Jump to content

Формальная схема

(Перенаправлено из Формальная геометрия )

В математике , особенно в алгебраической геометрии , формальная схема — это тип пространства, включающий данные о его окружении. В отличие от обычной схемы , формальная схема включает в себя бесконечно малые данные, которые, по сути, указывают направление от схемы. По этой причине формальные схемы часто появляются в таких темах, как теория деформации . Но эта концепция также используется для доказательства такой теоремы, как теорема о формальных функциях , которая используется для вывода теорем, представляющих интерес для обычных схем.

Локально нётерова схема — это локально нётерова формальная схема в каноническом смысле: формальное пополнение вдоль самой себя. Другими словами, категория локально нётеровых формальных схем содержит все локально нётеровы схемы.

Зарисского Формальные схемы были мотивированы и обобщают теорию формальных голоморфных функций .

Алгебраическая геометрия, основанная на формальных схемах, называется формальной алгебраической геометрией .

Определение

[ редактировать ]

Формальные схемы обычно определяются только в нетеровом случае. Хотя существовало несколько определений ненетеровских формальных схем, они сталкиваются с техническими проблемами. Следовательно, мы будем определять только локально нетеровы формальные схемы.

Все кольца будут считаться коммутативными и с единицей . Пусть A — (нётерово) топологическое кольцо , то есть кольцо A, являющееся топологическим пространством , в котором операции сложения и умножения непрерывны. А если линейно топологизировано, нуль имеет базу , состоящую из идеалов . Идеал определения для линейно топологизированного кольца — это открытый идеал такой, что для каждой открытой окрестности V точки 0 существует целое положительное число n такое, что . Линейно топологизированное кольцо преддопустимо, если оно допускает идеал определения, и допустимо , если оно также полно . (По терминологии Бурбаки , это «полное и обособленное».)

Предположим, что A допустимо, и пусть быть идеалом определения. Простой идеал открыт тогда и только тогда, когда он содержит . Множество открытых простых идеалов A или, что то же самое, множество простых идеалов A . , является основным топологическим пространством формального спектра A , обозначаемым Spf A . Spf A имеет структурный пучок , который определяется с помощью структурного пучка спектра кольца . Позволять — базис окрестности нуля, состоящий из идеалов определения. Все спектры имеют одно и то же топологическое пространство, но другой структурный пучок. Структурный пучок Spf A является проективным пределом .

Можно показать, что если f A и D f — множество всех открытых простых идеалов A , не содержащих f , то , где — завершение локализации A f .

Наконец, локально нётерова формальная схема представляет собой топологически окольцованное пространство. (то есть окольцованное пространство , пучок колец которого является пучком топологических колец) такое, что каждая точка допускает открытую окрестность, изоморфную (как топологически окольцованные пространства) формальному спектру нётерова кольца.

Морфизмы между формальными схемами

[ редактировать ]

Морфизм локально нётеровых формальных схем является их морфизмом как локально окольцованных пространств такой, что индуцированное отображение является непрерывным гомоморфизмом топологических колец для любого аффинного открытого подмножества U .

f называется адическим или это -адическая формальная схема, если существует идеал определения такой, что является идеалом определения . Если f адический, то это свойство справедливо для любого идеала определения.

Для любого идеала I и кольца A мы можем определить I-адическую топологию на A , определяемую его базисом, состоящим из множеств вида a+I. н . Это преддопустимо и допустимо, если А -адически полно I . В этом случае Spf A — топологическое пространство Spec A/I с пучком колец вместо .

  1. A=k[[t]] и I=(t) . Тогда A/I=k , так что пространство Spf A представляет собой единственную точку (t) , в которой его структурный пучок принимает значение k[[t]] . Сравните это со Spec A/I , чей структурный пучок в этот момент принимает значение k : это пример идеи о том, что A является «формальным утолщением» A вокруг I. Spf
  2. Формальное завершение закрытой подсхемы. Рассмотрим замкнутую подсхему X аффинной плоскости над k , заданную идеалом I=(y 2 3 ) . Обратите внимание, что A 0 =k[x,y] не является I -адически полным; напишите A для его I -адического завершения. В этом случае Spf A=X как пространства и его структурный пучок . Его глобальные разделы — A , в отличие от X , глобальные разделы которого — A/I .

См. также

[ редактировать ]
  • Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). «Элементы алгебраической геометрии: I. Язык диаграмм» . Публикации IHÉS по математике . 4 . дои : 10.1007/bf02684778 . МР   0217083 .
  • Ясуда, Т. (2009). «Неадические формальные схемы». Уведомления о международных математических исследованиях . arXiv : 0711.0434 . дои : 10.1093/imrn/rnp021 .
  • Маккуиллан, Майкл (2002). «Формально-формальные схемы». Топология и геометрия: в память о SISTAG . Современная математика. Том. 314. стр. 187–198. дои : 10.1090/conm/314/05431 . ISBN  9780821828205 .
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 1d2be61d8a3541fc2639723fc27ec1de__1714181700
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/1d/de/1d2be61d8a3541fc2639723fc27ec1de.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Formal scheme - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)