Фактор гиперконечного типа II

В математике с точностью до изоморфизма существует ровно два сепарально действующих гиперконечных фактора типа II ; одно бесконечное и одно конечное. Мюррей и фон Нейман доказали, что с точностью до изоморфизма существует единственная алгебра фон Неймана , которая является фактором типа II ₁ и к тому же гиперконечной ; он называется типа II ₁ гиперконечным фактором .Существует бесчисленное множество других факторов типа II ₁ . Конн доказал, что бесконечное также единственно.

Конструкции

• Групповая алгебра фон Неймана дискретной группы со свойством бесконечного класса сопряженности является фактором типа II ₁ , а если группа аменабельна и счетна, то фактор гиперконечен. Существует множество групп с этими свойствами, поскольку любая локально конечная группа аменабельна. Например, групповая алгебра фон Неймана бесконечной симметрической группы всех перестановок счетного бесконечного множества, которые фиксируют все элементы, кроме конечного числа, дает фактор гиперконечного типа II ₁ .
• Гиперконечный фактор типа II ₁ также возникает в результате конструкции пространства групповой меры для эргодических свободных сохраняющих меру действий счетных аменабельных групп на вероятностных пространствах.
• The бесконечное тензорное произведение счетного числа факторов типа I _n относительно их следовых состояний является гиперконечным фактором типа II ₁ . Когда n = 2, ее также иногда называют алгеброй Клиффорда бесконечного сепарабельного гильбертова пространства.
• Если p — любой ненулевой конечный проектор в гиперконечной алгебре фон Неймана A типа II, то pAp ​​— гиперконечный фактор типа II ₁ . Эквивалентно, группа A фундаментальная — это группа положительных действительных чисел . Зачастую это трудно увидеть напрямую. Однако это очевидно, когда A является бесконечным тензорным произведением факторов типа I _n , где n пробегает все целые числа, большие 1, бесконечно много раз: просто возьмем p, эквивалентное бесконечному тензорному произведению проекций p _n, на котором государство либо $1$ или $1-1/n$.

Характеристики

Гиперконечный _{II 1} фактор R — это единственная наименьшая бесконечнаяразмерный фактор в следующем смысле: он содержится в любом другом бесконечномерном факторе, и любой бесконечномерный фактор, содержащийся в R , изоморфен R .

Группа внешних автоморфизмов R представляет собой бесконечную простую группу со счетным множеством классов сопряженности, индексированных парами, состоящими из натурального числа p и комплексного корня p -й степени из 1.

Проекции гиперконечного фактора II ₁ образуют непрерывную геометрию .

Бесконечный гиперконечный фактор типа II

Хотя существуют и другие факторы типа II _∞ , существует единственный гиперконечный с точностью до изоморфизма. Он состоит из тех бесконечных квадратных матриц с элементами гиперконечного множителя типа II ₁ , которые определяют ограниченные операторы .

См. также

• Субфакторы

Ссылки

• Конн А. Классификация инъективных факторов Анналы математики 2-я серия, Том. 104, № 1 (июль 1976 г.), стр. 73–115.
• Ф. Дж. Мюррей, Дж. фон Нейман, О кольцах операторов IV Ann. математики. (2), 44 (1943), стр. 716–808. Это показывает, что все приближенно конечные факторы типа II ₁ изоморфны.