Представительство Гельфанда

В математике в представление Гельфанда функциональном анализе (по имени И. М. Гельфанда ) представляет собой одно из двух:

• способ представления коммутативных банаховых алгебр как алгебр непрерывных функций;
• тот факт, что для коммутативных С*-алгебр это представление является изометрическим изоморфизмом.

В первом случае представление Гельфанда можно рассматривать как далеко идущее обобщение преобразования Фурье интегрируемой функции. В последнем случае теорема о представлении Гельфанда-Наймарка является одним из направлений развития спектральной теории нормальных операторов и обобщает понятие диагонализации нормальной матрицы .

Исторические замечания

Одно из оригинальных приложений Гельфанда (и исторически мотивировавшее большую часть изучения банаховых алгебр). ) должен был дать гораздо более короткое и концептуальное доказательство знаменитой леммы Норберта Винера (см. цитату ниже), характеризующей элементы групповых алгебр L ¹ ( Р ) и $\ell ^{1}({\mathbf {Z} })$ чьи трансляты охватывают плотные подпространства в соответствующих алгебрах.

Модельная алгебра

Для любого локально компактного хаусдорфова пространства X пространство C0 _{топологического} ( X ) непрерывных комплекснозначных функций на X , обращающихся в нуль на бесконечности, естественным образом является коммутативной C*-алгеброй:

• Структура алгебры над комплексными числами получается путем рассмотрения поточечных операций сложения и умножения.
• Инволюция представляет собой поточечное комплексное сопряжение.
• Норма — это равномерная норма функций.

Важность X локальной компактности и Хаусдорфа состоит в том, что это превращает X в полностью регулярное пространство . В таком пространстве каждое замкнутое подмножество X является общим нулевым множеством семейства непрерывных комплекснозначных функций на X позволяет восстановить топологию X из C0 _{, что} ( X ).

что C0 _{единицей} ( X ) является тогда и только тогда, когда компактно , Обратите внимание , и в этом случае ( _C0 X ) равно C ( X ), алгебре всех непрерывных комплекснозначных функций на X. X

Гельфандовское представление коммутативной банаховой алгебры

Позволять $A$ — коммутативная банахова алгебра , определенная над полем $\mathbb {C}$ комплексных чисел. Ненулевой гомоморфизм алгебры (мультипликативный линейный функционал) $\Phi \colon A\to \mathbb {C}$ называется персонажем ​ $A$; набор всех персонажей $A$ обозначается $\Phi _{A}$.

Можно показать, что каждый символ на $A$ автоматически непрерывен и, следовательно, $\Phi _{A}$ это подмножество пространства $A^{*}$ непрерывных линейных функционалов на $A$; более того, при использовании относительной топологииweak-* , $\Phi _{A}$ оказывается локально компактным и хаусдорфовым. (Это следует из теоремы Банаха–Алаоглу .) Пространство $\Phi _{A}$ компактен (в только что определенной топологии), если и только если алгебра $A$ имеет элемент идентичности.

Данный $a\in A$, определяется функция ${\widehat {a}}:\Phi _{A}\to {\mathbb {C} }$ к ${\widehat {a}}(\phi )=\phi (a)$. Определение $\Phi _{A}$и топология на нем гарантируют, что ${\widehat {a}}$ непрерывен и исчезает на бесконечности , и что карта $a\mapsto {\widehat {a}}$ определяет уменьшающий норму и сохраняющий единицу гомоморфизм алгебры из $A$ к $C_{0}(\Phi _{A})$. Этот гомоморфизм является представлением Гельфанда $A$, и ${\widehat {a}}$ — преобразование Гельфанда элемента $a$. В общем, представление не является ни инъективным, ни сюръективным.

В случае, когда $A$ имеет единичный элемент, существует биекция между $\Phi _{A}$ и множество максимальных идеалов в $A$ (это основано на теореме Гельфанда–Мазура ). Как следствие, ядро ​​представления Гельфанда $A\to C_{0}(\Phi _{A})$ можно отождествить с Джекобсона радикалом $A$. Таким образом, представление Гельфанда инъективно тогда и только тогда, когда $A$ является (Якобсон) полупростым .

Примеры

В случае, когда $A=L^{1}(\mathbb {R} )$, групповая алгебра $\mathbb {R}$, затем $\Phi _{A}$ гомеоморфен $\mathbb {R}$ и преобразование Гельфанда $f\in L^{1}(\mathbb {R} )$ это преобразование Фурье ${\tilde {f}}$.

В случае, когда $A=L^{1}(\mathbb {R} _{+})$, $\mathbb {R} _{+}$ не является сложенной группой, поэтому преобразование Гельфанда неприменимо, и поэтому неверно говорить, что преобразование Лапласа является преобразованием Гельфанда в этой алгебре. $\mathbb {R} _{+}$ Однако это группа при умножении, в которой преобразование Гельфанда является преобразованием Меллина .

Случай C*-алгебры

В качестве мотивации рассмотрим частный случай A = C ₀ ( X ). Учитывая x в X , пусть $\varphi _{x}\in A^{*}$ быть поточечной оценкой в ​​точке x , т.е. $\varphi _{x}(f)=f(x)$. Затем $\varphi _{x}$ является символом A , и можно показать, что все символы A имеют эту форму; более точный анализ показывает, что мы можем отождествлять Ф _А с X не только как множества, но и как топологические пространства. Тогда представление Гельфанда является изоморфизмом

$C_{0}(X)\to C_{0}(\Phi _{A}).\$

Спектр коммутативной C*-алгебры

См. Также: Спектр C *-алгебры.

