Функциональная композиция

В математике ∘ композиция функций операция $\circ$ , которая берет две функции $f$ и $g$ и создает функцию $h = g — это f$ такую, что $h (x) = g (f (x))$ . В этой операции функция $g$ применяется к результату применения функции $f$ к $x$ . То есть функции $f : X \to Y$ и $g : Y \to Z$ составлены так , чтобы дать функцию, которая отображает $x$ в области $X$ в $g (f (x))$ в кодомене $Z$ .Интуитивно понятно, что если $z$ — функция от $y$ , а $y$ — функция от $x$ , то $z$ — функция от $x$ . Результирующая составная функция обозначается $g \circ f : X \to Z$ и определяется как $(g \circ f)(x) = g (f (x))$ для всех $x$ в $X$ . ^{[номер 1]}

Обозначение $g \circ f$ читается как « $g$ из $f$ », « $g$ после $f$ », « $g$ в круге $f$ », « $g$ в круге $f$ », « $g$ около $f$ », « $g$ составлено с $f$ », « $g$ после $f$ » , « $f$ then $g$ », или « $g$ на $f$ », или «композиция $g$ и $f$ ». Интуитивно, составление функций — это процесс объединения, в котором выходные данные функции $f$ передаются на вход функции $g$ .

Композиция функций — это частный случай композиции отношений , иногда также обозначаемый $\circ$ . В результате все свойства композиции отношений справедливы и для композиции функций, ^[1] например, свойство ассоциативности .

Композиция функций отличается от умножения функций (если она вообще определена) и имеет совершенно другие свойства; в частности, композиция функций не коммутативна . ^[2]

Примеры

Композиция функций на конечном множестве: если $f = {(1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 2)}$ и $g = {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 2)}$ , то $g \circ f = {(1, 2), (2, 1), (3, 2), (4, 3)}$ , как показано в фигура.
Композиция функций на бесконечном множестве : если $f : R \to R$ (где $R$ — множество всех действительных чисел ) определяется как $f (x) = 2 x + 4$ , а $g : R \to R$ определяется как $g (x) = х 3$ , затем:
$(ж \circ г)(Икс) знак равно ж (г (Икс)) знак равно ж (Икс 3) = 2 х 3 + 4$ и

$(г \circ ж)(Икс) знак равно г (ж (Икс)) знак равно г (2 х + 4) = (2 х + 4) 3$ .
Если высота самолета в момент времени $t$ равна $a (t)$ , а давление воздуха на высоте $x$ равно $p (x)$ , то $(p \circ a)(t)$ — это давление вокруг самолета в момент $t$ .

Характеристики

Композиция функций всегда ассоциативна — свойство, унаследованное от композиции отношений . ^[1] То есть, если $f$ , $g$ и $h$ являются составными, то $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$ . ^[3] Поскольку круглые скобки не меняют результат, они обычно опускаются.

В строгом смысле композиция $g \circ f$ имеет смысл только в том случае, если кодобласть $f$ равна области определения $g$ ; в более широком смысле достаточно, чтобы первое было несобственным подмножеством второго. ^{[номер 2]}Более того, часто бывает удобно неявно ограничить область определения $f$ так, чтобы $f$ выдавало только значения в области $g$ . Например, композиция $g \circ f$ функций $f : R \to (-\infty,+9],$ определенная формулой $f (x) = 9 - x 2$ и $g : [0,+\infty) \to R$ , определенный формулой $g(x)={\sqrt {x}}$ может быть определен на интервале $[-3,+3]$ .

функции $g$ и $f$ Говорят, что коммутируют друг с другом, если $g \circ f = f \circ g$ . Коммутативность — это особое свойство, достигаемое только определенными функциями и часто при особых обстоятельствах. Например, $| х | + 3 = | х + 3 |$ только тогда, когда $x \geq 0$ . На фото другой пример.

Композиция взаимно однозначных (инъективных) функций всегда взаимно однозначна. Точно так же композиция онто- (сюръективных) функций всегда есть онто-функции. Отсюда следует, что композиция двух биекций также является биекцией. Обратная функция композиции (считающаяся обратимой) обладает тем свойством, что $(f \circ g) -1 = г -1 \circ ж -1$ . ^[4]

Производные композиций, включающих дифференцируемые функции, можно найти с помощью цепного правила . Высшие производные таких функций даются формулой Фаа ди Бруно . ^[3]

