Абелева алгебра фон Неймана

В функциональном анализе абелева алгебра фон Неймана — это алгебра фон Неймана операторов в гильбертовом пространстве , в котором все элементы коммутируют .

Прототипическим примером абелевой алгебры фон Неймана является алгебра L ^∞( X , µ) для µ - σ-конечная мера на X, реализованная как алгебра операторов в гильбертовом пространстве L ²( X , µ) следующим образом: Каждый f ∈ L ^∞( X , µ) отождествляется с оператором умножения

\psi \mapsto f\psi .

Особое значение имеют абелевы алгебры фон Неймана на сепарабельных гильбертовых пространствах, тем более что они вполне классифицируются с помощью простых инвариантов.

Хотя существует теория алгебр фон Неймана в несепарабельных гильбертовых пространствах (и действительно, большая часть общей теории все еще справедлива в этом случае), теория значительно проще для алгебр в сепарабельных пространствах и большинства приложений только к другим областям математики или физики. используйте сепарабельные гильбертовы пространства. Обратите внимание, что если пространства с мерой ( X , µ) являются стандартными пространствами с мерами (то есть X − N является стандартным борелевским пространством для некоторого нулевого множества N , а µ является σ-конечной мерой), то L ²( X , µ) сепарабельна.

Классификация [ править ]

Связь между коммутативными алгебрами фон Неймана и пространствами с мерой аналогична связи между коммутативными С*-алгебрами и локально компактными хаусдорфовыми пространствами . Любая коммутативная алгебра фон Неймана в сепарабельном гильбертовом пространстве изоморфна L ^∞( X ) для некоторого стандартного пространства с мерой ( X , µ) и наоборот, для любого стандартного пространства с мерой X , L ^∞( X ) — алгебра фон Неймана. Этот изоморфизм, как указано, является алгебраическим изоморфизмом. Фактически мы можем сформулировать это более точно следующим образом:

Теорема . Любая абелева алгебра операторов фон Неймана в сепарабельном гильбертовом пространстве *-изоморфна ровно одному из следующих

$\ell ^{\infty }(\{1,2,\ldots ,n\}),\quad n\geq 1$
$\ell ^{\infty }(\mathbf {N} )$
$L^{\infty }([0,1])$
$L^{\infty }([0,1]\cup \{1,2,\ldots ,n\}),\quad n\geq 1$
$L^{\infty }([0,1]\cup \mathbf {N} ).$

Изоморфизм можно выбрать так, чтобы сохранить топологию слабого оператора .

В приведенном выше списке интервал [0,1] имеет меру Лебега, а множества {1, 2, ..., n } и N имеют считающую меру. Союзы являются непересекающимися союзами. Эта классификация по существу является вариантом классификационной теоремы Махарама для сепарабельных алгебр с мерой. Наиболее полезная версия классификационной теоремы Махарама включает точечную реализацию эквивалентности и представляет собой своего рода народную теорему .

Хотя каждое стандартное пространство с мерой изоморфно одному из вышеперечисленных, и список является исчерпывающим в этом смысле, существует более канонический выбор пространства с мерой в случае абелевых алгебр фон Неймана A : множество всех проекторов представляет собой $\sigma$ -полная булева алгебра, то есть бесточечная $\sigma$ -алгебра. В особом случае $A=L^{\infty }(X,{\mathfrak {A}},\mu )$ человек восстанавливает абстрактное $\sigma$ -алгебра ${\mathfrak {A}}/\{A\mid \mu (A)=0\}$ . Этот бесточечный подход можно превратить в аналог теоремы двойственности Гельфанд-двойственности между категорией абелевых алгебр фон Неймана и категорией абстрактных $\sigma$ -алгебры.

Пусть µ и ν — неатомарные вероятностные меры в стандартных борелевских пространствах X и Y соответственно. Тогда существует µ нулевое подмножество N в X , ν нулевое подмножество M в Y и борелевский изоморфизм

\phi :X\setminus N\rightarrow Y\setminus M,\quad

который переводит µ в ν. ^[1]

Обратите внимание, что в приведенном выше результате необходимо отсечь наборы нулевой меры, чтобы результат работал.

В приведенной выше теореме изоморфизм необходим для сохранения топологии слабого оператора. Как оказывается (и это легко следует из определений), для алгебр L ^∞( X , µ), следующие топологии согласуются на ограниченных по норме множествах:

Слабая операторная топология на L ^∞( Х , м);
Сверхслабая операторная топология на L ^∞( Х , м);
Топология слабой* сходимости на L ^∞( X , µ) рассматривается как двойственное пространство к L ¹( Х , м).

Однако для абелевой алгебры фон Неймана A реализация A как алгебры операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве весьма неоднозначна. Полная классификация реализаций операторной алгебры оператора A дается спектральной теорией кратности и требует использования прямых интегралов .

Пространственный изоморфизм [ править ]

Используя теорию прямого интеграла, можно показать, что абелевы алгебры фон Неймана вида L ^∞( X , µ), действующие как операторы на L ²( X , µ) все максимальные абелевы. Это означает, что они не могут быть распространены на абелевы алгебры большего размера. Их также называют максимальными абелевыми самосопряженными алгебрами (или MASA). Другая фраза, используемая для их описания, — абелевы алгебры фон Неймана равномерной кратности 1 ; это описание имеет смысл только по отношению к теории множественности, описанной ниже.

