Частичная обратная матрица

В линейной алгебре и статистике частичная обратная матрица исключением — это операция, связанная с Гаусса , которая находит применение в численном анализе и статистике. Различные авторы также называют его основным поворотным преобразованием или оператором развертки , вращения или обмена .

Учитывая $n\times n$ матрица $A$ в векторном пространстве $V$ разбит на блоки:

A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}

Если $A_{11}$ обратима, то является частичным обратным $A$ вокруг поворотного блока $A_{11}$ создается путем инвертирования $A_{11}$ , помещая дополнение Шура $A/A_{11}$ вместо $A_{22}$ и соответствующим образом корректируя недиагональные элементы: ^[1]

\operatorname {inv} _{1}A={\begin{pmatrix}(A_{11})^{-1}&-(A_{11})^{-1}A_{12}\\A_{21}(A_{11})^{-1}&A_{22}-A_{21}(A_{11})^{-1}A_{12}\end{pmatrix}}

Концептуально частичная инверсия соответствует вращению. ^[2] графика матрицы $(X,AX)\in V\times V$ , такой, что для конформно разбитых матриц-столбцов $(x_{1},x_{2})^{T}$ и $(y_{1},y_{2})^{T}$ : ^[1]

A{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}\Leftrightarrow \operatorname {inv} _{1}(A){\begin{pmatrix}y_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}

Согласно такому определению, этот оператор является обратным самому себе: $\operatorname {inv} _{k}(\operatorname {inv} _{k}(A))=A$ , и если поворотный блок $A_{11}$ выбирается целая матрица, тогда преобразование просто дает матрицу, обратную $A^{-1}$ . Обратите внимание, что некоторые авторы определяют связанную операцию (под одним из других названий), которая сама по себе не является обратной; в частности, одно общее определение вместо этого имеет $(\operatorname {inv} _{k})^{2}(A)=-A$ .

Преобразование часто представляется как ось вокруг одного ненулевого элемента. $a_{kk}$ , и в этом случае

\left[\operatorname {inv} _{k}(A)\right]_{ij}={\begin{cases}{\frac {1}{a_{kk}}}&i=j=k\\-{\frac {a_{kj}}{a_{kk}}}&i=k,j\neq k\\{\frac {a_{ik}}{a_{kk}}}&i\neq k,j=k\\a_{ij}-{\frac {a_{ik}a_{kj}}{a_{kk}}}&i\neq k,j\neq k\end{cases}}

Частичные инверсии обладают рядом интересных свойств: ^[3]

инверсии вокруг разных блоков коммутируют, поэтому более крупные опорные точки могут быть построены из последовательностей меньших.
частичная инверсия сохраняет пространство симметричных матриц

Использование частичного обратного в численном анализе связано с тем, что существует некоторая гибкость в выборе поворотных точек, позволяющая избежать необратимых элементов, а также потому, что операция вращения (графика повернутой матрицы) имеет лучшая численная стабильность, чем операция сдвига , которая неявно выполняется методом исключения Гаусса. ^[2] Использование в статистике связано с тем, что полученная матрица хорошо разбивается на блоки, которые имеют полезный смысл в контексте линейной регрессии. ^[3]

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Цасомерос, MJ (2000). Основные сводные преобразования: свойства и приложения. Линейная алгебра и ее приложения, 307 (1-3), 151–165.
^ Jump up to: ^а ^б Проведение матрицы вращает ее график .
^ Jump up to: ^а ^б Чрезвычайно простые основные поворотные преобразования

[ppt-1] Jump up to: ^а ^б Цасомерос, MJ (2000). Основные сводные преобразования: свойства и приложения. Линейная алгебра и ее приложения, 307 (1-3), 151–165.

[TT-2] Jump up to: ^а ^б Проведение матрицы вращает ее график .

[Leeuw-3] Jump up to: ^а ^б Чрезвычайно простые основные поворотные преобразования

[1]

[2]

[3]