Ограниченное обобщенное обратное

В линейной алгебре ограниченное обобщенное обратное получается путем решения системы линейных уравнений с дополнительным ограничением, согласно которому решение находится в заданном подпространстве. Говорят также, что задача описывается системой линейных уравнений со связями .

Во многих практических задачах решение $x$ линейной системы уравнений

$Ax=b\qquad ({\text{with given }}A\in \mathbb {R} ^{m\times n}{\text{ and }}b\in \mathbb {R} ^{m})$

приемлемо только тогда, когда оно находится в определенном линейном подпространстве $L$ из $\mathbb {R} ^{m}$.

Далее ортогональная проекция на $L$ будет обозначаться $P_{L}$.Связанная система линейных уравнений

$Ax=b\qquad x\in L$

имеет решение тогда и только тогда, когда неограниченная система уравнений

$(AP_{L})x=b\qquad x\in \mathbb {R} ^{m}$

разрешима. Если подпространство $L$ является собственным подпространством $\mathbb {R} ^{m}$, то матрица безусловной задачи $(AP_{L})$ может быть сингулярной, даже если матрица системы $A$ задачи с ограничениями обратима (в этом случае $m=n$). Это означает, что для решения задачи с ограничениями необходимо использовать обобщенную обратную задачу. Итак, обобщенное обратное $(AP_{L})$ также называется $L$- ограниченная псевдообратная $A$.

Примером псевдообратной задачи, которую можно использовать для решения задачи с ограничениями, является Ботта – Даффина обратная задача $A$ ограничено $L$, который определяется уравнением

$A_{L}^{(-1)}:=P_{L}(AP_{L}+P_{L^{\perp }})^{-1},$

если обратное в правой части существует.