Композиционные моноиды

Предположим, что у вас есть две (или более) функции $f : X \to X,$ $g : X \to X,$ имеющие один и тот же домен и кодомен; их часто называют трансформациями . Тогда можно образовать составленные вместе цепочки преобразований, например $f \circ f \circ g \circ f$ . Такие цепи имеют алгебраическую структуру моноида моноидом , называемого преобразования или (гораздо реже) композиционным моноидом . В общем, моноиды преобразований могут иметь чрезвычайно сложную структуру. Одним из ярких примеров является кривая де Рама . Совокупность всех функций $f : X \to X$ называется полной полугруппой преобразований. ^[5] или симметричная полугруппа ^[6] на $Х.$ (Фактически можно определить две полугруппы в зависимости от того, как определяется операция полугруппы как левая или правая композиция функций. ^[7])

Если преобразования биективны (и, следовательно, обратимы), то множество всех возможных комбинаций этих функций образует группу преобразований ; и говорят, что группа порождается этими функциями. Фундаментальный результат теории групп, теорема Кэли , по сути, говорит, что любая группа на самом деле является просто подгруппой группы подстановок (с точностью до изоморфизма ). ^[8]

Набор всех биективных функций $f : X \to X$ (называемых перестановками ) образует группу относительно композиции функций. Это симметричная группа , которую также иногда называют композиционной группой .

В симметричной полугруппе (всех преобразований) также встречается более слабое, неединственное понятие инверсии (называемое псевдоинверсией), поскольку симметрическая полугруппа является регулярной полугруппой . ^[9]

Функциональные полномочия

Если $Y \subseteq X$ , то $f : X \to Y$ может составлять само собой; иногда это обозначается как $f 2$ . То есть:

(ж \circ ж)(х) знак равно ж (ж (Икс)) знак равно ж 2 (х)

(ж \circ ж \circ ж)(х) знак равно ж (ж (ж (Икс))) знак равно ж 3 (х)

(ж \circ ж \circ ж \circ ж)(х) знак равно ж (ж (ж (ж (Икс)))) = ж 4 (х)

В более общем смысле, для любого натурального числа $n \geq 2$ n $-$ я функциональная степень может быть определена индуктивно как $f н = ж \circ ж п -1 = е п -1 \circ f$ — обозначение, введенное Гансом Генрихом Бюрманом. ^{[ нужна ссылка ]}^[10]^[11] и Джон Фредерик Уильям Гершель . ^[12]^[10]^[13]^[11] Повторная композиция такой функции сама с собой называется итерированной функцией .

По соглашению $f 0$ определяется как тождественная карта в $области f$ , $id X$ .
Если $Y = X$ и $f : X \to X$ допускает обратную функцию $f -1$ (иногда называется «минус первая итерация» ^{[ нужна ссылка ]}), отрицательные функциональные мощности $f - п$ определяются при $n > 0$ как отрицательная степень обратной функции: $f - п = (ж -1) н$ . ^[12]^[10]^[11]

Примечание. Если $f$ принимает свои значения в кольце (в частности, для действительного или комплексного $f$ ), существует риск путаницы, поскольку $f н$ может также обозначать $n$ -кратное произведение $f$ , например $f 2 (Икс) знак равно ж (Икс) \cdot ж (Икс)$ . ^[11] Для тригонометрических функций обычно подразумевают последнее, по крайней мере, для положительных показателей. ^[11] Например, в тригонометрии это обозначение верхнего индекса представляет собой стандартное возведение в степень при использовании с тригонометрическими функциями : $грех 2 (Икс) знак равно грех(Икс) \cdot грех(Икс)$ .Однако для отрицательных показателей (особенно −1) это все же обычно относится к обратной функции, например $tan -1 = арктан \neq 1/тан$ .

В некоторых случаях, когда для данной функции $f$ уравнение $g \circ g = f$ имеет единственное решение $g$ , эту функцию можно определить как функциональный квадратный корень из $f$ , а затем записать как $g = f 1/2$ .

В более общем смысле, когда $g н = f$ имеет единственное решение для некоторого натурального числа $n > 0$ , то $f м / н$ можно определить как $g м$ .

При дополнительных ограничениях эту идею можно обобщить так, что количество итераций станет непрерывным параметром; в этом случае такая система называется потоком , заданным через решения уравнения Шредера . Итерационные функции и потоки естественным образом возникают при изучении фракталов и динамических систем .

