Сложная матрица

В линейной алгебре , разделе математики , ( мультипликативная ) составная матрица — это матрица , все элементы которой являются минорами заданного размера другой матрицы. ^[1]^[2]^[3]^[4] Составные матрицы тесно связаны с внешними алгебрами . ^[5] и их вычисление появляется в широком спектре задач, таких как анализ нелинейных, изменяющихся во времени динамических систем и обобщений положительных систем, кооперативных систем и сжимающихся систем. ^[4]^[6]

Определение

Пусть $A$ — $матрица размера m \times n$ с вещественными или комплексными элементами. ^[а] Если $I$ — подмножество размера $r$ из ${1,..., m},$ а $J$ — подмножество размера $s$ из ${1,..., n}$ , то $(I, J)$ -подматрица $A$ , записанная $AI A, J$ — это подматрица, сформированная из $путем$ индексированных $I$ , и столбцов, индексированных $J.$ сохранения только тех строк , Если $r = s$ , $det A I, J$ является $(I, J)$ -минором  A. $$ то

представляет r собой матрицу $-я составная матрица A$ , обозначенную $C r (A)$ , и определяется следующим образом. Если $r > min(m, n)$ , то $C r (A)$ — уникальная $матрица 0 \times 0$ . В противном случае $C r (A)$ имеет размер ${\textstyle {\binom {m}{r}}\!\times \!{\binom {n}{r}}}$ . Его строки и столбцы индексируются $r$ -элементными подмножествами ${1,..., m}$ и ${1,..., n}$ соответственно в их лексикографическом порядке . соответствующая подмножествам $I$ и $J,$ минорным $det AI, Запись , J.$ является

В некоторых приложениях составных матриц точный порядок строк и столбцов неважен. По этой причине некоторые авторы не указывают, как следует упорядочивать строки и столбцы. ^[7]

Например, рассмотрим матрицу

A={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\end{pmatrix}}.

Строки индексируются ${1, 2, 3}$ , а столбцы — ${1, 2, 3, 4}$ . Поэтому строки $C 2 (A)$ индексируются множествами

\{1,2\}<\{1,3\}<\{2,3\}

и столбцы индексируются

\{1,2\}<\{1,3\}<\{1,4\}<\{2,3\}<\{2,4\}<\{3,4\}.

Используя столбцы абсолютных значений для обозначения определителей , вторая составная матрица имеет вид

{\begin{aligned}C_{2}(A)&={\begin{pmatrix}\left|{\begin{smallmatrix}1&2\\5&6\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}1&3\\5&7\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}1&4\\5&8\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}2&3\\6&7\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}2&4\\6&8\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}3&4\\7&8\end{smallmatrix}}\right|\\\left|{\begin{smallmatrix}1&2\\9&10\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}1&3\\9&11\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}1&4\\9&12\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}2&3\\10&11\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}2&4\\10&12\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}3&4\\11&12\end{smallmatrix}}\right|\\\left|{\begin{smallmatrix}5&6\\9&10\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}5&7\\9&11\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}5&8\\9&12\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}6&7\\10&11\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}6&8\\10&12\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}7&8\\11&12\end{smallmatrix}}\right|\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-4&-8&-12&-4&-8&-4\\-8&-16&-24&-8&-16&-8\\-4&-8&-12&-4&-8&-4\end{pmatrix}}.\end{aligned}}

Характеристики

Пусть $c$ — скаляр, $A$ — $матрица размера m \times n$ , а $B$ — $матрица размера n \times p$ . Для $k$ положительного целого числа пусть $I k$ обозначает $k \times k$ единичную матрицу размера . Транспонирование M матрицы $M$ будет записываться $как Т$ , и сопряженное транспонирование с помощью $M *$ . Затем: ^[8]

$C 0 (A) = I 1$ , $единичная матрица 1 \times 1$ .
$C 1 (А) знак равно А$ .
$C р (cA) знак равно c р C р (А)$ .
Если $rk A = r$ , то $rk C r (A) = 1$ .
Если $1 \leq r \leq n$ , то $C_{r}(I_{n})=I_{\binom {n}{r}}$ .
Если $1 ⩽ r ⩽ min(m, n)$ , то $C r (A Т) знак равно C р (А) Т$ .
Если $1 ⩽ r ⩽ min(m, n)$ , то $C r (A *) знак равно C р (А) *$ .
$C r (AB) = C r (A) C r (B)$ , что тесно связано с формулой Коши – Бине .