Алгебры фон Неймана A на H , B на K ( пространственно изоморфны или унитарно изоморфны ) тогда и только тогда, когда существует унитарный оператор U : H → K такой, что

UAU^{*}=B.

В частности, пространственно изоморфные алгебры фон Неймана алгебраически изоморфны.

Чтобы описать наиболее общую абелеву алгебру фон Неймана на сепарабельном гильбертовом пространстве H с точностью до пространственного изоморфизма, нам нужно обратиться к разложению H в прямой интеграл . Детали этого разложения обсуждаются в разделе «Разложение абелевых алгебр фон Неймана» . В частности:

Теорема Любая абелева алгебра фон Неймана на сепарабельном гильбертовом пространстве H пространственно изоморфна L ^∞( X , µ), действующий на

\int _{X}^{\oplus }H(x)\,d\mu (x)

для некоторого измеримого семейства гильбертовых пространств { H _x } _{x ∈ X} .

Заметим, что для абелевых алгебр фон Неймана, действующих на таких пространствах прямой целостности, сохраняется эквивалентность слабой операторной топологии, ультраслабой топологии и слабой* топологии на ограниченных по норме множествах.

автоморфизмов реализация и пространственная Точечная

Многие задачи эргодической теории сводятся к задачам об автоморфизмах абелевых алгебр фон Неймана. В этом отношении полезны следующие результаты:

Теорема . ^[2] Предположим, что µ, ν — стандартные меры на X , Y соответственно. Тогда любой инволютивный изоморфизм

\Phi :L^{\infty }(X,\mu )\rightarrow L^{\infty }(Y,\nu )

которое является слабым* -двухнепрерывным, соответствует точечному преобразованию в следующем смысле: существуют борелевские нулевые подмножества M в X и N в Y и борелевский изоморфизм

\eta :X\setminus M\rightarrow Y\setminus N

такой, что

η переводит меру µ в меру µ' на Y , которая эквивалентна ν в том смысле, что µ' и ν имеют одни и те же множества нулевой меры;
η реализует преобразование Φ, т.е.

\Phi (f)=f\circ \eta ^{-1}.

Заметим, что в общем случае мы не можем ожидать, что η перенесет µ в ν.

Следующий результат касается унитарных преобразований, индуцирующих слабый *-бинепрерывный изоморфизм между абелевыми алгебрами фон Неймана.

Теорема . ^[3] Предположим, что µ, ν — стандартные меры на X , Y и

H=\int _{X}^{\oplus }H_{x}d\mu (x),\quad K=\int _{Y}^{\oplus }K_{y}d\nu (y)

для измеримых семейств гильбертовых пространств { ЧАС _Икс } _{Икс Е Икс} , { К _у } _{Е У Y} . Если U : H → K — унитарный такой, что

U\,L^{\infty }(X,\mu )\,U^{*}=L^{\infty }(Y,\nu )

тогда существует почти всюду определенное точечное преобразование Бореля η : X → Y , как в предыдущей теореме, и измеримое семейство { U _x } _{x ∈ X} унитарных операторов

U_{x}:H_{x}\rightarrow K_{\eta (x)}

такой, что

U{\bigg (}\int _{X}^{\oplus }\psi _{x}d\mu (x){\bigg )}=\int _{Y}^{\oplus }{\sqrt {{\frac {d(\mu \circ \eta ^{-1})}{d\nu }}(y)}}\ U_{\eta ^{-1}(y)}{\bigg (}\psi _{\eta ^{-1}(y)}{\bigg )}d\nu (y),

где выражение со знаком квадратного корня представляет собой производную Радона–Никодима от µ η ⁻¹ относительно ν. Это утверждение является следствием объединения сформулированной выше теоремы о точечной реализации автоморфизмов с теоремой, характеризующей алгебру диагонализируемых операторов, изложенной в статье о прямых интегралах .

Примечания [ править ]

^ Bogachev, V.I. (2007). Measure theory. Vol. II . Springer-Verlag. p. 275. ISBN 978-3-540-34513-8 .
^ Такесаки, Масамичи (2001), Теория операторных алгебр I , Springer-Verlag , ISBN 3-540-42248-Х , глава IV, лемма 8.22, с. 275
^ Такесаки, Масамичи (2001), Теория операторных алгебр I , Springer-Verlag , ISBN 3-540-42248-Х , глава IV, теорема 8.23, с. 277

Ссылки [ править ]

Дж. Диксмье, Операторные алгебры в гильбертовом пространстве , Готье-Виллар, 1969. См. главу I, раздел 6.
Теория операторных алгебр I, II, III Масамичи Такесаки », энциклопедия математических наук, Springer-Verlag, 2001–2003 (первый том был опубликован в 1979 году в 1-м издании) ISBN 3-540-42248-X

[1] Bogachev, V.I. (2007). Measure theory. Vol. II . Springer-Verlag. p. 275. ISBN 978-3-540-34513-8 .

[2] Такесаки, Масамичи (2001), Теория операторных алгебр I , Springer-Verlag , ISBN 3-540-42248-Х , глава IV, лемма 8.22, с. 275

[3] Такесаки, Масамичи (2001), Теория операторных алгебр I , Springer-Verlag , ISBN 3-540-42248-Х , глава IV, теорема 8.23, с. 277

[1]

[2]

[3]