Минор (линейная алгебра)

В линейной алгебре минор . матрицы A A — это определитель некоторой меньшей квадратной матрицы , вырезанной из путем удаления одной или нескольких ее строк и столбцов Миноры, полученные удалением всего одной строки и одного столбца из квадратных матриц ( первые миноры ), необходимы для вычисления сомножителей матрицы , которые, в свою очередь, полезны для вычисления как определителя, так и обратного значения квадратных матриц. Требование, чтобы квадратная матрица была меньше исходной, в определении часто опускается.

Определение и иллюстрация

Первые несовершеннолетние

Если A — квадратная матрица, то минор записи в i -й строке и j -м столбце (также называемый ( i , j ) минором или первым минором ^[1]) — определитель подматрицы , образованной удалением i- й строки и j -го столбца. Это число часто обозначается Mi _,j . ( i , j ) Кофактор получается путем умножения минора на $(-1)^{i+j}$ .

Чтобы проиллюстрировать эти определения, рассмотрим следующую матрицу 3 на 3:

{\begin{bmatrix}1&4&7\\3&0&5\\-1&9&11\\\end{bmatrix}}

Чтобы вычислить минор M _2,3 и кофактор C _2,3 , мы находим определитель приведенной выше матрицы с удаленными строкой 2 и столбцом 3.

M_{2,3}=\det {\begin{bmatrix}1&4&\Box \\\Box &\Box &\Box \\-1&9&\Box \\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}1&4\\-1&9\\\end{bmatrix}}=9-(-4)=13

Таким образом, кофактор записи (2,3) равен

\ C_{2,3}=(-1)^{2+3}(M_{2,3})=-13.

Общее определение

Пусть A — матрица размера m × n , а k — целое число с 0 < k ≤ m и k ≤ n . A k × k минор A A , также называемый младшим определителем порядка k или A , если m = n , ( n - k ) минорным определителем ( -м слово «определитель» часто опускается, а слово «степень» иногда используется вместо «порядок») — это определитель матрицы размера k × k , полученной из A удалением m − k строк и n — k столбцов. Иногда этот термин используется для обозначения матрицы k × k , полученной из A , как указано выше (путем удаления m - k строк и n - k столбцов), но эту матрицу следует называть (квадратной) подматрицей A , оставляя термин «второстепенный» относится к определителю этой матрицы. Для матрицы A , как указано выше, всего существует ${\textstyle {m \choose k}\cdot {n \choose k}}$ миноры размера k × k . Минор нулевого порядка часто определяется равным 1. Для квадратной матрицы нулевой минор является просто определителем матрицы. ^[2]^[3]

Позволять $1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq m$ и $1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq n$ Будучи упорядоченными последовательностями (в естественном порядке, как всегда предполагается, когда речь идет о минорах, если не указано иное) индексов, назовем их I и J соответственно. Несовершеннолетний ${\textstyle \det \left((A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}\right)}$ соответствующий такому выбору индексов, обозначается $\det _{I,J}A$ или $\det A_{I,J}$ или $[A]_{I,J}$ или $M_{I,J}$ или $M_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k},j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}$ или $M_{(i),(j)}$ (где $(i)$ обозначает последовательность индексов I и т. д.), в зависимости от источника. Также в литературе используются два типа обозначений: минорные, связанные с упорядоченными последовательностями индексов I и J , некоторые авторы ^[4] означают определитель матрицы, которая формируется, как указано выше, путем взятия элементов исходной матрицы из строк, индексы которых находятся в I, и столбцов, индексы которых находятся в J , тогда как некоторые другие авторы подразумевают под минором, связанным с I и J , определитель матрицы, сформированной из исходной матрицы путем удаления строк в и столбцов в J. I ^[2] Какие обозначения используются, всегда следует проверять по соответствующему источнику. В этой статье мы используем инклюзивное определение выбора элементов из строк и столбцов J. I Исключительным случаем является случай первого минора или ( i , j )-минор, описанный выше; в этом случае исключительное значение ${\textstyle M_{i,j}=\det \left(\left(A_{p,q}\right)_{p\neq i,q\neq j}\right)}$ является стандартным во всей литературе и используется также в этой статье.

Дополнить

Дополнение B _{ijk...,pqr...} минора M _{ijk...,pqr...} квадратной матрицы A формируется определителем матрицы A, из которого все строки ( ijk... ) и столбцы ( pqr... ), связанные с M _{ijk...,pqr...,} были удалены. Дополнением первого минора элемента a _ij является просто этот элемент. ^[5]

Применение миноров и кофакторов

Кофакторное разложение определителя

Кофакторы занимают видное место в формуле Лапласа для разложения определителей, которая представляет собой метод вычисления больших определителей через меньшие. Учитывая размера n × n матрицу $A=(a_{ij})$ , определитель A , обозначаемый det( A ), может быть записан как сумма сомножителей любой строки или столбца матрицы, умноженная на элементы, которые их породили. Другими словами, определение $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ тогда разложение кофактора по j -му столбцу дает:

\ \det(\mathbf {A} )=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+a_{3j}C_{3j}+\cdots +a_{nj}C_{nj}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}C_{ij}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}

Разложение кофактора по i- й строке дает:

\ \det(\mathbf {A} )=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+\cdots +a_{in}C_{in}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}

Обратная матрица

Можно записать обратную обратимую матрицу , вычислив ее сомножители с помощью правила Крамера следующим образом. Матрица, образованная всеми сомножителями квадратной матрицы A, называется матрицей сомножителей (также называемой матрицей сомножителей или, иногда, коматрицей ):

\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}

Тогда обратное значение A представляет собой транспонирование матрицы-сомножителя, умноженное на обратную величину определителя A :

\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det} (\mathbf {A} )}}\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.

Транспонирование матрицы-кофактора называется сопряженной матрицей (также называемой классическим сопряженным ) A. матрицы

Приведенную выше формулу можно обобщить следующим образом: Пусть $1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n$ и $1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}\leq n$ — упорядоченные последовательности (в естественном порядке) индексов (здесь A — матрица размера n × n ). Затем ^[6]

[\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}=\pm {\frac {[\mathbf {A} ]_{J',I'}}{\det \mathbf {A} }},

где I' , J' обозначают упорядоченные последовательности индексов (индексы имеют естественный порядок величины, как указано выше), дополнительные к I , J , так что каждый индекс 1,..., n появляется ровно один раз либо в I , либо в I. ′ , но не в обоих (аналогично для J и J′ ) и $[\mathbf {A} ]_{I,J}$ обозначает определитель подматрицы A, образованной путем выбора строк набора индексов I и столбцов набора индексов J . Также, $[\mathbf {A} ]_{I,J}=\det \left((A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}\right)$ . Простое доказательство можно дать, используя произведение клина. Действительно,

[\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{k}})\wedge e_{i'_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{i'_{n-k}},

где $e_{1},\ldots ,e_{n}$ являются базисными векторами. Действуя по А с обеих сторон, получим

[\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}\det \mathbf {A} (e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (e_{j_{k}})\wedge (\mathbf {A} e_{i'_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} e_{i'_{n-k}})=\pm [\mathbf {A} ]_{J',I'}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}).

Знак можно разработать так, чтобы он был $(-1)^{\sum _{s=1}^{k}i_{s}-\sum _{s=1}^{k}j_{s}}$ , поэтому знак определяется суммами элементов в I и J .

Другие приложения

Учитывая матрицу размера m × n с вещественными элементами (или элементами из любого другого поля ) и рангом r , тогда существует хотя бы один ненулевой минор размера r × r , в то время как все большие миноры равны нулю.

Мы будем использовать следующие обозначения для миноров: если A — матрица размера m × n , I — подмножество {1,..., m } с k элементами, а J — подмножество {1,..., n } с k элементами, то мы пишем [ A ] _{I , J} для k × k минора A , который соответствует строкам с индексом в I и столбцам с индексом в J .

Если I = J , то [ A ] _{I , J} называется главным минором .
Если матрица, соответствующая главной минорной матрице, представляет собой квадратную верхнюю левую подматрицу большей матрицы (т. е. она состоит из матричных элементов в строках и столбцах от 1 до k , также называемых ведущей главной подматрицей), то главная минорная матрица называется ведущим главным минором (порядка k) или угловым (главным) минором (порядка k) . ^[3] Для квадратной матрицы размера n × n существует n ведущих главных миноров.
Базовый минор матрицы — это определитель квадратной подматрицы максимального размера с ненулевым определителем. ^[3]
Для эрмитовых матриц ведущие главные миноры могут использоваться для проверки положительной определенности , а главные миноры могут использоваться для проверки положительной полуопределенности . см . в критерии Сильвестра . Подробнее

Как формула обычного умножения матриц , так и формула Коши–Бине для определителя произведения двух матриц являются частными случаями следующего общего утверждения о минорах произведения двух матриц.Предположим, что A — матрица размера m × n , B — матрица размера n × p , I — подмножество {1,..., m } с k элементами, а J — подмножество {1,..., p }. с k элементами. Затем

[\mathbf {AB} ]_{I,J}=\sum _{K}[\mathbf {A} ]_{I,K}[\mathbf {B} ]_{K,J}\,

где сумма распространяется на все подмножества K из {1,..., n } с k элементами. Эта формула является прямым расширением формулы Коши – Бине.

Подход полилинейной алгебры

Более систематическая алгебраическая трактовка миноров дается в полилинейной алгебре с использованием клинового произведения : k -миноры матрицы являются элементами k- го внешнего степенного отображения.