Предположим дополнительно, что $A$ — квадратная матрица размера $n$ . Затем: ^[9]

$C п (А) знак равно пусть А$ .
Если A обладает одним из следующих свойств, то и C _r ( A ) тоже :
- Верхний треугольный ,
- Нижний треугольный ,
- Диагональ ,
- Ортогональный ,
- Унитарный ,
- Симметричный ,
- Эрмитиан ,
- Кососимметричный (когда r нечетно),
- Косоэрмитовый (когда r нечетно),
- Положительно определенный ,
- Положительный полуопределенный ,
- Нормальный .
Если $A$ обратим C , то обратим и $r (A),$ и $C r (A -1) знак равно C р (А) -1$ .
(Теорема Сильвестра–Франке) Если $1 \leq r \leq n$ , то $\det C_{r}(A)=(\det A)^{\binom {n-1}{r-1}}$ . ^[10]^[11]

Отношение к внешним силам

Дайте $Р н$ стандартный координатный базис $e 1, ... en .$ , степень $r-$ я внешняя $R н$ векторное пространство

\wedge ^{r}\mathbf {R} ^{n}

которого основу составляют формальные символы

\mathbf {e} _{i_{1}}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{i_{r}},

где

i_{1}<\dots <i_{r}.

Предположим, что $A$ — $матрица размера m \times n$ . Тогда $A$ соответствует линейному преобразованию

A\colon \mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{m}.

Взятие $r-$ й внешней степени этого линейного преобразования определяет линейное преобразование

\wedge ^{r}A\colon \wedge ^{r}\mathbf {R} ^{n}\to \wedge ^{r}\mathbf {R} ^{m}.

Матрица, соответствующая этому линейному преобразованию (относительно указанных выше базисов внешних степеней), равна $C r (A)$ . Взятие внешних степеней является функтором , а это означает, что ^[12]

\wedge ^{r}(AB)=(\wedge ^{r}A)(\wedge ^{r}B).

Это соответствует формуле $C р (AB) = C р (A) C р (B)$ . и является ее усилением Она тесно связана с формулой Коши-Бине .

Связь с сопряженными матрицами

Пусть $A —$ матрица $размера n \times n$ . Напомним, что его $r-$ я высшая сопряженная матрица $adj r (A)$ — это ${\textstyle {\binom {n}{r}}\!\times \!{\binom {n}{r}}}$ матрица, $(I, J)$ запись которой равна

(-1)^{\sigma (I)+\sigma (J)}\det A_{J^{c},I^{c}},

где для любого набора $K$ целых чисел $σ (K)$ — сумма $K.$ элементов Адъюгат A является его первым высшим адъюгатом $($ и обозначается $adj A)$ . Из обобщенной формулы разложения Лапласа следует

C_{r}(A)\operatorname {adj} _{r}(A)=\operatorname {adj} _{r}(A)C_{r}(A)=(\det A)I_{\binom {n}{r}}.

Если $А$ обратимо, то

\operatorname {adj} _{r}(A^{-1})=(\det A)^{-1}C_{r}(A).

Конкретным следствием этого является формула Якоби для миноров обратной матрицы :

\det(A^{-1})_{J^{c},I^{c}}=(-1)^{\sigma (I)+\sigma (J)}{\frac {\det A_{I,J}}{\det A}}.

Адъюгаты также могут быть выражены через соединения. Пусть $S$ обозначает матрицу знаков :

S=\operatorname {diag} (1,-1,1,-1,\ldots ,(-1)^{n-1}),

и пусть $J$ обозначает матрицу обмена :

J={\begin{pmatrix}&&1\\&\cdots &\\1&&\end{pmatrix}}.

Тогда теорема Якоби утверждает, что $r-$ я высшая сопряженная матрица равна: ^[13]^[14]

\operatorname {adj} _{r}(A)=JC_{n-r}(SAS)^{T}J.

Из теоремы Якоби непосредственно следует, что

C_{r}(A)\,J(C_{n-r}(SAS))^{T}J=(\det A)I_{\binom {n}{r}}.

