Аффинная комбинация

В математике аффинная комбинация x1 $.,,... xn является$ линейной комбинацией

\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}\cdot x_{i}}=\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n},

такой, что

\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}}=1.

Здесь $x 1, ..., x n$ могут быть элементами ( векторами ) векторного пространства над полем $K$ , а коэффициенты $\alpha _{i}$ элементами $К.$ являются

Элементы $x 1, ..., x n$ также могут быть точками евклидова пространства и, в более общем плане, аффинного пространства над полем $K$ . В этом случае $\alpha _{i}$ являются элементами $K$ (или $\mathbb {R}$ для евклидова пространства), а аффинная комбинация также является точкой. см. в разделе Аффинное пространство § Аффинные комбинации и барицентр Определение в этом случае .

Это понятие является фундаментальным в евклидовой геометрии и аффинной геометрии , поскольку совокупность всех аффинных комбинаций набора точек образует наименьшее аффинное пространство, содержащее точки, точно так же, как линейные комбинации набора векторов образуют их линейную оболочку .

Аффинные комбинации коммутируют с любым аффинным преобразованием $T$ в том смысле, что

T\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}\cdot x_{i}}=\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}\cdot Tx_{i}}.

В частности, любая аффинная комбинация неподвижных точек данного аффинного преобразования $T$ также является фиксированной точкой $T$ , поэтому множество неподвижных точек $T$ образует аффинное пространство (в 3D: линия или плоскость, а в тривиальных случаях — точку или все пространство).

Когда стохастическая матрица A $действует$ на вектор-столбец b → , результатом является вектор-столбец, элементы которого представляют собой аффинные комбинации → с коэффициентами из строк в $A.$ b

См. также

Родственные комбинации

Аффинная геометрия

Ссылки

Галье, Жан (2001), Геометрические методы и приложения , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95044-0 . См. главу 2 .

Внешние ссылки

Замечания об аффинных комбинациях.