Раздел (теория категорий)

$f$ является отказом от $g$. $g$ это раздел $f$.

В теории категорий , разделе математики , сечение представляет собой правую инверсию некоторого морфизма . Двойственным образом , ретракция является левым обратным некоторым морфизмом . Другими словами, если $f:X\to Y$ и $g:Y\to X$ являются морфизмами, композиция которых $f\circ g:Y\to Y$ является тождественным морфизмом на $Y$, затем $g$ это раздел $f$, и $f$ является отказом от $g$.

Каждое сечение является мономорфизмом (каждый морфизм с левым обратным является левосократительным ), а каждая ретракция является эпиморфизмом (каждый морфизм с левым обратным является правосократительным ).

В алгебре сечения также называются расщепляемыми мономорфизмами , а ретракция также называется расщепляемыми эпиморфизмами . В абелевой категории , если $f:X\to Y$ является расщепляемым эпиморфизмом с расщепляемым мономорфизмом $g:Y\to X$, затем $X$ изоморфна ​ прямой сумме ​ $Y$ и ядро ​ $f$. Синоним слова « раздел» иногда встречается в литературе, хотя в недавних работах это случается редко.

Свойства

• Сечение, которое также является эпиморфизмом, является изоморфизмом . Дуально ретракция, которая также является мономорфизмом , является изоморфизмом.

Терминология

Понятие ретракции в теории категорий происходит от по сути аналогичного понятия ретракции в топологии : $f:X\to Y$ где $Y$ является подпространством $X$ является ретракцией в топологическом смысле, если это ретракция отображения включения $i:Y\hookrightarrow X$в смысле теории категорий. Понятие топологии было определено Каролем Борсуком в 1931 году.

Ученик Борсука, Сэмюэл Эйленберг , вместе с Сондерсом Мак Лейном был основателем теории категорий, и (поскольку самые ранние публикации по теории категорий касались различных топологических пространств) можно было ожидать, что изначально будет использоваться этот термин. Фактически, в их более ранних публикациях, вплоть до, например, «Гомологии » Мак Лейна (1963) , использовался термин «правая инверсия». Лишь в 1965 году, когда Эйленберг и Джон Коулман Мур ввели двойной термин «кореткция», термин Борсука был распространен на теорию категорий в целом. К концу 1960-х годов термин «котракция» уступил место термину «раздел».

В литературе часто можно увидеть как использование инверсии влево/вправо, так и сечение/ретракцию: первое использование имеет то преимущество, что оно знакомо из теории полугрупп и моноидов ; последнее некоторые считают менее запутанным, потому что не нужно думать о том, «в каком направлении» идет композиция, и эта проблема становится все более серьезной с ростом популярности синонима f;g для g∘f .

Примеры

В категории множеств каждый мономорфизм ( инъективная функция ) с непустой областью определения является сечением, а каждый эпиморфизм ( сюръективная функция ) — ретракцией; последнее утверждение эквивалентно аксиоме выбора .

В категории векторных пространств над полем K каждый мономорфизм и каждый эпиморфизм расщепляются; это следует из того, что линейные карты можно однозначно определить, задав их значения на базисе .

В категории абелевых групп эпиморфизм Z → Z /2 Z , который переводит каждое целое число в остаток по модулю 2 , не расщепляется; на самом деле единственный морфизм Z /2 Z → Z — это нулевое отображение . Аналогично, естественный мономорфизм Z /2 Z → Z /4 Z не расщепляется, даже если существует нетривиальный морфизм Z /4 Z → Z /2 Z .

Категориальное понятие сечения важно в гомологической алгебре также тесно связано с понятием сечения расслоения в , а топологии : в последнем случае сечение расслоения является сечением отображения проекции расслоения пучок волокон.

Учитывая факторпространство ${\bar {X}}$ с коэффициентной картой $\pi \colon X\to {\bar {X}}$, раздел $\pi$ называется трансверсальной .

Библиография

• Мак Лейн, Сондерс (1978). Категории для работающего математика (2-е изд.). Спрингер Верлаг .
• Барри, Митчелл (1965). Теория категорий . Академическая пресса .

См. также

• Лемма о расщеплении
• Обратная функция § Левая и правая инверсия
• Трансверсаль (комбинаторика)