Jump to content

Поднимаемся и опускаемся

(Перенаправлено с объекта Going up )

В коммутативной алгебре , разделе математики , «восхождение вверх» и «спуск вниз» — это термины, которые относятся к определенным свойствам цепочек простых идеалов в целочисленных расширениях .

Фраза « подниматься вверх» относится к случаю, когда цепочку можно расширить за счет « включения вверх », а фраза «подниматься вниз» относится к случаю, когда цепочку можно продлить за счет «включения вниз».

Основными результатами являются теоремы Коэна-Зейденберга , которые были доказаны Ирвином С. Коэном и Абрахамом Зайденбергом . Они известны как теоремы о повышении и понижении .

Поднимаемся и опускаемся

[ редактировать ]

Пусть A B расширение коммутативных колец .

Теоремы о восхождении и нисхождении дают достаточные условия для того, чтобы цепочку простых идеалов в B , каждый член которой лежит над членами более длинной цепочки простых идеалов из A , можно было продлить до длины цепочки. простых идеалов в A .

Ложь и несравнимость

[ редактировать ]

Для начала исправим некоторую терминологию. Если и являются простыми идеалами A B и что соответственно, такие,

(Обратите внимание, что автоматически является простым идеалом A ), то мы говорим, что лежит под и это лежит над . В общем случае говорят, что кольцевое расширение A B коммутативных колец удовлетворяет свойству лежания над, если каждый простой идеал A лежит при некотором простом идеале Б.

расширение A B Говорят, что удовлетворяет свойству несравнимости, если всякий раз, когда и — различные простые числа B, лежащие над простым числом в А , тогда  ⊈  и  ⊈  .

расширение кольца A B Говорят, что удовлетворяет свойству подъема вверх, если всякий раз, когда

представляет собой цепочку простых идеалов A и

— цепочка простых идеалов B с m < n и такая, что лежит над для 1 ≤ i m последняя цепочка может быть продолжена до цепочки

такой, что лежит над для каждого 1 ≤ i n .

В ( Каплански, 1970 ) показано, что если расширение A B удовлетворяет свойству подъема, то оно также удовлетворяет свойству перекрытия.

Спускаясь

[ редактировать ]

кольцевое расширение A B Говорят, что удовлетворяет свойству спуска, если всякий раз, когда

представляет собой цепочку простых идеалов A и

— цепочка простых идеалов B с m < n и такая, что лежит над для 1 ≤ i m последняя цепочка может быть продолжена до цепочки

такой, что лежит над для каждого 1 ≤ i n .

Существует обобщение случая расширения колец с помощью кольцевых морфизмов. Пусть f : A B — (единичный) кольцевой гомоморфизм , так что B — кольцевое расширение f ( A ). Тогда f говорят, что удовлетворяет свойству подъема, свойство подъема выполняется для f ( A ) в B. если

Аналогично, если B является кольцевым расширением f ( A ), то f говорят, что удовлетворяет свойству спуска вниз , если свойство спуска выполняется для f ( A ) в B .

В случае обычных кольцевых расширений, таких как A B , подходящим отображением является карта включения .

Теоремы о повышении и понижении

[ редактировать ]

Обычные формулировки теорем о подъеме и опускании относятся к расширению кольца A B :

  1. (Поднимаясь вверх) Если B является целым расширением A , то это расширение удовлетворяет свойству подъема вверх (и, следовательно, свойству лежания сверху) и свойству несравнимости.
  2. (Спускаясь вниз) Если B — целочисленное расширение A , B — область и A целозамкнуто в своем поле частных, то расширение (помимо восходящего, перележащего и несравнимого) удовлетворяет условию идущего - вниз имущество.

Есть еще одно достаточное условие свойства снижения:

Доказательство : [2] Пусть p 1 p 2 — простые идеалы кольца A , и пусть q 2 — простой идеал кольца B такой, что q 2 A = p 2 . Мы хотим доказать, что существует простой идеал q 1 из B, содержащийся в q 2, такой, что q 1 A = p 1 . Так как A B — плоское расширение колец, то A p 2 B q 2 — плоское расширение колец. В действительности A p 2 B q 2 является точно плоским расширением колец, поскольку отображение включения A p 2 B q 2 является локальным гомоморфизмом. Следовательно, индуцированное отображение спектров Spec( B q 2 ) → Spec( A p 2 ) сюръективно и существует простой идеал B q 2 , который стягивается к простому идеалу p 1 A p 2 группы A p 2 . Сжатием этого простого идеала B q 2 в B является простой идеал q 1 B , содержащийся в q 2 , который сжимается до p 1 . Доказательство завершено. КЭД

  1. ^ Это следует из гораздо более общей леммы Брунса-Герцога, леммы A.9 на странице 415.
  2. ^ Мацумура, стр. 33, (5.D), теорема 4
  • Атья, М.Ф. и И.Г. Макдональд , Введение в коммутативную алгебру , Perseus Books, 1969, ISBN   0-201-00361-9 МР 242802
  • Винфрид Брунс; Юрген Херцог, кольца Коэна-Маколея . Кембриджские исследования по высшей математике, 39. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1993. xii+403 стр. ISBN   0-521-41068-1
  • Коэн, И.С.; Зайденберг, А. (1946). «Первые идеалы и интегральная зависимость» . Бык. амер. Математика. Соц . 52 (4): 252–261. дои : 10.1090/s0002-9904-1946-08552-3 . МР   0015379 .
  • Каплански, Ирвинг (1970). Коммутативные кольца . Аллин и Бэкон.
  • Мацумура, Хидеюки (1970). Коммутативная алгебра . Бенджамина. ISBN  978-0-8053-7025-6 .
  • Шарп, Р.Ю. (2000). «13 Интегральная зависимость от подколец (13.38 Теорема о повышении, стр. 258–259; 13.41 Теорема о понижении, стр. 261–262)». Шаги коммутативной алгебры . Тексты студентов Лондонского математического общества. Том. 51 (Второе изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. xii+355. ISBN  0-521-64623-5 . МР   1817605 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: a55de901d2c4263cd78fa2e2d0059686__1694757900
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/a5/86/a55de901d2c4263cd78fa2e2d0059686.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Going up and going down - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)