Jump to content

Теорема фон Неймана о бикоммутанте

В математике , особенно в функциональном анализе , теорема фон Неймана о бикоммутанте связывает замыкание набора ограниченных операторов в гильбертовом пространстве в некоторых топологиях с бикоммутантом этого набора. По сути, это связь между алгебраической и топологической сторонами теории операторов .

Формальная формулировка теоремы такова:

Теорема фон Неймана о бикоммутанте. Пусть M алгебра, состоящая из ограниченных операторов в гильбертовом пространстве H , содержащая тождественный оператор, и замкнутая относительно сопряженных . Тогда замыкания M равны и, в свою очередь в слабой операторной топологии и сильной операторной топологии , равны бикоммутанту M ' из M .

Эта алгебра называется алгеброй фон Неймана, порожденной M .

В пространстве ограниченных операторов существует несколько других топологий, и можно задаться вопросом, какие *-алгебры замкнуты в этих топологиях. Если М замкнута в топологии нормы , то она является С*-алгеброй , но не обязательно алгеброй фон Неймана. Одним из таких примеров является С*-алгебра компактных операторов (на бесконечномерном гильбертовом пространстве). Для большинства других распространенных топологий замкнутые *-алгебры, содержащие единицу, являются алгебрами фон Неймана; это относится, в частности, к топологиям слабого оператора, сильного оператора, *-сильного оператора, сверхслабой , сверхсильной и *-сверхсильной топологии.

Это связано с теоремой плотности Джекобсона .

Доказательство

[ редактировать ]

Пусть H — гильбертово пространство и L ( H ) — ограниченные операторы H. в Рассмотрим самосопряженную унитарную подалгебру M в L ( H ) (это означает, что M содержит сопряженные к ее членам и тождественный оператор на H ).

Теорема эквивалентна комбинации следующих трех утверждений:

(i) cl W ( M ) ⊆ M »
(ii) cl S ( M ) ⊆ cl W ( M )
(iii) M » ⊆ cl S ( M )

где индексы W и S обозначают замыкания в слабой и сильной операторной топологии соответственно.

Доказательство (i)

[ редактировать ]

Для любых x и y в H отображение T → < Tx , y > непрерывно в слабой операторной топологии по своему определению. Следовательно, для любого фиксированного оператора O таково и отображение

Пусть S — любое подмножество L ( H ) , а S ’ — его коммутант . Для любого оператора T в S ′ эта функция равна нулю для всех O в S . Для любого T, не входящего в S , оно должно быть ненулевым для некоторого O в S и некоторых x и y в H . В силу ее непрерывности существует открытая окрестность T для слабой операторной топологии, на которой она отлична от нуля и которая, следовательно, также не находится в S . Следовательно, любой коммутант S замкнут в слабой операторной топологии. В частности, так же и М » ; поскольку он содержит M , он также содержит его слабое операторное замыкание.

Доказательство (ii)

[ редактировать ]

Это непосредственно следует из того, что топология слабого оператора более грубая, чем топология сильного оператора: для каждой точки x в cl S ( M ) каждая открытая окрестность точки x в топологии слабого оператора также открыта в топологии сильного оператора и, следовательно, содержит член из М ; следовательно, x также является членом cl W ( M ) .

Доказательство (iii)

[ редактировать ]

Зафиксировать X M » . Мы должны показать, что X ∈ cl S ( M ) , т.е. для каждого h H и любого ε > 0 существует T в M такой, что || Xh Th || < е .

Исправьте h в H . Циклическое подпространство M h = { Mh : M M } инвариантно относительно действия любого T из M . Его замыкание cl( M h ) в норме H представляет собой замкнутое линейное подпространство с соответствующей ортогональной проекцией P : H cl( M h ) в L ( H ). этот P находится в M На самом деле, как мы сейчас покажем, .

Лемма. п M .
Доказательство. Зафиксируйте x H . Поскольку Px ∈ cl( M h ) , это предел последовательности O n h с O n в M . Для любого T M также TO n h находится в M h , и в силу непрерывности T эта последовательность сходится к TPx . Итак, TPx ∈ cl( M h ) и, следовательно, PTPx = TPx . Поскольку x был произвольным, мы имеем PTP = TP для всех T в M .
Поскольку M замкнуто относительно присоединенной операции, а , для P самосопряжено любых x , y H имеем
Итак, TP = PT для всех T M , что означает, что P лежит в M .

По определению бикоммутанта должно быть XP = PX . Так как унитален , h Mh M , и поэтому h = Ph . Следовательно, Xh = XPh = PXh ∈ cl( M h ) . Итак, для каждого ε > 0 существует T в M с || Xh Th || < ε , т. е. находится в сильном операторном замыкании M. X

Неблочные дома

[ редактировать ]

AC*-алгебра M , действующая на H, Говорят, что действует невырожденно , если для h в H из M h = {0} следует h = 0 . можно показать В этом случае с помощью приближенного тождества в M , что тождественный оператор I лежит в сильном замыкании M . Следовательно, заключение теоремы о бикоммутанте справедливо для M .

  • У. Б. Арвесон, Приглашение к C*-алгебрам , Спрингер, Нью-Йорк, 1976.
  • М. Такесаки, Теория операторных алгебр I , Springer, 2001, 2-е издание первого издания 1979 г.

Дальнейшее чтение

[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: af2bf61177db9c537abc29985ffcac1b__1721648580
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/af/1b/af2bf61177db9c537abc29985ffcac1b.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Von Neumann bicommutant theorem - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)