Теорема о недействительности

Теорема о недействительности — это математическая теорема об обратной , секционированной матрице которая утверждает, что недействительность блока в матрице равна недействительности дополнительного блока в его обратной матрице. Здесь нуль — это размерность ядра . Теорема была доказана в абстрактной ситуации Густавсоном (1984) , а для матриц — ( Фидлер и Маркхэм 1986 ).

Разделите матрицу и обратную ей на четыре подматрицы:

${\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}E&F\\G&H\end{bmatrix}}.$

Раздел справа должен быть транспонированием раздела слева в том смысле, что если A представляет собой m на блок размером n , то E должен быть n на блоком размером m .

Формулировка теоремы о недействительности теперь заключается в том, что нулевые значения блоков справа равны пустым значениям блоков слева ( Strang & Nguyen 2004 ):

${\begin{aligned}\operatorname {nullity} \,A&=\operatorname {nullity} \,H,\\\operatorname {nullity} \,B&=\operatorname {nullity} \,F,\\\operatorname {nullity} \,C&=\operatorname {nullity} \,G,\\\operatorname {nullity} \,D&=\operatorname {nullity} \,E.\end{aligned}}$

В более общем смысле, если подматрица формируется из строк с индексами { i ₁ , i ₂ , …, i _m } и столбцов с индексами { j ₁ , j ₂ , …, j _n }, то дополнительная подматрица формируется из строки с индексами {1, 2, …, N } \ { j ₁ , j ₂ , …, j _n } и столбцы с индексами {1, 2, …, N } \ { i ₁ , i ₂ , …, i _m }, где N — размер всей матрицы. Теорема о недействительности утверждает, что недействительность любой подматрицы равна недействительности дополнительной подматрицы обратной.

Ссылки

• Густафсон, Уильям Х. (1984), «Заметки об обращении матриц», Линейная алгебра и ее приложения , 57 : 71–73, doi : 10.1016/0024-3795(84)90177-0 , ISSN   0024-3795 .
• Фидлер, Мирослав; Маркхэм, Томас Л. (1986), «Завершение матрицы, когда указаны определенные элементы ее обратной», Линейная алгебра и ее приложения , 74 (1–3): 225–237, doi : 10.1016/0024-3795(86) 90125-4 , ISSN   0024-3795 .
• Стрэнг, Гилберт ; Нгуен, Три (2004), «Взаимодействие рангов подматриц» (PDF) , SIAM Review , 46 (4): 637–646, doi : 10.1137/S0036144503434381 , hdl : 1721.1/3885 , ISSN   1095-7200 .