Чтобы избежать двусмысленности, некоторые математики ^{[ нужна ссылка ]} решите использовать $\circ$ для обозначения композиционного значения, написав $f \circ n (x)$ для $n$ -й итерации функции $f (x)$ , как, например, $f \circ3 (x)$ значение $ж (ж (ж (x)))$ . С этой же целью $f [н] (x)$ использовал Бенджамин Пирс ^[14]^[11] тогда как Альфред Прингшейм и Жюль Молк предложили $н вместо этого f (x)$ . ^[15]^[11]^{[номер 3]}

Альтернативные обозначения

Многие математики, особенно в теории групп , опускают символ композиции, записывая $gf$ вместо $g \circ f$ . ^[16]

В середине 20-го века некоторые математики решили, что написание « $g \circ f$ » означает «сначала применить $f$ , затем применить $g$ » слишком запутанно, и решили изменить обозначения. Они пишут « $xf$ » вместо « $f (x)$ » и « $(xf) g$ » вместо « $g (f (x))$ ». ^[17] это может быть более естественным и казаться более простым, чем запись функций слева В некоторых областях в линейной алгебре — например, $, когда x$ — вектор-строка , а $f$ и $g$ обозначают матрицы , а композиция осуществляется путем умножения матриц . Эта альтернативная нотация называется постфиксной нотацией . Порядок важен, поскольку композиция функций не обязательно является коммутативной (например, умножение матриц). Последовательные преобразования, применяемые и составляющие вправо, согласуются с последовательностью чтения слева направо.

Математики, использующие постфиксную нотацию, могут писать « $fg$ », что означает сначала применить $f$ , а затем применить $g$ , в соответствии с порядком появления символов в постфиксной нотации, что делает обозначение « $fg$ » неоднозначным. Ученые-компьютерщики могут написать $« f; g »,$ для этого ^[18] тем самым устраняя неоднозначность порядка композиции. Чтобы отличить левый оператор композиции от текстовой точки с запятой, в обозначении Z используется символ ⨾ для обозначения левой композиции отношений . ^[19] Поскольку все функции являются бинарными отношениями , правильно использовать [жирную] точку с запятой и для композиции функций ( см. в статье о композиции отношений более подробную информацию об этом обозначении ).

Оператор композиции

Учитывая функцию $g$ , оператор композиции $C g$ определяется как оператор , который отображает функции в функции следующим образом: $C_{g}f=f\circ g.$

Композиционные операторы изучаются в области теории операторов .

В языках программирования

Композиция функций в той или иной форме встречается во многих языках программирования .

Многомерные функции

Частичная композиция возможна для многомерных функций . Функция, возникающая при замене некоторого аргумента $x i$ функции $f$ функцией $g$ , в некоторых контекстах компьютерной инженерии называется композицией $f$ и $g$ и обозначается $f | х я = г$ $f|_{x_{i}=g}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),x_{i+1},\ldots ,x_{n}).$

Когда $g$ является простой константой $b$ , композиция вырождается в (частичную) оценку, результат которой также известен как ограничение или кофактор . ^[20]

$f|_{x_{i}=b}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},b,x_{i+1},\ldots ,x_{n}).$

В общем, композиция многомерных функций может включать в себя несколько других функций в качестве аргументов, как в определении примитивно-рекурсивной функции . Учитывая $f$ , $n$ -арную функцию, и $n$ $m$ -арные функции $g 1, ..., g n$ , композиция $f$ с $g 1, ..., g n$ , является $m$ -арной функцией $h(x_{1},\ldots ,x_{m})=f(g_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m}),\ldots ,g_{n}(x_{1},\ldots ,x_{m})).$

Иногда это называют обобщенной композицией или суперпозицией f , с $g 1, ... g n$ . ^[21] Частичная композиция только с одним аргументом, упомянутая ранее, может быть реализована на основе этой более общей схемы, установив все функции аргумента, кроме одной, в качестве подходящим образом выбранных функций проецирования . Здесь $g 1, ..., g n$ можно рассматривать как одну векторную/ кортежную функцию в этой обобщенной схеме, и в этом случае это в точности стандартное определение композиции функций. ^[22]

Набор финитарных операций на некотором базовом множестве X называется клоном , если он содержит все проекции и замкнут относительно обобщенной композиции. Клон обычно содержит операции различной сложности . ^[21] Понятие коммутации также находит интересное обобщение в многомерном случае; функция f арности n Говорят, что коммутирует с функцией g арности m, если f является гомоморфизмом, сохраняющим g , и наоборот, т. е.: ^[21] $f(g(a_{11},\ldots ,a_{1m}),\ldots ,g(a_{n1},\ldots ,a_{nm}))=g(f(a_{11},\ldots ,a_{n1}),\ldots ,f(a_{1m},\ldots ,a_{nm})).$

Унарная операция всегда коммутирует сама с собой, но это не обязательно относится к бинарной операции (или операции более высокой арности). Бинарная операция (или более высокой арности), коммутирующая сама с собой, называется медиальной или энтропической . ^[21]