Прием адъюгатов и соединений не коммутирует. Однако соединения адъюгатов могут быть экспрессированы с использованием адъюгатов соединений, и наоборот. Из тождеств

C_{r}(C_{s}(A))C_{r}(\operatorname {adj} _{s}(A))=(\det A)^{r}I,

C_{r}(C_{s}(A))\operatorname {adj} _{r}(C_{s}(A))=(\det C_{s}(A))I,

и теорему Сильвестра-Франке, мы выводим

\operatorname {adj} _{r}(C_{s}(A))=(\det A)^{{\binom {n-1}{s-1}}-r}C_{r}(\operatorname {adj} _{s}(A)).

Тот же метод приводит к дополнительной идентичности,

\operatorname {adj} (C_{r}(A))=(\det A)^{{\binom {n-1}{r-1}}-r}C_{r}(\operatorname {adj} (A)).

Составные и сопряженные матрицы возникают при вычислении определителей линейных комбинаций матриц. Элементарно проверить, что если $A$ и $B$ — $размера n \times n$ матрицы , то

\det(sA+tB)=C_{n}\!\left({\begin{bmatrix}sA&I_{n}\end{bmatrix}}\right)C_{n}\!\left({\begin{bmatrix}I_{n}\\tB\end{bmatrix}}\right).

Верно также и то, что: ^[15]^[16]

\det(sA+tB)=\sum _{r=0}^{n}s^{r}t^{n-r}\operatorname {tr} (\operatorname {adj} _{r}(A)C_{r}(B)).

Это имеет непосредственные последствия

\det(I+A)=\sum _{r=0}^{n}\operatorname {tr} \operatorname {adj} _{r}(A)=\sum _{r=0}^{n}\operatorname {tr} C_{r}(A).

Численные вычисления

В целом вычисление составных матриц неэффективно из-за своей высокой сложности. Тем не менее, существует несколько эффективных алгоритмов для реальных матриц со специальной структурой. ^[17]

Примечания

^ Определение и чисто алгебраическая часть теории составных матриц требует только того, чтобы матрица имела элементы в коммутативном кольце . В этом случае матрица соответствует гомоморфизму конечно порожденных свободных модулей .

Цитаты

^ ДеАльба, Луз М. Детерминанты и собственные значения в Хогбене, Лесли (редактор) Справочник по линейной алгебре , 2-е издание, CRC Press, 2013, ISBN 978-1-4665-0729-6 , с. 4-4
^ Гантмахер, Ф.Р., Теория матриц , том I, Chelsea Publishing Company, 1959, ISBN 978-0-8218-1376-8п . 20
^ Хорн, Роджер А. и Джонсон, Чарльз Р., Матричный анализ , 2-е издание, Cambridge University Press, 2013, ISBN 978-0-521-54823-6 , с. 21
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Малдауни, Джеймс С. (1990). «Сложные матрицы и обыкновенные дифференциальные уравнения» . Математический журнал Роки Маунтин . 20 (4): 857–872. дои : 10.1216/rmjm/1181073047 . ISSN 0035-7596 .
^ Д.Л., Бутин; РФ Глисон; Р. М. Уильямс (1996). Теория клина / Составные матрицы: свойства и приложения (PDF) (Технический отчет). Управление военно-морских исследований. НАВКАПДАКС–96-220-ТР. Архивировано (PDF) из оригинала 16 января 2021 г.
^ Бар-Шалом, Эяль; Далин, Омри; Маргалиот, Майкл (15 марта 2023 г.). «Составные матрицы в системах и теории управления: учебное пособие» . Математика управления, сигналов и систем . 35 (3): 467–521. arXiv : 2204.00676 . дои : 10.1007/s00498-023-00351-8 . ISSN 0932-4194 . S2CID 247939832 .
^ Кунг, Рота и Ян, с. 305.
^ Хорн и Джонсон, с. 22.
^ Хорн и Джонсон, стр. 22, 93, 147, 233.
^ Торнхейм, Леонард (1952). «Теорема Сильвестра – Франке». Американский математический ежемесячник . 59 (6): 389–391. дои : 10.2307/2306811 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2306811 .
^ Харли Фландерс (1953) «Заметки о теореме Сильвестра-Франке», American Mathematical Monthly 60: 543–5, MR 0057835
^ Джозеф П.С. Кунг, Джан-Карло Рота и Кэтрин Х. Ян , Комбинаторика: Путь Роты , Cambridge University Press, 2009, стр. 306. ISBN 9780521883894
^ Намбияр, КК; Шривалсан, С. (2001). «Составные матрицы и три знаменитые теоремы» . Математическое и компьютерное моделирование . 34 (3–4): 251–255. дои : 10.1016/S0895-7177(01)00058-9 . ISSN 0895-7177 .
^ Прайс, Великобритания (1947). «Некоторые тождества в теории определителей». Американский математический ежемесячник . 54 (2): 75–90. дои : 10.2307/2304856 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2304856 .
^ Преллс, Уве; Фрисвелл, Майкл И.; Гарви, Симус Д. (8 февраля 2003 г.). «Применение геометрической алгебры: составные матрицы и определитель суммы двух матриц» . Труды Лондонского королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 459 (2030): 273–285. дои : 10.1098/rspa.2002.1040 . ISSN 1364-5021 . S2CID 73593788 .
^ Хорн и Джонсон, с. 29
^ Кравваритис, Христос; Митрули, Марилена (01 февраля 2009 г.). «Составные матрицы: свойства, числовые проблемы и аналитические расчеты» (PDF) . Численные алгоритмы . 50 (2): 155. doi : 10.1007/s11075-008-9222-7 . ISSN 1017-1398 . S2CID 16067358 .

