Свободная вероятность

Свободная вероятность — это математическая теория, изучающая некоммутативные случайные величины . Свойство «свободы» или свободной независимости является аналогом классического понятия независимости и связано со свободными продуктами .Эта теория была инициирована Дэном Войкулеску примерно в 1986 году для решения проблемы изоморфизма факторов свободной группы, важной нерешенной проблемы в теории операторных алгебр . Учитывая свободную группу с некоторым числом образующих, мы можем рассмотреть алгебру фон Неймана , порожденную групповой алгеброй типа II ₁ , которая является фактором . Проблема изоморфизма спрашивает, изоморфны ли они для разного количества генераторов. Неизвестно даже, изоморфны ли какие-либо два фактора свободной группы. Это похоже на проблему свободной группы Тарского , которая спрашивает, имеют ли две разные неабелевы конечно порожденные свободные группы одну и ту же элементарную теорию.

связи с теорией случайных матриц , комбинаторикой , представлениями симметричных групп , больших уклонений , квантовой теорией информации Позже были установлены и другими теориями. Свободная вероятность в настоящее время подвергается активным исследованиям.

Обычно случайные величины лежат в алгебре с единицей A, такой как C*-алгебра или алгебра фон Неймана . Алгебра снабжена некоммутативным математическим ожиданием , функционалом φ: A → C таким, что φ(1) = 1. подалгебры с единицей A ₁ , ..., Am _{линейным} Тогда говорят, что свободно независимы, если математическое ожидание произведения a ₁ ... a _n равен нулю, если каждое a _j имеет нулевое математическое ожидание, лежит в A _k , никакие соседние a _j не происходят из одной и той же подалгебры A _k , и n не равно нулю. Случайные величины являются свободно независимыми, если они порождают свободно независимые унитарные подалгебры.

Одной из целей свободной вероятности (пока еще не достигнутой) было построение новых инвариантов алгебр фон Неймана , и свободная размерность считается разумным кандидатом на роль такого инварианта. Основным инструментом, используемым для построения свободного измерения, является свободная энтропия.

Связь свободной вероятности со случайными матрицами является ключевой причиной широкого использования свободной вероятности в других предметах. Войкулеску представил концепцию свободы примерно в 1983 году в контексте операторной алгебры; в начале вообще не было никакой связи со случайными матрицами. Эта связь была обнаружена Войкулеску только позже, в 1991 году; его мотивировал тот факт, что предельное распределение, которое он нашел в своей свободной центральной предельной теореме, ранее появлялось в законе полукруга Вигнера в контексте случайной матрицы.

Свободный кумулянтный функционал (представленный Роландом Спайхером ) ^[1] играет важную роль в теории. Он связан с решеткой непересекающихся разбиений множества { 1, ..., n } так же, как классический кумулянтный функционал связан с решеткой всех разбиений этого множества.

См. также

Ссылки

Цитаты

^ Спайхер, Роланд (1994), «Мультипликативные функции на решетке непересекающихся разбиений и свободная свертка», Mathematische Annalen , 298 (4): 611–628, doi : 10.1007/BF01459754 , MR 1268597 .

Источники

Д.-В. Войкулеску, Н. Стаммайер, М. Вебер (ред.): Свободная вероятностная и операторная алгебры , Мюнстерские лекции по математике, EMS, 2016
Джеймс А. Минго, Роланд Спейчер: Свободная вероятность и случайные матрицы . Монографии Института Филдса, Том. 35, Спрингер, Нью-Йорк, 2017.
А. Ника, Р. Спейчер: Лекции по комбинаторике свободной вероятности. Издательство Кембриджского университета, 2006 г., ISBN 0-521-85852-6
Фумио Хиай и Денис Петц, Закон полукруга, свободные случайные величины и энтропия , ISBN 0-8218-2081-8
Митченер, П.Д. (2005) Некоммутативная теория вероятностей , препринт
Войкулеску, Д.В.; Дайкема, К.Дж.; Ника А. Свободные случайные величины. Некоммутативный вероятностный подход к свободным произведениям с приложениями к случайным матрицам, операторным алгебрам и гармоническому анализу свободных групп. Серия монографий CRM, 1. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 1992. ISBN 0-8218-6999-X
Теренс Тао , 254A, Примечания 5: Свободная вероятность (10 февраля 2010 г.), конспекты для аспирантуры «Темы теории случайных матриц»
Роланд Шпайхер: Свободная теория вероятностей , конспекты курса

Внешние ссылки

Войкулеску получает награду НАН по математике — содержит читабельное описание свободной вероятности.
RMTool — бесплатный калькулятор вероятностей на базе MATLAB.
Председатель Alcatel-Lucent по гибкому радиоприменению свободной вероятности в беспроводной связи .
обзорные статьи Роланда Шпайчера о свободной вероятности.
блог о свободной вероятности
записанные лекции по свободной вероятности

[bnt-s-1] Спайхер, Роланд (1994), «Мультипликативные функции на решетке непересекающихся разбиений и свободная свертка», Mathematische Annalen , 298 (4): 611–628, doi : 10.1007/BF01459754 , MR 1268597 .

[1]