Размерность (векторное пространство)
В математике размерность — векторного пространства V это мощность . число векторов) базиса V над (т. е его базовым полем . [1] [2] Иногда ее называют размерностью Гамеля (в честь Георга Гамеля ) или алгебраической размерностью, чтобы отличить ее от других типов размерности .
Для каждого векторного пространства существует базис, [а] и все базы векторного пространства имеют одинаковую мощность; [б] в результате размерность векторного пространства определена однозначно. Мы говорим является конечномерный, если размерность конечно и , бесконечномерен, если его размерность бесконечна .
Размерность векторного пространства над полем можно записать как или как читать «размерность над ". Когда можно вывести из контекста, обычно пишут.
Примеры [ править ]
Векторное пространство имеет в качестве стандартной основы и, следовательно, В более общем смысле, и даже в более общем плане, для любой сферы
Комплексные числа являются одновременно реальным и комплексным векторным пространством; у нас есть и Таким образом, размерность зависит от базового поля.
Единственное векторное пространство с размерностью является векторное пространство, состоящее только из своего нулевого элемента.
Свойства [ править ]
Если является линейным подпространством затем
Чтобы показать, что два конечномерных векторных пространства равны, можно использовать следующий критерий: если является конечномерным векторным пространством и является линейным подпространством с затем
Пространство имеет стандартную основу где это -й столбец соответствующей единичной матрицы . Поэтому, имеет размерность
Любые два конечномерных векторных пространства над одинаковой размерности изоморфны . Любое биективное отображение между их базами можно однозначно расширить до биективного линейного отображения между векторными пространствами. Если некоторое множество, векторное пространство с размерностью над можно построить следующим образом: возьмем множество всех функций такой, что для всех, кроме конечного числа в Эти функции можно добавлять и умножать с элементами чтобы получить желаемое -векторное пространство.
Важный результат о размерностях даёт теорема о ранге-нулевой для линейных отображений .
Если является расширением поля , тогда в частности, является векторным пространством над Кроме того, каждый -векторное пространство также является -векторное пространство. Размеры связаны формулой В частности, каждое комплексное векторное пространство размерности это реальное векторное пространство размерности
Некоторые формулы связывают размерность векторного пространства с мощностью базового поля и мощностью самого пространства.Если это векторное пространство над полем и если размерность обозначается затем:
- Если тусклый конечно тогда
- Если тусклый тогда бесконечно
Обобщения [ править ]
Векторное пространство можно рассматривать как частный случай матроида , и в последнем имеется четко определенное понятие размерности. Длина модуля и ранг абелевой группы обладают несколькими свойствами, аналогичными размерности векторных пространств.
Размерность Крулля коммутативного кольца , названная в честь Вольфганга Крулля (1899–1971), определяется как максимальное число строгих включений в возрастающую цепочку простых идеалов в кольце.
След [ править ]
В качестве альтернативы размерность векторного пространства можно охарактеризовать как след тождественного оператора . Например, Это определение кажется круговым, но оно допускает полезные обобщения.
Во-первых, он позволяет определить понятие размерности, когда у него есть след, но нет естественного чувства основы. Например, можно иметь алгебру с картами (включение скаляров, называемых единицей ) и отображение (соответствует следу, называемому счетчиком ). Состав является скаляром (будучи линейным оператором в одномерном пространстве), соответствует «следу идентичности» и дает понятие размерности абстрактной алгебры. На практике в биалгебрах это отображение должно быть тождественным, которое можно получить нормализацией счетчика путем деления на размерность ( ), поэтому в этих случаях нормировочная константа соответствует размерности.
В качестве альтернативы можно найти след операторов в бесконечномерном пространстве; в этом случае определяется (конечный) след, даже если (конечного) измерения не существует, и это дает понятие «размерности оператора». Они подпадают под категорию « операторов следового класса » в гильбертовом пространстве или, в более общем смысле, ядерных операторов в банаховом пространстве .
Более тонкое обобщение состоит в том, чтобы рассматривать след семейства операторов как своего рода «искривленное» измерение. Это особенно важно в теории представлений , где характер представления является следом представления, следовательно, скалярной функцией на группе. чье значение для личности - размерность представления, поскольку представление отправляет идентификатор в группе в идентификационную матрицу: Другие ценности персонажа можно рассматривать как «искаженные» измерения и находить аналоги или обобщения утверждений о измерениях на утверждения о персонажах или представлениях. Сложный пример этого можно найти в теории чудовищного самогона : -инвариант — это градуированная размерность бесконечномерного градуированного представления группы монстров , а замена измерения символом дает ряд Маккея-Томпсона для каждого элемента группы монстров. [3]
См. также [ править ]
- Фрактальное измерение - соотношение, обеспечивающее статистический индекс изменения сложности в зависимости от масштаба.
- Размерность Крулля - в математике размерность кольца.
- Ранг матроида – максимальный размер независимого набора матроидов.
- Ранг (линейная алгебра) - Размерность столбца матрицы.
- Топологическое измерение — топологически инвариантное определение измерения пространства. , также называемые размерностью покрытия Лебега.
Примечания [ править ]
- ^ если принять аксиому выбора
- ^ см . теорему о размерности для векторных пространств.
Ссылки [ править ]
- ^ Ицков, Михаил (2009). Тензорная алгебра и тензорный анализ для инженеров: с приложениями к механике сплошной среды . Спрингер. п. 4. ISBN 978-3-540-93906-1 .
- ^ Экслер (2015) с. 44, §2.36
- ^ Гэннон, Терри (2006), Самогон за пределами монстра: мост, соединяющий алгебру, модульные формы и физику , Cambridge University Press, ISBN 0-521-83531-3
Источники [ править ]
- Экслер, Шелдон (2015). Линейная алгебра сделана правильно . Тексты для студентов по математике (3-е изд.). Спрингер . ISBN 978-3-319-11079-0 .