Дразин инверсный

В математике , обратная матрица Дразина названная в честь Майкла П. Дразина , представляет собой своего рода обобщенную матрицу обратную .

Пусть A — квадратная матрица. Индекс это A — наименьшее целое неотрицательное число k такое, что Rank ( A ^{к +1}) = ранг ( А ^к). A Обратная Дразину - A это уникальная матрица ^Д это удовлетворяет

A^{k+1}A^{\text{D}}=A^{k},\quad A^{\text{D}}AA^{\text{D}}=A^{\text{D}},\quad AA^{\text{D}}=A^{\text{D}}A.

Это не обобщенная инверсия в классическом смысле, поскольку $AA^{\text{D}}A\neq A$ в общем.

Если A обратимо с обратным $A^{-1}$ , затем $A^{\text{D}}=A^{-1}$ .
Если A — блочная диагональная матрица

A={\begin{bmatrix}B&0\\0&N\end{bmatrix}}

где $B$ обратим с обратным $B^{-1}$ и $N$ является нильпотентной матрицей , то

A^{D}={\begin{bmatrix}B^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}

Инверсия Дразина инвариантна относительно сопряжения. Если $A^{\text{D}}$ является обратным Дразином $A$ , затем $PA^{\text{D}}P^{-1}$ является обратным Дразином $PAP^{-1}$ .
Обратная Дразину матрица индекса 0 или 1 называется инверсной группой или {1,2,5}-обратной и обозначается A ^#. Обратная группа может быть определена, эквивалентно, свойствами AA ^#А = А , А ^#АА ^# = А ^#и АА ^# = А ^#А.
Матрица проекции P , определяемая как матрица такая, что P ² = P , имеет индекс 1 (или 0) и имеет обратный Дразину P ^Д = П.
Если A — нильпотентная матрица (например, матрица сдвига ), то $A^{\text{D}}=0.$

Последовательность гипермощности

A_{i+1}:=A_{i}+A_{i}\left(I-AA_{i}\right);

для конвергенции обратите внимание, что

A_{i+j}=A_{i}\sum _{k=0}^{2^{j}-1}\left(I-AA_{i}\right)^{k}.

Для $A_{0}:=\alpha A$ или любой обычный $A_{0}$ с $A_{0}A=AA_{0}$ выбрано так, что $\left\|A_{0}-A_{0}AA_{0}\right\|<\left\|A_{0}\right\|$ последовательность стремится к своей обратной Дразину,

A_{i}\rightarrow A^{\text{D}}.

Жордановая нормальная форма и разложение Жордана-Шевалле

Поскольку определение обратного Дразина инвариантно относительно матричных сопряжений, написание $A=PJP^{-1}$ , где J находится в жордановой нормальной форме, следует, что $A^{\text{D}}=PJ^{\text{D}}P^{-1}$ . Тогда обратная Дразина — это операция, которая переводит обратимые жордановы блоки в их обратные, а нильпотентные жордановые блоки — в ноль.

В более общем смысле мы можем определить обратное Дразина для любого совершенного поля , используя разложение Жордана-Шевалле. $A=A_{s}+A_{n}$ где $A_{s}$ является полупростым и $A_{n}$ нильпотентен и оба оператора коммутируют. Эти два термина можно блочно-диагонализировать с блоками, соответствующими ядру и коядру $A_{s}$ . Обратное Дразина в том же базисе затем определяется как нулевое в ядре $A_{s}$ , и равен обратной величине $A$ на коядре $A_{s}$ .

См. также

Ссылки

Дразин, депутат (1958). «Псевдообратные в ассоциативных кольцах и полугруппах». Американский математический ежемесячник . 65 (7): 506–514. дои : 10.2307/2308576 . JSTOR 2308576 .
Чжэн, Бин; Бапат, РБ (2004). «Обобщенное обратное A(2)T,S и ранговое уравнение». Прикладная математика и вычислительная техника . 155 (2): 407. doi : 10.1016/S0096-3003(03)00786-0 .

Внешние ссылки

Эта линейной алгебре, статья, посвященная незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .