Формальная схема
В математике , особенно в алгебраической геометрии , формальная схема — это тип пространства, включающий данные о его окружении. В отличие от обычной схемы , формальная схема включает в себя бесконечно малые данные, которые, по сути, указывают направление от схемы. По этой причине формальные схемы часто появляются в таких темах, как теория деформации . Но эта концепция также используется для доказательства такой теоремы, как теорема о формальных функциях , которая используется для вывода теорем, представляющих интерес для обычных схем.
Локально нётерова схема — это локально нётерова формальная схема в каноническом смысле: формальное пополнение вдоль самой себя. Другими словами, категория локально нётеровых формальных схем содержит все локально нётеровы схемы.
Зарисского Формальные схемы были мотивированы и обобщают теорию формальных голоморфных функций .
Алгебраическая геометрия, основанная на формальных схемах, называется формальной алгебраической геометрией .
Определение
[ редактировать ]Формальные схемы обычно определяются только в нетеровом случае. Хотя существовало несколько определений ненетеровских формальных схем, они сталкиваются с техническими проблемами. Следовательно, мы будем определять только локально нетеровы формальные схемы.
Все кольца будут считаться коммутативными и с единицей . Пусть A — (нётерово) топологическое кольцо , то есть кольцо A, являющееся топологическим пространством , в котором операции сложения и умножения непрерывны. А если линейно топологизировано, нуль имеет базу , состоящую из идеалов . Идеал определения для линейно топологизированного кольца — это открытый идеал такой, что для каждой открытой окрестности V точки 0 существует целое положительное число n такое, что . Линейно топологизированное кольцо преддопустимо, если оно допускает идеал определения, и допустимо , если оно также полно . (По терминологии Бурбаки , это «полное и обособленное».)
Предположим, что A допустимо, и пусть быть идеалом определения. Простой идеал открыт тогда и только тогда, когда он содержит . Множество открытых простых идеалов A или, что то же самое, множество простых идеалов A . , является основным топологическим пространством формального спектра A , обозначаемым Spf A . Spf A имеет структурный пучок , который определяется с помощью структурного пучка спектра кольца . Позволять — базис окрестности нуля, состоящий из идеалов определения. Все спектры имеют одно и то же топологическое пространство, но другой структурный пучок. Структурный пучок Spf A является проективным пределом .
Можно показать, что если f ∈ A и D f — множество всех открытых простых идеалов A , не содержащих f , то , где — завершение локализации A f .
Наконец, локально нётерова формальная схема представляет собой топологически окольцованное пространство. (то есть окольцованное пространство , пучок колец которого является пучком топологических колец) такое, что каждая точка допускает открытую окрестность, изоморфную (как топологически окольцованные пространства) формальному спектру нётерова кольца.
Морфизмы между формальными схемами
[ редактировать ]Морфизм локально нётеровых формальных схем является их морфизмом как локально окольцованных пространств такой, что индуцированное отображение является непрерывным гомоморфизмом топологических колец для любого аффинного открытого подмножества U .
f называется адическим или это -адическая формальная схема, если существует идеал определения такой, что является идеалом определения . Если f адический, то это свойство справедливо для любого идеала определения.
Примеры
[ редактировать ]Для любого идеала I и кольца A мы можем определить I-адическую топологию на A , определяемую его базисом, состоящим из множеств вида a+I. н . Это преддопустимо и допустимо, если А -адически полно I . В этом случае Spf A — топологическое пространство Spec A/I с пучком колец вместо .
- A=k[[t]] и I=(t) . Тогда A/I=k , так что пространство Spf A представляет собой единственную точку (t) , в которой его структурный пучок принимает значение k[[t]] . Сравните это со Spec A/I , чей структурный пучок в этот момент принимает значение k : это пример идеи о том, что A является «формальным утолщением» A вокруг I. Spf
- Формальное завершение закрытой подсхемы. Рассмотрим замкнутую подсхему X аффинной плоскости над k , заданную идеалом I=(y 2 -х 3 ) . Обратите внимание, что A 0 =k[x,y] не является I -адически полным; напишите A для его I -адического завершения. В этом случае Spf A=X как пространства и его структурный пучок . Его глобальные разделы — A , в отличие от X , глобальные разделы которого — A/I .
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). «Элементы алгебраической геометрии: I. Язык диаграмм» . Публикации IHÉS по математике . 4 . дои : 10.1007/bf02684778 . МР 0217083 .
- Ясуда, Т. (2009). «Неадические формальные схемы». Уведомления о международных математических исследованиях . arXiv : 0711.0434 . дои : 10.1093/imrn/rnp021 .
- Маккуиллан, Майкл (2002). «Формально-формальные схемы». Топология и геометрия: в память о SISTAG . Современная математика. Том. 314. стр. 187–198. дои : 10.1090/conm/314/05431 . ISBN 9780821828205 .