Центральный перевозчик

В контексте алгебр фон Неймана центральный носитель проекции E — это наименьший центральный проектор в алгебре фон Неймана, который доминирует E. над Ее еще называют центральной опорой или центральной крышкой .

Определение

Пусть L ( H ) обозначает ограниченные операторы в гильбертовом пространстве H , M ⊂ L ( H алгебра фон Неймана, а ' коммутант — M. ) — M Центром является M M M Z ( M ) = ' ∩ M равно { T ∈ | знак TM = MT для всех M ∈ M }. Центральный носитель C ( E ) проекции E в M определяется следующим образом:

C ( E ) знак равно ∧ { F ∈ Z ( M ) | F — проекция и F ≥ E }.

Символ ∧ обозначает решеточную операцию над проекциями в Z ( M ): F ₁ ∧ F ₂ — проекция на замкнутое подпространство Ran( F ₁ ) ∩ Ran( F ₂ ).

Абелева алгебра Z ( M ), являющаяся пересечением двух алгебр фон Неймана, также является алгеброй фон Неймана. Следовательно, C ( E ) лежит в Z ( M ).

Если рассматривать M как прямую сумму (или, точнее, прямой интеграл ) его факторов, то центральные проекции — это проекции, которые представляют собой прямые суммы (прямые интегралы) единичных операторов (измеримых наборов) факторов. Если E ограничено одним фактором, то C ( E ) является тождественным оператором в этом факторе. Неформально можно было бы ожидать, что C ( E ) будет прямой суммой тождественных операторов I , где I находится в множителе и I · E ≠ 0 .

Явное описание

Проекцию C ( E ) можно описать более явно. Можно показать, что Ran C ( E ) — замкнутое подпространство, порожденное M Ran( E ).

Если N — алгебра фон Неймана, а E — проектор, который не обязательно принадлежит N и имеет диапазон K = Ran( E ). Наименьшая центральная проекция в N , которая доминирует над E, — это в точности проекция на замкнутое подпространство [ N'K ] порожденное N'K , . В символах, если

F' знак равно ∧ { F ∈ N | F — проекция и F ≥ E }

тогда Ran( F' ) = [ N'K ] . То, что [ N' K ] ⊂ Ran( F' ), следует из определения коммутанта. С другой стороны, [ N'K ] инвариантно относительно любого унитарного U в N' . проекция на [ N'K Следовательно , ] лежит в ( N' )' N. = Тогда минимальность F' дает Ran( F' ) ⊂ [ N'K ] .

Теперь, если E является проектором в M , применение вышеизложенного к алгебре фон Неймана Z ( M ) дает

Ран C ( E ) = [ Z ( M )' Ран ( E ) ] = [ ( M ' ∩ M )' Ран ( E ) ] = [ M Ран ( E )].

Связанные результаты

Из приведенного выше описания можно вывести несколько простых следствий. Предположим, что и F — проекции в алгебре фон Неймана M. E

Предложение ETF = 0 для всех T в M тогда и только тогда, когда C ( E ) и C ( F ) ортогональны, т.е. C ( E ) C ( F ) = 0.

Доказательство:

ETF = 0 для всех T в M .

⇔ [ М Ран ( F )] ⊂ Кер ( E ).

⇔ C ( F ) ≤ 1 - E , согласно обсуждению в предыдущем разделе, где 1 — единица измерения в M .

⇔ Е ≤ 1 - С ( F ).

⇔ C ( E ) ≤ 1 - C ( F ), поскольку 1 - C ( F ) — центральная проекция, которая доминирует над E .

Это доказывает утверждение.

В свою очередь верно следующее:

Следствие Два проектора E и F в алгебре фон Неймана M содержат два ненулевых подпроектора, которые эквивалентны Мюррею-фон Нейману, если C ( E ) C ( F ) ≠ 0.

Доказательство:

С ( Е ) С ( F ) ≠ 0.

⇒ ETF для некоторого T из M. ≠ 0

⇒ ETF имеет полярное разложение UH для некоторой частичной изометрии U и положительного оператора H в M .

⇒ Ран ( U ) = Ран ( ETF ) ⊂ Ран ( E ). Кроме того, Кер ( U ) = Ран ( H ) ^⊥ = Ран ( ETF ) ^⊥ = Кер ( ET*F ) ⊃ Кер ( F ); поэтому Кер ( U )) ^⊥ ⊂ Ран ( F ).

⇒ Две эквивалентные проекции UU* и *U удовлетворяют условиям UU* ≤ E и U*U ≤ F. U

В частности, когда M является фактором, то существует частичная изометрия U ∈ M такая, что UU* ⩽ E и U*U ⩽ F . Используя этот факт и аргумент максимальности, можно вывести, что частичный порядок Мюррея-фон Неймана в семействе проекторов в М становится полным порядком, если М является фактором.

Утверждение (сравнимость). Если M — фактор и E , F ∈ M — проекции, то либо E « F , либо F « E .

Доказательство:

Обозначим через ~ отношение эквивалентности Мюррея-фон Неймана. Рассмотрим семейство S , типичным элементом которого является набор {( E _i , F _i )}, где ортогональные множества { E _i } и { F _i } удовлетворяют условиям E _i ⩽ E , F _i ⩽ F и E _i ~ F _i . Семейство S частично упорядочено по включению, и приведенное выше следствие показывает, что оно непусто. Лемма Цорна обеспечивает существование максимального элемента { ( E _j , F _j ) }. Максимальность гарантирует, что либо E = Σ E _j , либо F = Σ F _j . Счетная аддитивность ~ означает E _j ~ Σ F _j . Таким образом, предложение имеет место.

Без предположения, что M является фактором, мы имеем:

Предложение (обобщенная сравнимость) Если M — алгебра фон Неймана и E , F ∈ M — проекторы, то существует центральный проектор P ∈ Z ( M ) такой, что либо EP « FP и F (1 - P ) « E ( 1- П ).

Доказательство:

Пусть S такой же, как в предыдущем предложении, и снова рассмотрим максимальный элемент { ( E _j , F _j ) }. Пусть R и S обозначают «остатки»: R = E — Σ E _j и S = ​​F — Σ F _j . По максимальности и следствию RTS = 0 для всех T из M . Итак, C ( R ) C ( S ) = 0. В частности, R · C ( S ) = 0 и S · C ( S ) = 0. Таким образом, умножение на C ( S ) удаляет остаток R из E , оставляя S в F. . Точнее, E · C ( S ) = ( Σ E _j + R ) · C ( S ) = ( Σ E _j ) · C ( S ) ~ ( Σ F _j ) · C ( S ) ≤ ( Σ F _j + S ) · C ( S ) знак равно F · C ( S ). Это показывает, что C ( S ) — центральный проектор с желаемыми свойствами.

Ссылки

• Б. Блэкадар, Операторные алгебры , Springer, 2006.
• С. Сакаи , C*-алгебры и W*-алгебры , Springer, 1998.