Обобщения

Композиция может быть обобщена на произвольные бинарные отношения .Если $R \subseteq X \times Y$ и $S \subseteq Y \times Z$ — два бинарных отношения, то их композиция $R \circ S$ — это отношение, определяемое как ${(x, z) \in X \times Z : \exists y \in Y . (Икс, y) \in р \land (y, z) \in S}$ .Рассматривая функцию как частный случай бинарного отношения (а именно функциональных отношений ), композиция функций удовлетворяет определению композиции отношений. Маленький кружок $R \circ S$ использовался для инфиксного обозначения композиции отношений , а также функций. При использовании для представления композиции функций $(g\circ f)(x)\ =\ g(f(x))$ однако текстовая последовательность перевернута, чтобы соответственно проиллюстрировать различные последовательности операций.

Композиция определяется таким же образом для частичных функций , и теорема Кэли имеет аналог, называемый теоремой Вагнера-Престона . ^[23]

Категория множеств с функциями как морфизмами является прототипической категорией . Аксиомы категории фактически основаны на свойствах (а также определении) композиции функций. ^[24] Структуры, заданные композицией, аксиоматизируются и обобщаются в теории категорий с использованием понятия морфизма как теоретико-категорной замены функций. Обратный порядок композиции в формуле $(f \circ g) -1 = (г -1 \circ ж -1)$ применяется для композиции отношений с использованием обратных отношений и, следовательно, в теории групп . Эти структуры образуют категории кинжала .

Стандартный «фундамент» математики начинается с множеств и их элементов . Можно начать иначе, с аксиоматизации не элементов множеств, а функций между множествами. Это можно сделать, используя язык категорий и универсальных конструкций.

. . . отношение принадлежности для множеств часто можно заменить операцией композиции для функций. Это приводит к альтернативному основанию математики на категориях — в частности, на категории всех функций. Большая часть математики является динамической, поскольку она имеет дело с морфизмами одного объекта в другой объект того же типа. Такие морфизмы ( например, функции ) образуют категории, и поэтому подход с использованием категорий хорошо соответствует целям организации и понимания математики. По правде говоря, это и должно быть целью настоящей философии математики.
- Сондерс Мак Лейн , Математика: форма и функция. ^[25]

Типография

Символ композиции $\circ$ кодируется как U + 2218 ∘ КОЛЬЦО ОПЕРАТОР ( &compfn;, &SmallCircle; ); см. в статье «Символ степени» информацию о похожих символах Юникода . В TeX написано \circ.

См. также

Сюжет-паутина – графический прием функциональной композиции.
Комбинаторная логика
Композиционное кольцо , формальная аксиоматизация операции композиции.
Поток (математика)
Функциональная композиция (информатика)
Функция случайной величины , распределение функции случайной величины
Функциональная декомпозиция
Функциональный квадратный корень
Функция высшего порядка
Бесконечные композиции аналитических функций
Итерированная функция
Лямбда-исчисление

Примечания

^ Некоторые авторы вместо этого используют $f \circ g : X \to Z$ , определенное как $(f \circ g)(x) = g (f (x) )$ . Это часто встречается при использовании постфиксной записи , особенно если функции представлены показателями степени, как, например, при изучении групповых действий . Видеть Диксон, Джон Д.; Мортимер, Брайан (1996). Группы перестановок . Спрингер. п. 5 . ISBN 0-387-94599-7 .
^ Строгий смысл используется, например , в теории категорий , где отношение подмножества моделируется явно с помощью функции включения .
^ Альфреда Прингсхайма и Жюля Молка (1907). Обозначения $н f (x)$ для обозначения функциональных композиций не следует путать с Рудольфа фон Биттера Рукера (1982). обозначениями $н x$ , введенный Гансом Маурером (1901) и Рубеном Луи Гудстейном (1947) для тетрации , или Дэвидом Паттерсоном Эллерманом (1995). $н x$ преднадстрочное обозначение для корней .

