Рубашка двойственности
В математике , двойственность Кошуля , названная в честь французского математика Жана-Луи Кошуля — это любой из различных видов двойственностей, встречающихся в теории представлений алгебр Ли , абстрактных алгебр ( полупростых алгебр ) [1] и топология (например, эквивариантные когомологии [2] ). Прототипом является переписка BGG, принадлежащая Иосифу Бернштейну , Исраэлю Гельфанду и Сергею Гельфанду. [3] Это двойственность между производной категорией и симметрической алгебры производной категорией внешней алгебры . Важность этого понятия основана на подозрении, что двойственность Кошуля кажется вполне повсеместной в природе. [ нужна ссылка ]
Двойственность Кошуля для градуированных модулей над алгебрами Кошуля
[ редактировать ]Простейший и в каком-то смысле прототипический случай двойственности Кошуля возникает следующим образом: для одномерного векторного пространства V над полем k с двойственным векторным пространством , внешняя алгебра V именно имеет две нетривиальные компоненты, а
Эта внешняя алгебра и симметрическая алгебра , , служат для построения двухступенчатого цепного комплекса
дифференциал которого индуцирован естественным оценочным отображением
Выбирая базис V , можно отождествить с кольцом многочленов от одной переменной, , и предыдущий цепной комплекс становится изоморфным комплексу
дифференциал которого есть умножение на t . Это вычисление показывает, что когомологии вышеуказанного комплекса равны 0 в левом члене и k в правом члене. Другими словами, k (рассматриваемый как цепной комплекс, сосредоточенный в одной степени) квазиизоморфен указанному выше комплексу, что обеспечивает тесную связь между внешней алгеброй V и симметрической алгеброй его двойственного элемента.
Кошуля, двойственного к алгебре Кошуля
[ редактировать ]Двойственность Кошуля в интерпретации Александра Бейлинсона , Виктора Гинзбурга и Вольфганга Зёргеля. [4] можно сформулировать, используя понятие алгебры Кошуля . Примером такой алгебры Кошуля A является симметрическая алгебра в конечномерном векторном пространстве. В более общем смысле можно показать, что любая алгебра Кошуля является квадратичной алгеброй , т. е. имеет вид
где — тензорная алгебра в конечномерном векторном пространстве, а является подмодулем . совпадает Тогда двойственный Кошулю с квадратичным двойственным
где является ( k -линейным) двойственным и состоит из тех элементов, на которых элементы R (т. е. отношения в A ) обращаются в нуль. Кошул-двойник дается , внешняя алгебра на двойственной к V . В общем случае двойственная алгебра Кошуля снова является алгеброй Кошуля. Его противоположное кольцо представляет собой градуированное кольцо саморасширений основного поля k, рассматриваемое как A -модуль:
Рубашка двойственности
[ редактировать ]Если алгебра Кошул, существует эквивалентность между некоторыми подкатегориями категорий градуированных производных - и -модули. Эти подкатегории определяются некоторыми условиями ограниченности градуировки относительно когомологической степени комплекса.
Варианты
[ редактировать ]В качестве альтернативы переходу к определенным подкатегориям производных категорий и чтобы получить эквивалентности, вместо этого можно получить эквивалентности между определенными факторами гомотопических категорий. [5] Обычно эти факторы больше, чем производная категория, поскольку они получаются путем исключения некоторой подкатегории категории ациклических комплексов, но они имеют то преимущество, что каждый комплекс модулей определяет некоторый элемент категории без необходимости наложения условий ограниченности. Другая переформулировка дает эквивалентность производной категории и «кодерированная» категория коалгебры .
Распространение двойственности Кошуля на D -модули устанавливает аналогичную эквивалентность производных категорий между dg-модулями над dg-алгеброй. дифференциалов Кэлера на гладком алгебраическом многообразии X и -модули. [6] [7] [8]
Рубашки двойственности для операд
[ редактировать ]Расширение изложенной выше концепции двойственности Кошуля было сформулировано Гинзбургом и Капрановым, которые ввели понятие квадратичной операды и определили квадратично-двойственную к такой операде. [9] Грубо говоря, операда — это алгебраическая структура, состоящая из объекта, состоящего из n -арных операций для всех n . Алгебра над операдой — это объект, на котором действуют эти n -арные операции. Например, существует операда, называемая ассоциативной операдой , алгебры которой являются ассоциативными алгебрами, т. е., в зависимости от конкретного контекста, некоммутативными кольцами (или, в зависимости от контекста, некоммутативными градуированными кольцами, дифференциально градуированными кольцами). Алгебры над так называемой коммутативной операдой — это коммутативные алгебры, т. е. коммутативные (возможно, градуированные, дифференциально градуированные) кольца. Еще одним примером является операда Ли, алгебры которой являются алгебрами Ли . Упомянутая выше квадратичная двойственность такова, что ассоциативная операда самодуальна, а коммутативная и лиева операда соответствуют друг другу при этой двойственности.
Двойственность Кошуля для операд утверждает эквивалентность алгебр над двойственными операдами. Частный случай ассоциативных алгебр возвращает функтор упомянуто выше.
См. также
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]- ^ Бен Вебстер, алгебры Кошуля и двойственность Кошуля . 1 ноября 2007 г.
- ^ Марк Горески , Роберт Котвитц и Роберт Макферсон . Эквивариантные когомологии, двойственность Кошуля и теорема локализации. Inventiones Mathematicae 131 (1998).
- ^ Джозеф Бернштейн , Израиль Гельфанд и Сергей Гельфанд. Алгебраические расслоения закончились и проблемы линейной алгебры . Функц. Анальный. Прилож. 12 (1978); Английский перевод в журнале «Функциональный анализ и его приложения» 12 (1978), 212–214.
- ^ Александр Бейлинсон , Виктор Гинзбург , Вольфганг Зёргель. Паттерны двойственности Кошула в теории представлений , Журнал Американского математического общества 9 (1996), вып. 2, 473–527.
- ^ Флёйстад, Гуннар (1 января 2006 г.). «Кошуля двойственность и эквивалентности категорий» . Труды Американского математического общества . 358 (6): 2373–2398. arXiv : math/0012264 . дои : 10.1090/S0002-9947-05-04035-3 . ISSN 0002-9947 .
- ^ Капранов, Михаил М. О DG-модулях над комплексом де Рама и функторе исчезающих циклов . Алгебраическая геометрия (Чикаго, Иллинойс, 1989), 57–86, Конспекты лекций по математике, 1479, Springer, Берлин, 1991.
- ^ Посицельский, Леонид: arXiv : 0905.2621 Два вида производных категорий, двойственность Кошуля и соответствие комодуль-контрамодуль. , Мем. амер. Математика. Соц. 212 (2011), вып. 996, vi+133 с. ISBN 978-0-8218-5296-5 , см. Приложение B.
- ^ Фальтингс, Герд ; Чай, Чинг-Ли. Вырождение абелевых многообразий. С приложением Дэвида Мамфорда . Springer-Verlag, Берлин, 1990. xii+316 стр. ISBN 3-540-52015-5 . Раздел VI.3
- ^ Гинзбург, Виктор; Капранов Михаил. Рубашки двойственности для операд. Герцог Мат. Дж. 76 (1994), вып. 1, 203–272.
Ссылки
[ редактировать ]- Придди, Резолюции Стюарта Б. Кошула . Труды Американского математического общества 152 (1970), 39–60.