Конечная алгебра фон Неймана

В математике конечная алгебра фон Неймана — это алгебра фон Неймана , в которой каждая изометрия является унитарной . Другими словами, для оператора V в конечной алгебре фон Неймана, если $V^{*}V=I$ , затем $VV^{*}=I$ . С точки зрения теории сравнения проекций тождественный оператор не эквивалентен (Мюррея-фон Неймана) ни одному собственному подпроектору в алгебре фон Неймана.

Характеристики

Позволять ${\mathcal {M}}$ обозначим конечную алгебру фон Неймана с центром ${\mathcal {Z}}$ . Одним из фундаментальных характеризующих свойств конечных алгебр фон Неймана является существование центральнозначного следа. Алгебра фон Неймана ${\mathcal {M}}$ конечно тогда и только тогда, когда существует нормальное положительное ограниченное отображение $\tau :{\mathcal {M}}\to {\mathcal {Z}}$ со свойствами:

$\tau (AB)=\tau (BA),A,B\in {\mathcal {M}}$ ,
если $A\geq 0$ и $\tau (A)=0$ затем $A=0$ ,
$\tau (C)=C$ для $C\in {\mathcal {Z}}$ ,
$\tau (CA)=C\tau (A)$ для $A\in {\mathcal {M}}$ и $C\in {\mathcal {Z}}$ .

Примеры

Конечномерные алгебры фон Неймана

Конечномерные алгебры фон Неймана можно охарактеризовать с помощью Веддерберна теории полупростых алгебр .Пусть С ^{п × п} — матрицы размера n × n с комплексными элементами. Алгебра фон Неймана M — это самосопряженная подалгебра в C ^{п × п} такой, что M содержит тождественный оператор I в C ^{п × п}.

Каждая такая M , определенная выше, является полупростой алгеброй , т. е. не содержит нильпотентных идеалов. Предположим, что M ≠ 0 лежит в нильпотентном идеале M . Поскольку M* ∈ M по предположению, мы имеем M*M , положительную полуопределенную матрицу, лежащую в этом нильпотентном идеале. Это подразумевает ( M*M ) ^к = 0 для некоторого k . Итак, М*М = 0, т.е. М = 0.

Центр M алгебры фон Неймана M будем обозначать Z ( ) . Поскольку M самосопряжена, Z ( M ) сама является (коммутативной) алгеброй фон Неймана. Алгебра фон Неймана N называется фактором если Z ( N ) одномерна, то есть Z ( N ) состоит из кратных единице I. ,

Теорема. Любая конечномерная алгебра фон Неймана M представляет собой прямую сумму m факторов, где m — размерность Z ( M ).

Доказательство: согласно теории полупростых алгебр Веддерберна, Z ( M ) содержит конечный ортогональный набор идемпотентов (проекций) { P _i } таких, что P _i P _j = 0 для i ≠ j , Σ P _i = I и

Z(\mathbf {M} )=\bigoplus _{i}Z(\mathbf {M} )P_{i}

где каждая Z ( M )P _i — коммутативная простая алгебра. Любая комплексная простая алгебра изоморфна полная матричная алгебра C ^{к × к} для некоторого k . Но Z ( M )P _i коммутативна, следовательно, одномерна.

Проекции P _i «диагонализуют» M. естественным образом Для M ∈ M = M однозначно разлагается в MP Σ i _. M Поэтому,

{\mathbf {M} }=\bigoplus _{i}{\mathbf {M} }P_{i}.

Можно видеть, что Z ( MP i ₍ ) знак равно Z M ) P _i . Итак, ( MP i ) _{одномерен} , и каждый MP Z _i является фактором. Это доказывает утверждение.

Для общих алгебр фон Неймана прямая сумма заменяется прямым интегралом . Вышеизложенное является частным случаем центрального разложения алгебр фон Неймана .

Абелевы алгебры фон Неймана

Тип $II_{1}$ факторы

Ссылки

Кэдисон, Р.В.; Рингроуз, младший (1997). Основы теории операторных алгебр , Vol. II: Передовая теория . АМС. п. 676. ИСБН 978-0821808207 .

Синклер, AM; Смит, Р.Р. (2008). Конечные алгебры фон Неймана и Масасы . Издательство Кембриджского университета. п. 410. ИСБН 978-0521719193 .