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Веллеман, Дэниел Дж. (2006). Как это доказать: структурированный подход . Издательство Кембриджского университета . п. 232. ИСБН 978-1-139-45097-3 .
^ «3.4: Состав функций» . Математика LibreTexts . 16 января 2020 г. Проверено 28 августа 2020 г.
^ Jump up to: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Композиция» . mathworld.wolfram.com . Проверено 28 августа 2020 г.
^ Роджерс, Нэнси (2000). Учимся рассуждать: введение в логику, множества и отношения . Джон Уайли и сыновья . стр. 359–362. ISBN 978-0-471-37122-9 .
^ Холлингс, Кристофер (2014). Математика за железным занавесом: история алгебраической теории полугрупп . Американское математическое общество . п. 334. ИСБН 978-1-4704-1493-1 .
^ Грилье, Пьер А. (1995). Полугруппы: введение в теорию структуры . ЦРК Пресс . п. 2. ISBN 978-0-8247-9662-4 .
^ Домоси, Пол; Неханив, Кристофер Л. (2005). Алгебраическая теория автоматных сетей: Введение . СИАМ. п. 8. ISBN 978-0-89871-569-9 .
^ Картер, Натан (9 апреля 2009 г.). Теория визуальных групп . МАА. п. 95. ИСБН 978-0-88385-757-1 .
^ Ганюшкин Александр; Мазорчук, Владимир (2008). Классические полугруппы конечного преобразования: введение . Springer Science & Business Media . п. 24. ISBN 978-1-84800-281-4 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Гершель, Джон Фредерик Уильям (1820). «Часть III. Раздел I. Примеры прямого метода разностей» . Сборник примеров приложений исчисления конечных разностей . Кембридж, Великобритания: Отпечатано Дж. Смитом, продано компанией J. Deighton & sons. С. 1–13 [5–6]. Архивировано из оригинала 04 августа 2020 г. Проверено 4 августа 2020 г. [1] (Примечание. Здесь Гершель ссылается на свою работу 1813 года и упоминает Ганса Генриха Бюрмана .) более старую работу
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Каджори, Флориан (1952) [март 1929]. «§472. Степень логарифма / §473. Повторные логарифмы / §533. Обозначения Джона Гершеля для обратных функций / §535. Сохранение конкурирующих обозначений для обратных функций / §537. Степени тригонометрических функций». История математических обозначений . Том. 2 (3-е исправленное издание выпуска 1929 г., 2-е изд.). Чикаго, США: Издательская компания «Открытый суд» . стр. 108, 176–179, 336, 346. ISBN. 978-1-60206-714-1 . Проверено 18 января 2016 г. […] §473. Повторные логарифмы […] Отметим здесь символизм, использованный Прингсхаймом и Молком в их совместной статье в Энциклопедии : « ²log _b a = log _b (log _b a ), …, ^{к +1}log _b a = log _b ( ^кжурнал _б а )". ^[а] […] §533. Джона Гершеля Обозначения для обратных функций, sin ⁻¹ х , так что ⁻¹ x и т. д., было опубликовано им в лондонском журнале Philosophical Transactions за 1813 год. Он говорит ( стр. 10 ): «Это обозначение cos. ⁻¹ e не следует понимать как означающее 1/cos. e , но то, что обычно пишется так, arc (cos.= e )». Он признает, что некоторые авторы используют cos. ^м A для (cos. A ) ^м, но он оправдывает свои обозначения, указывая, что, поскольку d ² х , Д ³ х , С ² x означает dd x , ΔΔΔ x , ΣΣ x , нам следует написать sin. ² х за грех. грех. х , лог. ³ х для журнала. бревно. бревно. х . Так же, как мы пишем d ^{− п} V=∫ ^н V, мы можем написать аналогично грех. ⁻¹ x = дуга (sin.= x ), лог. ⁻¹ х .=с ^х. Несколько лет спустя Гершель объяснил, что в 1813 году он использовал ф. ^н( х ), ж ^{− п}( х ), грех. ⁻¹ x и т. д., «как он тогда впервые предположил. Однако в течение этих нескольких месяцев ему стала известна работа немецкого аналитика Бурмана , в которой то же самое объясняется значительно раньше. Он [Берман], однако, похоже, не заметил удобства применения этой идеи к обратным функциям tan ⁻¹и т. д., и при этом он, по-видимому, вообще не осведомлен об обратном исчислении функций, которое оно порождает». Гершель добавляет: «Симметрия этого обозначения и, прежде всего, новые и наиболее обширные взгляды, которые оно открывает на природу аналитических операций. похоже, санкционируют его всеобщее принятие». ^[б] […] §535. Сохранение конкурирующих обозначений обратной функции. — […] Использование обозначений Гершеля претерпело небольшие изменения в книгах Бенджамина Пирса , чтобы устранить главное возражение против них; Пирс писал: «Потому что ^[−1] х ," "журнал ^[−1] х ." ^[с] […] §537. Степени тригонометрических функций. использовались три основных обозначения — Для обозначения, скажем, квадрата sin x , а именно (sin x ) ², без х ², грех ² х . В настоящее время преобладающее обозначение - грех ² x , хотя первое с наименьшей вероятностью будет неправильно истолковано. В случае греха ² x напрашиваются две интерпретации; во-первых, грех х ⋅ грех х ; второй, ^[д] грех (грех х ). Поскольку функции последнего типа обычно не проявляются, опасность неправильной интерпретации гораздо меньше, чем в случае log. ² x , где log x ⋅ log x и log (log x ) часто встречаются в анализе. […] Обозначение грех ^н х за (грех х ) ^н широко использовался и в настоящее время является преобладающим. […] (xviii+367+1 страница, включая 1 страницу с приложениями) (Примечание: ISBN и ссылка на перепечатку 2-го издания Cosimo, Inc., Нью-Йорк, США, 2013 г.)
^ Jump up to: ^а ^б Гершель, Джон Фредерик Уильям (1813) [1812-11-12]. «О замечательном применении теоремы Котса». Философские труды Лондонского королевского общества . 103 (Часть 1). Лондон: Лондонское королевское общество , напечатано W. Bulmer and Co., Cleveland-Row, St. James's, продано G. and W. Nicol, Pall-Mall: 8–26 [10]. дои : 10.1098/rstl.1813.0005 . JSTOR 107384 . S2CID 118124706 .
^ Пеано, Джузеппе (1903). Математическая форма (на французском языке). Полет. IV. п. 229.
^ Пирс, Бенджамин (1852). Кривые, функции и силы . Том. Я (новая ред.). Бостон, США. п. 203. {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Прингсхайм, Альфред ; Молк, Жюль (1907). Энциклопедия чистых и прикладных математических наук (на французском языке). Полет. И.п. 195. Часть I.
^ Иванов, Олег А. (1 января 2009 г.). Оживление математики: Руководство для учителей и учащихся . Американское математическое общество . стр. 217–. ISBN 978-0-8218-4808-1 .
^ Галье, Жан (2011). Дискретная математика . Спрингер. п. 118. ИСБН 978-1-4419-8047-2 .
^ Барр, Майкл; Уэллс, Чарльз (1998). Теория категорий для информатики (PDF) . п. 6. Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г. Проверено 23 августа 2014 г. (Примечание. Это обновленная и бесплатная версия книги, первоначально опубликованной издательством Prentice Hall в 1990 году под названием ISBN 978-0-13-120486-7 .)
^ ISO/IEC 13568:2002(E), стр. 23
^ Брайант, Р.Э. (август 1986 г.). «Алгоритмы логической минимизации для синтеза СБИС» (PDF) . Транзакции IEEE на компьютерах . С-35 (8): 677–691. дои : 10.1109/tc.1986.1676819 . S2CID 10385726 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Бергман, Клиффорд (2011). Универсальная алгебра: основы и избранные темы . ЦРК Пресс . С. 79–80 , 90–91 . ISBN 978-1-4398-5129-6 .
^ Турлакис, Джордж (2012). Теория вычислений . Джон Уайли и сыновья . п. 100. ИСБН 978-1-118-31533-0 .
^ Липскомб, С. (1997). Симметричные инверсные полугруппы . Математические обзоры и монографии AMS. п. хв. ISBN 0-8218-0627-0 .
^ Хилтон, Питер; Ву, Ел-Чан (1989). Курс современной алгебры . Джон Уайли и сыновья . п. 65. ИСБН 978-0-471-50405-4 .
^ «Сондерс Мак Лейн — Цитаты» . История математики . Проверено 13 февраля 2024 г.

