Полное кольцо пересечения

В коммутативной алгебре полным кольцом пересечений называется коммутативное кольцо, подобное координатным кольцам многообразий, являющихся полными пересечениями . Неформально их можно рассматривать примерно как локальные кольца , которые можно определить с использованием «минимально возможного» числа отношений.

Для нётеровых локальных колец существует следующая цепочка включений:

Универсально цепные кольца ⊃ кольца Коэна–Маколея ⊃ кольца Горенштейна ⊃ кольца полных пересечений ⊃ регулярные локальные кольца

Определение

Локальное полное кольцо пересечений — нётерово локальное кольцо которого , пополнение есть фактор регулярного локального кольца по идеалу, порождённому регулярной последовательностью . Принятие пополнения представляет собой небольшую техническую сложность, вызванную тем, что не все локальные кольца являются частными регулярных. Для колец, являющихся факторами регулярных локальных колец, охватывающих большинство локальных колец, встречающихся в алгебраической геометрии, в определении нет необходимости брать пополнения.

Существует альтернативное внутреннее определение, не зависящее от вложения кольца в регулярное локальное кольцо. Если R — нётерово локальное кольцо с максимальным идеалом m , то размерность m / m ² называется размерностью вложения ( R ) R. emb dim Определим градуированную алгебру H ( R ) как гомологии комплекса Кошуля относительно минимальной системы образующих m / m ² ; с точностью до изоморфизма это зависит только от R , а не от выбора образующих m . Размерность H ₁ ( R ) обозначается ε ₁ называется первым отклонением R и ; оно исчезает тогда и только тогда, когда R регулярно. Нётерово локальное кольцо называется кольцом полного пересечения, если его Размерность внедрения представляет собой сумму размерности и первого отклонения:

вставить тусклый( р ) знак равно тусклый( р ) + ε ₁ ( р ).

Существует также рекурсивная характеристика локальных колец полных пересечений, которую можно использовать в качестве определения следующим образом. Предположим, что R — полное нётерово локальное кольцо. Если R имеет размерность больше 0 и x — элемент максимального идеала, который не является делителем нуля, то R — полное кольцо пересечений тогда и только тогда, когда таковым является R /( x ). (Если максимальный идеал полностью состоит из делителей нуля, то R не является полным кольцом пересечений.) Если R имеет размерность 0, то Вибе (1969) показал, что оно является полным кольцом пересечений тогда и только тогда, когда идеал Фиттинга его максимального идеала не равно нулю.

Примеры

Регулярные местные звонки

Регулярные локальные кольца являются кольцами полных пересечений, но обратное неверно: кольцо $k[x]/(x^{2})$ является 0-мерным полным кольцом пересечений, которое не является регулярным.

Не полный перекрёсток

Пример локально полного кольца пересечений, которое не является полным кольцом пересечений, дается следующим образом: $k[x,y]/(y-x^{2},x^{3})$который имеет длину 3, поскольку он изоморфен $k$ векторное пространство для $k\oplus k\cdot x\oplus k\cdot x^{2}$.

Контрпример

Локальные кольца полного пересечения являются кольцами Горенштейна , но обратное неверно: кольцо $k[x,y,z]/(x^{2},y^{2},xz,yz,z^{2}-xy)=R/I$ — 0-мерное кольцо Горенштейна, не являющееся полным кольцом пересечений. Как $k$-векторном пространстве это кольцо изоморфно

${\frac {k[x,y,z]}{(x^{2},y^{2},xz,yz,z^{2}-xy)}}\cong R_{0}\oplus R_{1}\oplus R_{2}$, где $R_{0}=k\cdot 1,R_{1}=k\cdot x\oplus k\cdot y\oplus k\cdot z$, и $R_{2}=k\cdot z^{2}$

показывая, что это Горенштейн, поскольку компонент высшей степени является размерностью $1$ и оно удовлетворяет свойству Пуанкаре. Это не локальное кольцо полного пересечения, поскольку идеал $I\subset R$ не $R$-обычный. Например, $xy$ является делителем нуля $x$ в $R/(x^{2},y^{2})$.

Ссылки

• Брунс, Винфрид; Херцог, Юрген (1993), Коэна – Маколея , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 39, Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-41068-7 , МР   1251956
• Махадас, Хавьер; Родисио, Антонио Г. (2010). Гладкость, регулярность и полное пересечение . Издательство Кембриджского университета . ISBN  9781139107181 .
• Тейт, Джон (1957), «Гомологии нётеровых колец и локальных колец» , Illinois Journal of Mathematics , 1 : 14–27, ISSN   0019-2082 , MR   0086072
• Вибе, Хартмут (1969), «О гомологических инвариантах локальных колец», Mathematical Annals , 179 : 257–274, doi : 10.1007/BF01350771 , ISSN   0025-5831 , MR   0255531