Сюжет-паутина

Построение паутины логистической карты y = 2,8 x (1-x), показывающей притягивающую фиксированную точку.

Анимированная паутинная диаграмма логистической карты y = rx (1-x), демонстрирующая хаотическое поведение для большинства значений r > 3,57.

График -паутина , известный также как диаграмма Лемере или диаграмма Ферхюльста, представляет собой визуальный инструмент, используемый в динамических систем области математики для исследования качественного поведения одномерных итерированных функций , таких как логистическая карта . Методика была предложена в 1890-е годы Э.-М. Лемере. Используя паутинный график, можно сделать вывод о долгосрочном состоянии исходного состояния при неоднократном применении карты.

Метод

Для данной итерированной функции $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, график состоит из диагонали ( $x=y$) линия и кривая, представляющая $y=f(x)$. Чтобы построить график поведения значения $x_{0}$, выполните следующие действия.

1. Найдите точку на кривой функции с координатой x $x_{0}$. Здесь есть координаты ( $x_{0},f(x_{0})$).
2. Постройте горизонтальный график от этой точки до диагональной линии. Здесь есть координаты ( $f(x_{0}),f(x_{0})$).
3. Постройте вертикальный график от точки на диагонали до функциональной кривой. Здесь есть координаты ( $f(x_{0}),f(f(x_{0}))$).
4. При необходимости повторите шаг 2.

Интерпретация

На диаграмме Лемере устойчивая фиксированная точка соответствует участку лестницы с прогрессивно уменьшающейся длиной ступенек или внутренней спирали , а неустойчивая фиксированная точка — участку лестницы с растущей лестницей или внешней спиралью. Из определения неподвижной точки следует, что лестницы сходятся, тогда как спирали центрируются в точке, где диагональная линия y=x пересекает график функции. с периодом 2 Орбита представлена ​​прямоугольником, в то время как циклы с большим периодом создают дальнейшие, более сложные замкнутые петли. На хаотичной орбите будет «заполненная» область, указывающая на бесконечное количество неповторяющихся значений.

См. также

• Диаграмма Джонса - аналогичная техника построения графиков
• Итерация с фиксированной точкой - итерационный алгоритм для поиска фиксированных точек (создает паутину).