Если столбцы матрицы соединяются вместе k одновременно, миноры k × k появляются как компоненты результирующих k -векторов. Например, миноры 2 × 2 матрицы

{\begin{pmatrix}1&4\\3&\!\!-1\\2&1\\\end{pmatrix}}

равны -13 (из первых двух строк), -7 (из первой и последней строки) и 5 (из последних двух строк). Теперь рассмотрим клиновое произведение

(\mathbf {e} _{1}+3\mathbf {e} _{2}+2\mathbf {e} _{3})\wedge (4\mathbf {e} _{1}-\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})

где два выражения соответствуют двум столбцам нашей матрицы. Используя свойства клинового произведения, а именно его билинейность и знакопеременность ,

\mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{i}=0,

и антисимметричный ,

\mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\wedge \mathbf {e} _{i},

мы можем упростить это выражение до

-13\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}-7\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}+5\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}

где коэффициенты согласуются с минорами, вычисленными ранее.

Замечание о других обозначениях

В некоторых книгах вместо кофактора термин адъюнкт . используется ^[7] При этом он обозначается как Aij _: и определяется так же, как и кофактор

\mathbf {A} _{ij}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}

Используя эти обозначения, обратная матрица записывается следующим образом:

\mathbf {M} ^{-1}={\frac {1}{\det(M)}}{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots &A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots &A_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1n}&A_{2n}&\cdots &A_{nn}\end{bmatrix}}

Имейте в виду, что дополнение не является сопряженным или присоединенным . В современной терминологии под «сопряженным» матрицей чаще всего понимается соответствующий сопряженный оператор .

См. также

Ссылки

^ Бернсайд, Уильям Сноу и Пантон, Артур Уильям (1886) Теория уравнений: с введением в теорию двоичных алгебраических форм .
^ Jump up to: ^а ^б Элементарная матричная алгебра (третье издание), Франц Э. Хон, The Macmillan Company, 1973, ISBN 978-0-02-355950-1
^ Jump up to: ^а ^б ^с "Незначительный". Энциклопедия математики .
^ Линейная алгебра и геометрия, Игорь Р. Шафаревич, Алексей О. Ремизов, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, ISBN 978-3-642-30993-9
^ Берта Джеффрис, Методы математической физики , стр. 135, Cambridge University Press, 1999. ISBN 0-521-66402-0 .
^ Виктор Васильевич Прасолов (13 июня 1994 г.). Проблемы и теоремы линейной алгебры . Американское математическое соц. стр. 15–. ISBN 978-0-8218-0236-6 .
^ Феликс Гантмахер , Теория матриц (1-е изд., язык оригинала русский), Москва: Государственное издательство технической и теоретической литературы, 1953, с.491,

Внешние ссылки

[1] Бернсайд, Уильям Сноу и Пантон, Артур Уильям (1886) Теория уравнений: с введением в теорию двоичных алгебраических форм .

[Hohn-2] Jump up to: ^а ^б Элементарная матричная алгебра (третье издание), Франц Э. Хон, The Macmillan Company, 1973, ISBN 978-0-02-355950-1

[Encyclopedia_of_Mathematics-3] Jump up to: ^а ^б ^с "Незначительный". Энциклопедия математики .

[4] Линейная алгебра и геометрия, Игорь Р. Шафаревич, Алексей О. Ремизов, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, ISBN 978-3-642-30993-9

[5] Берта Джеффрис, Методы математической физики , стр. 135, Cambridge University Press, 1999. ISBN 0-521-66402-0 .

[Prasolov1994-6] Виктор Васильевич Прасолов (13 июня 1994 г.). Проблемы и теоремы линейной алгебры . Американское математическое соц. стр. 15–. ISBN 978-0-8218-0236-6 .

[7] Феликс Гантмахер , Теория матриц (1-е изд., язык оригинала русский), Москва: Государственное издательство технической и теоретической литературы, 1953, с.491,

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

v т и Линейная алгебра
Контур Глоссарий
Основные понятия	Скаляр Вектор Векторное пространство Скалярное умножение Векторная проекция Линейный пролет Линейная карта Линейная проекция Линейная независимость Линейная комбинация Многолинейная карта Основа Изменение базы Векторы-строки и столбцы Пространства строк и столбцов Ядро Собственные значения и собственные векторы Транспонировать Линейные уравнения
Матрицы	Блокировать Разложение Обратимый Незначительный Умножение Классифицировать Трансформация Правило Крамера Исключение по Гауссу
Билинейный	Ортогональность Скалярное произведение Произведение Адамара Внутреннее пространство продукта Внешний продукт Продукт Кронекера Процесс Грама – Шмидта
Полилинейная алгебра	Определитель Перекрестное произведение Тройной продукт Семимерное векторное произведение Геометрическая алгебра Внешняя алгебра Бивектор Многовекторный Тензор Аутерморфизм
Векторные космические конструкции	Двойной Прямая сумма Функциональное пространство частное Подпространство Тензорное произведение
Числовой	Плавающая точка Численная стабильность Основные подпрограммы линейной алгебры Разреженная матрица Сравнение библиотек линейной алгебры
Категория