Внешние ссылки

«Композитная функция» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
« Композиция функций », Брюс Этвуд, Демонстрационный проект Wolfram , 2007.

[NB_Dixon_1996-1] Некоторые авторы вместо этого используют $f \circ g : X \to Z$ , определенное как $(f \circ g)(x) = g (f (x) )$ . Это часто встречается при использовании постфиксной записи , особенно если функции представлены показателями степени, как, например, при изучении групповых действий . Видеть Диксон, Джон Д.; Мортимер, Брайан (1996). Группы перестановок . Спрингер. п. 5 . ISBN 0-387-94599-7 .

[NB_Strict-5] Строгий смысл используется, например , в теории категорий , где отношение подмножества моделируется явно с помощью функции включения .

[NB_Rucker-18] Альфреда Прингсхайма и Жюля Молка (1907). Обозначения $н f (x)$ для обозначения функциональных композиций не следует путать с Рудольфа фон Биттера Рукера (1982). обозначениями $н x$ , введенный Гансом Маурером (1901) и Рубеном Луи Гудстейном (1947) для тетрации , или Дэвидом Паттерсоном Эллерманом (1995). $н x$ преднадстрочное обозначение для корней .

[Velleman_2006-2] Jump up to: ^а ^б Веллеман, Дэниел Дж. (2006). Как это доказать: структурированный подход . Издательство Кембриджского университета . п. 232. ИСБН 978-1-139-45097-3 .

