Забывчивый функтор

В математике , в области теории категорий , забывчивый функтор (также известный как функтор зачистки ) «забывает» или удаляет некоторые или все структуры или свойства входных данных «до» отображения на выходные данные. Для алгебраической структуры данной подписи это может быть выражено сокращением подписи: новая подпись представляет собой отредактированную форму старой. Если подпись остается пустым списком, функтор просто берет базовый набор структуры. Поскольку многие структуры в математике состоят из набора с дополнительной добавленной структурой, наиболее распространенным случаем является функтор забывания, который отображается в базовый набор.

Обзор

В качестве примера можно привести несколько забывчивых функторов из категории коммутативных колец . ( с единицей ) Кольцо , описываемое на языке универсальной алгебры , представляет собой упорядоченный набор $(R,+,\times ,a,0,1)$ удовлетворяющие определенным аксиомам, где $+$ и $\times$ являются двоичными функциями на множестве $R$, $a$ — это унарная операция, соответствующая аддитивной обратной операции, а 0 и 1 — это нулевые операции, определяющие идентичность двух двоичных операций. Удаление 1 приводит к забывчивому функтору категории колец без единицы ; он просто «забывает» единицу. Удаление $\times$ и 1 дает функтор категории абелевых групп , который присваивает каждому кольцу $R$ основная аддитивная абелева группа $R$. Каждому морфизму колец присвоена одна и та же функция, рассматриваемая просто как морфизм сложения между лежащими в основе группами. Удаление всех операций дает функтор базовому множеству. $R$.

Полезно различать забывчивые функторы, которые «забывают структуру», и те, которые «забывают свойства». Например, в приведенном выше примере коммутативных колец помимо тех функторов, которые удаляют часть операций, есть функторы, которые забывают некоторые аксиомы. Существует функтор из категории CRing to Ring , который забывает аксиому коммутативности, но сохраняет все операции. Иногда объект может включать в себя дополнительные наборы, не определенные строго в терминах базового набора (в этом случае, какую часть рассматривать в базовом наборе, — дело вкуса, хотя на практике это редко бывает неоднозначным). Для этих объектов существуют забывчивые функторы, которые забывают дополнительные множества, которые являются более общими.

Наиболее распространенные объекты, изучаемые в математике, строятся как базовые множества вместе с дополнительными наборами структуры на этих множествах (операции с базовым набором, привилегированные подмножества базового набора и т. д.), которые могут удовлетворять некоторым аксиомам. Для этих объектов обычно рассматриваемый функтор забывания выглядит следующим образом.Позволять ${\mathcal {C}}$ быть любой категорией, основанной на множествах , например группы — наборы элементов — или топологические пространства — наборы «точек». Как обычно, пишите $\operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$ для объектов г. ${\mathcal {C}}$ и напиши $\operatorname {Fl} ({\mathcal {C}})$ для его морфизмов. Рассмотрим правило:

Для всех $A$ в $\operatorname {Ob} ({\mathcal {C}}),A\mapsto |A|=$ базовый набор $A,$

Для всех $u$ в $\operatorname {Fl} ({\mathcal {C}}),u\mapsto |u|=$ морфизм, $u$, как карта множеств.

Функтор $|\cdot |$ тогда является функтором забывчивости из ${\mathcal {C}}$ to Set — категория множеств .

Забывчивые функторы почти всегда верны . Конкретные категории имеют забывчивые функторы для категории множеств — на самом деле их можно определить как те категории, которые допускают точный функтор в эту категорию.

Забывчивые функторы, которые забывают только аксиомы, всегда полностью верны , поскольку каждый морфизм, который соблюдает структуру между объектами, удовлетворяющими аксиомам, автоматически также соблюдает аксиомы. Забывчивые функторы, которые забывают структуры, не обязательно должны быть полными; некоторые морфизмы не учитывают структуру. Однако эти функторы по-прежнему верны, поскольку отдельные морфизмы, которые действительно соблюдают структуру, по-прежнему различны, когда структура забыта. Функторы, которые забывают дополнительные множества, не обязательно должны быть точными, поскольку различные морфизмы, относящиеся к структуре этих дополнительных множеств, могут быть неразличимы на базовом множестве.

На языке формальной логики функтор первого рода удаляет аксиомы, функтор второго рода удаляет предикаты, а функтор третьего рода удаляет типы. . Примером первого рода является функтор забывания Ab → Grp . Один из второго рода — это функтор забывания Ab → Set . Функтором третьего рода является функтор Mod → Ab , где Mod — расслоенная категория всех модулей над произвольными кольцами. Чтобы убедиться в этом, просто выберите кольцевой гомоморфизм между лежащими в основе кольцами, который не меняет действие кольца. Под действием функтора забвения этот морфизм дает тождество. Обратите внимание, что объект в Mod — это кортеж, включающий в себя кольцо и абелеву группу, так что забыть — дело вкуса.

Левые сопряженные забывчивым функторам

Забывчивые функторы имеют тенденцию иметь левые сопряженные , которые являются « свободными » конструкциями. Например:

• бесплатный модуль : функтор забывчивости из $\mathbf {Mod} (R)$ (категория $R$- модули ) для $\mathbf {Set}$ покинул примыкающий $\operatorname {Free} _{R}$, с $X\mapsto \operatorname {Free} _{R}(X)$, бесплатно $R$-модуль с базой $X$.
• бесплатная группа
• свободная решетка
• тензорная алгебра
• свободная категория , сопряженная с забывчивым функтором от категорий к колчанам
• универсальная обертывающая алгебра

Более обширный список см. (Mac Lane 1997).

Поскольку это фундаментальный пример сопряженных, мы запишем его:сопряженность означает, что для данного множества X и объекта (скажем, R -модуля) M отображения множеств $X\to |M|$ соответствуют картам модулей $\operatorname {Free} _{R}(X)\to M$: каждая карта множеств дает карту модулей, а каждая карта модулей происходит из карты множеств.

В случае векторных пространств это суммируется следующим образом:«Отображение векторных пространств определяется тем, куда оно отправляет базис, а базис может быть отображен во что угодно».

Символически:

$\operatorname {Hom} _{\mathbf {Mod} _{R}}(\operatorname {Free} _{R}(X),M)=\operatorname {Hom} _{\mathbf {Set} }(X,\operatorname {Forget} (M)).$

Единицей вольно-забывчивого присоединения является «включение основы»: $X\to \operatorname {Free} _{R}(X)$.

Fld , категория полей, представляет собой пример забывчивого функтора без сопряженного. Не существует поля, удовлетворяющего свободному универсальному свойству для данного множества.

См. также

• Сопряженные функторы
• Функторы
• Проекция (теория множеств)

Ссылки

• Мак Лейн, Сондерс . Категории для работающего математика , Тексты для выпускников по математике 5, Springer-Verlag, Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк, 1997. ISBN   0-387-98403-8

Внешние ссылки

• Забывчивый функтор в n Lab