series, 44 (4): 709–715, doi : 10.2307/1969106 , JSTOR   1969106 . Это показывает, что некоторые явно топологические свойства алгебр фон Неймана могут быть определены чисто алгебраически.
• фон Нейман, Дж. (1949), «О кольцах операторов. Теория редукции», Annals of Mathematics , Second Series, 50 (2): 401–485, doi : 10.2307/1969463 , JSTOR   1969463 . Здесь обсуждается, как записать алгебру фон Неймана в виде суммы или интеграла факторов.
• фон Нейман, Джон (1961), Тауб, А.Х. (редактор), Собрание сочинений, Том III: Кольца операторов , Нью-Йорк: Pergamon Press . Перепечатки статей фон Неймана по алгебрам фон Неймана.
• Вассерман, AJ (1991), Операторы в гильбертовом пространстве