[3] «3.4: Состав функций» . Математика LibreTexts . 16 января 2020 г. Проверено 28 августа 2020 г.

[:0-4] Jump up to: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Композиция» . mathworld.wolfram.com . Проверено 28 августа 2020 г.

[Rodgers_2000-6] Роджерс, Нэнси (2000). Учимся рассуждать: введение в логику, множества и отношения . Джон Уайли и сыновья . стр. 359–362. ISBN 978-0-471-37122-9 .

[Hollings_2014-7] Холлингс, Кристофер (2014). Математика за железным занавесом: история алгебраической теории полугрупп . Американское математическое общество . п. 334. ИСБН 978-1-4704-1493-1 .

[Grillet_1995-8] Грилье, Пьер А. (1995). Полугруппы: введение в теорию структуры . ЦРК Пресс . п. 2. ISBN 978-0-8247-9662-4 .

[Dömösi-Nehaniv_2005-9] Домоси, Пол; Неханив, Кристофер Л. (2005). Алгебраическая теория автоматных сетей: Введение . СИАМ. п. 8. ISBN 978-0-89871-569-9 .

[Carter_2009-10] Картер, Натан (9 апреля 2009 г.). Теория визуальных групп . МАА. п. 95. ИСБН 978-0-88385-757-1 .

[Ganyushkin-Mazorchuk_2008-11] Ганюшкин Александр; Мазорчук, Владимир (2008). Классические полугруппы конечного преобразования: введение . Springer Science & Business Media . п. 24. ISBN 978-1-84800-281-4 .

[Herschel_1820-12] Jump up to: ^а ^б ^с Гершель, Джон Фредерик Уильям (1820). «Часть III. Раздел I. Примеры прямого метода разностей» . Сборник примеров приложений исчисления конечных разностей . Кембридж, Великобритания: Отпечатано Дж. Смитом, продано компанией J. Deighton & sons. С. 1–13 [5–6]. Архивировано из оригинала 04 августа 2020 г. Проверено 4 августа 2020 г. [1] (Примечание. Здесь Гершель ссылается на свою работу 1813 года и упоминает Ганса Генриха Бюрмана .) более старую работу

[Cajori_1929-13] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Каджори, Флориан (1952) [март 1929]. «§472. Степень логарифма / §473. Повторные логарифмы / §533. Обозначения Джона Гершеля для обратных функций / §535. Сохранение конкурирующих обозначений для обратных функций / §537. Степени тригонометрических функций». История математических обозначений . Том. 2 (3-е исправленное издание выпуска 1929 г., 2-е изд.). Чикаго, США: Издательская компания «Открытый суд» . стр. 108, 176–179, 336, 346. ISBN. 978-1-60206-714-1 . Проверено 18 января 2016 г. […] §473. Повторные логарифмы […] Отметим здесь символизм, использованный Прингсхаймом и Молком в их совместной статье в Энциклопедии : « ²log _b a = log _b (log _b a ), …, ^{к +1}log _b a = log _b ( ^кжурнал _б а )". ^[а] […] §533. Джона Гершеля Обозначения для обратных функций, sin ⁻¹ х , так что ⁻¹ x и т. д., было опубликовано им в лондонском журнале Philosophical Transactions за 1813 год. Он говорит ( стр. 10 ): «Это обозначение cos. ⁻¹ e не следует понимать как означающее 1/cos. e , но то, что обычно пишется так, arc (cos.= e )». Он признает, что некоторые авторы используют cos. ^м A для (cos. A ) ^м, но он оправдывает свои обозначения, указывая, что, поскольку d ² х , Д ³ х , С ² x означает dd x , ΔΔΔ x , ΣΣ x , нам следует написать sin. ² х за грех. грех. х , лог. ³ х для журнала. бревно. бревно. х . Так же, как мы пишем d ^{− п} V=∫ ^н V, мы можем написать аналогично грех. ⁻¹ x = дуга (sin.= x ), лог. ⁻¹ х .=с ^х. Несколько лет спустя Гершель объяснил, что в 1813 году он использовал ф. ^н( х ), ж ^{− п}( х ), грех. ⁻¹ x и т. д., «как он тогда впервые предположил. Однако в течение этих нескольких месяцев ему стала известна работа немецкого аналитика Бурмана , в которой то же самое объясняется значительно раньше. Он [Берман], однако, похоже, не заметил удобства применения этой идеи к обратным функциям tan ⁻¹и т. д., и при этом он, по-видимому, вообще не осведомлен об обратном исчислении функций, которое оно порождает». Гершель добавляет: «Симметрия этого обозначения и, прежде всего, новые и наиболее обширные взгляды, которые оно открывает на природу аналитических операций. похоже, санкционируют его всеобщее принятие». ^[б] […] §535. Сохранение конкурирующих обозначений обратной функции. — […] Использование обозначений Гершеля претерпело небольшие изменения в книгах Бенджамина Пирса , чтобы устранить главное возражение против них; Пирс писал: «Потому что ^[−1] х ," "журнал ^[−1] х ." ^[с] […] §537. Степени тригонометрических функций. использовались три основных обозначения — Для обозначения, скажем, квадрата sin x , а именно (sin x ) ², без х ², грех ² х . В настоящее время преобладающее обозначение - грех ² x , хотя первое с наименьшей вероятностью будет неправильно истолковано. В случае греха ² x напрашиваются две интерпретации; во-первых, грех х ⋅ грех х ; второй, ^[д] грех (грех х ). Поскольку функции последнего типа обычно не проявляются, опасность неправильной интерпретации гораздо меньше, чем в случае log. ² x , где log x ⋅ log x и log (log x ) часто встречаются в анализе. […] Обозначение грех ^н х за (грех х ) ^н широко использовался и в настоящее время является преобладающим. […] (xviii+367+1 страница, включая 1 страницу с приложениями) (Примечание: ISBN и ссылка на перепечатку 2-го издания Cosimo, Inc., Нью-Йорк, США, 2013 г.)