Спектр , или пространство Гельфанда коммутативной C*-алгебры A , обозначаемой Â состоит из множества ненулевых *-гомоморфизмов из A в комплексные числа. Элементы спектра называются символами на A . (Можно показать, что каждый гомоморфизм алгебры из A в комплексные числа автоматически является *-гомоморфизмом , так что это определение термина «характер» согласуется с приведенным выше.)

В частности, спектр коммутативной C*-алгебры представляет собой локально компактное хаусдорфово пространство: в единичном случае, т. е. когда C*-алгебра имеет мультипликативный единичный элемент 1, все характеры f должны быть единичными, т. е. f (1) это комплекс номер один. Это исключает нулевой гомоморфизм. Таким образом, Â замкнуто относительно слабой* сходимости, и спектр фактически компактен . В неединичном случае слабое замыкание Â есть Â ∪ {0}, где 0 — нулевой гомоморфизм, а удаление единственной точки из компактного хаусдорфова пространства дает локально компактное хаусдорфово пространство.

Обратите внимание, что спектр — это перегруженное слово. Это также относится к спектру σ( x ) элемента x алгебры с единицей 1, то есть набора комплексных чисел r, для которых x − r 1 не обратимо в A . Для единичных C*-алгебр эти два понятия связаны следующим образом: σ( x ) — это множество комплексных чисел f ( x ), где f пробегает пространство A. Гельфанда Вместе с формулой спектрального радиуса это показывает, что Â является подмножеством единичного шара A* и как таковое может быть задано относительной топологией слабого*. Это топология поточечной сходимости. Сеть f { f _k } _k элементов спектра A сходится к f тогда и только тогда, когда для каждого x в A сеть комплексных чисел { k ₍ x ) } _k сходится к f ( x ).

Если А — сепарабельная С*-алгебра, то топология слабого* метризуема на ограниченных подмножествах. Таким образом, спектр сепарабельной коммутативной С*-алгебры А можно рассматривать как метрическое пространство. Таким образом, топологию можно охарактеризовать через сходимость последовательностей.

Эквивалентно, σ( x ) — это диапазон γ( x ), где γ — представление Гельфанда.

Формулировка коммутативной теоремы Гельфанда–Наймарка.

Пусть A — коммутативная C*-алгебра и X — спектр A . Позволять

$\gamma :A\to C_{0}(X)$

— представление Гельфанда, определенное выше.

Теорема . Отображение Гельфанда γ является изометрическим *-изоморфизмом из на C0 ( _A X ) .

См. ссылку на Арвесон ниже.

Спектр коммутативной C*-алгебры также можно рассматривать как множество всех максимальных идеалов m из A с топологией оболочки-ядра . (См. предыдущие замечания для общего случая коммутативной банаховой алгебры.) Для любого такого m факторалгебра A/m одномерна (по теореме Гельфанда-Мазура), и поэтому любое a в A порождает комплексную значимая функция на Y .

В случае С*-алгебр с единицей отображение спектра порождает контравариантный функтор из категории коммутативных С*-алгебр с единицей и сохраняющих единицу непрерывных *-гомоморфизмов в категорию компактов Хаусдорфа и непрерывных отображений. . Этот функтор представляет собой половину контравариантной эквивалентности между этими двумя категориями ( сопряженным к нему является функтор, сопоставляющий каждому бикомпакту X С*-алгебру ( _C0 X ) ). частности, для данных бикомпактов X и Y C ( ) X изоморфна C ( Y C*-алгебра) тогда и только тогда, X гомеоморфно В Y. когда ) ( как

«Полная» теорема Гельфанда–Наймарка является результатом для произвольных (абстрактных) некоммутативных C*-алгебр A , который, хотя и не совсем аналогичен представлению Гельфанда, но дает конкретное представление A как алгебры операторов.

Приложения

Одним из наиболее важных приложений является существование непрерывного функционального исчисления для нормальных элементов в C*-алгебре A : элемент x является нормальным тогда и только тогда, когда x коммутирует с сопряженным ему x* или, что то же самое, тогда и только тогда, когда он порождает коммутативная C*-алгебра C*( x ). В силу изоморфизма Гельфанда, примененного к С*( х ), оно *-изоморфно алгебре непрерывных функций на локально компактном пространстве. Это наблюдение почти сразу приводит к следующему:

Теорема . Пусть A — C*-алгебра с единицей и x — элемент A. нормальный Тогда существует *-морфизм f → f ( x ) из алгебры непрерывных функций спектра σ( x ) в A такой, что

• Он отображает 1 в мультипликативную единицу A ;
• Он отображает тождественную функцию спектра на x .

Это позволяет нам применять непрерывные функции к ограниченным нормальным операторам в гильбертовом пространстве.

Ссылки

• Арвесон, В. (1981). Приглашение к C*-алгебрам . Спрингер-Верлаг. ISBN  0-387-90176-0 .
• Бонсолл, ФФ; Дункан, Дж. (1973). Полные нормированные алгебры . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-06386-2 .
• Конвей, Дж. Б. (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике. Том. 96. Спрингер Верлаг . ISBN  0-387-97245-5 .
• Винер, Н. (1932). «Тауберовы теоремы». Энн. математики . II. 33 (1). Анналы математики: 1–100. дои : 10.2307/1968102 . JSTOR   1968102 .