[Herschel_1813-14] Jump up to: ^а ^б Гершель, Джон Фредерик Уильям (1813) [1812-11-12]. «О замечательном применении теоремы Котса». Философские труды Лондонского королевского общества . 103 (Часть 1). Лондон: Лондонское королевское общество , напечатано W. Bulmer and Co., Cleveland-Row, St. James's, продано G. and W. Nicol, Pall-Mall: 8–26 [10]. дои : 10.1098/rstl.1813.0005 . JSTOR 107384 . S2CID 118124706 .

[Peano_1903-15] Пеано, Джузеппе (1903). Математическая форма (на французском языке). Полет. IV. п. 229.

[Peirce_1852-16] Пирс, Бенджамин (1852). Кривые, функции и силы . Том. Я (новая ред.). Бостон, США. п. 203. {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[Pringsheim-Molk_1907-17] Прингсхайм, Альфред ; Молк, Жюль (1907). Энциклопедия чистых и прикладных математических наук (на французском языке). Полет. И.п. 195. Часть I.

[Ivanov_2009-19] Иванов, Олег А. (1 января 2009 г.). Оживление математики: Руководство для учителей и учащихся . Американское математическое общество . стр. 217–. ISBN 978-0-8218-4808-1 .

[Gallier_2011-20] Галье, Жан (2011). Дискретная математика . Спрингер. п. 118. ИСБН 978-1-4419-8047-2 .

[Barr-Wells_1990-21] Барр, Майкл; Уэллс, Чарльз (1998). Теория категорий для информатики (PDF) . п. 6. Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г. Проверено 23 августа 2014 г. (Примечание. Это обновленная и бесплатная версия книги, первоначально опубликованной издательством Prentice Hall в 1990 году под названием ISBN 978-0-13-120486-7 .)

[ISOIEC13568-22] ISO/IEC 13568:2002(E), стр. 23

[Bryant_1986-23] Брайант, Р.Э. (август 1986 г.). «Алгоритмы логической минимизации для синтеза СБИС» (PDF) . Транзакции IEEE на компьютерах . С-35 (8): 677–691. дои : 10.1109/tc.1986.1676819 . S2CID 10385726 .

[Bergman_2011-24] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Бергман, Клиффорд (2011). Универсальная алгебра: основы и избранные темы . ЦРК Пресс . С. 79–80 , 90–91 . ISBN 978-1-4398-5129-6 .

[Tourlakis_2012-25] Турлакис, Джордж (2012). Теория вычислений . Джон Уайли и сыновья . п. 100. ИСБН 978-1-118-31533-0 .

[Lipcomb_1997-26] Липскомб, С. (1997). Симметричные инверсные полугруппы . Математические обзоры и монографии AMS. п. хв. ISBN 0-8218-0627-0 .

[Hilton-Wu_1989-27] Хилтон, Питер; Ву, Ел-Чан (1989). Курс современной алгебры . Джон Уайли и сыновья . п. 65. ИСБН 978-0-471-50405-4 .

[28] «Сондерс Мак Лейн — Цитаты» . История математики . Проверено 13 февраля 2024 г.

[номер 1]

[1]

[2]

[3]

[номер 2]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[номер 3]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]