Ссылки

Гантмахер Ф.Р. и Крейн М.Г. Матрицы и ядра колебаний и малые вибрации механических систем , исправленное издание. Американское математическое общество, 2002. ISBN 978-0-8218-3171-7

[7] Определение и чисто алгебраическая часть теории составных матриц требует только того, чтобы матрица имела элементы в коммутативном кольце . В этом случае матрица соответствует гомоморфизму конечно порожденных свободных модулей .

[1] ДеАльба, Луз М. Детерминанты и собственные значения в Хогбене, Лесли (редактор) Справочник по линейной алгебре , 2-е издание, CRC Press, 2013, ISBN 978-1-4665-0729-6 , с. 4-4

[2] Гантмахер, Ф.Р., Теория матриц , том I, Chelsea Publishing Company, 1959, ISBN 978-0-8218-1376-8п . 20

[3] Хорн, Роджер А. и Джонсон, Чарльз Р., Матричный анализ , 2-е издание, Cambridge University Press, 2013, ISBN 978-0-521-54823-6 , с. 21

[:0-4] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Малдауни, Джеймс С. (1990). «Сложные матрицы и обыкновенные дифференциальные уравнения» . Математический журнал Роки Маунтин . 20 (4): 857–872. дои : 10.1216/rmjm/1181073047 . ISSN 0035-7596 .

[5] Д.Л., Бутин; РФ Глисон; Р. М. Уильямс (1996). Теория клина / Составные матрицы: свойства и приложения (PDF) (Технический отчет). Управление военно-морских исследований. НАВКАПДАКС–96-220-ТР. Архивировано (PDF) из оригинала 16 января 2021 г.

[6] Бар-Шалом, Эяль; Далин, Омри; Маргалиот, Майкл (15 марта 2023 г.). «Составные матрицы в системах и теории управления: учебное пособие» . Математика управления, сигналов и систем . 35 (3): 467–521. arXiv : 2204.00676 . дои : 10.1007/s00498-023-00351-8 . ISSN 0932-4194 . S2CID 247939832 .

[8] Кунг, Рота и Ян, с. 305.

[9] Хорн и Джонсон, с. 22.

[10] Хорн и Джонсон, стр. 22, 93, 147, 233.

[Tornheim1952-11] Торнхейм, Леонард (1952). «Теорема Сильвестра – Франке». Американский математический ежемесячник . 59 (6): 389–391. дои : 10.2307/2306811 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2306811 .

[12] Харли Фландерс (1953) «Заметки о теореме Сильвестра-Франке», American Mathematical Monthly 60: 543–5, MR 0057835

[13] Джозеф П.С. Кунг, Джан-Карло Рота и Кэтрин Х. Ян , Комбинаторика: Путь Роты , Cambridge University Press, 2009, стр. 306. ISBN 9780521883894

[NambiarSreevalsan2001-14] Намбияр, КК; Шривалсан, С. (2001). «Составные матрицы и три знаменитые теоремы» . Математическое и компьютерное моделирование . 34 (3–4): 251–255. дои : 10.1016/S0895-7177(01)00058-9 . ISSN 0895-7177 .

[Price1947-15] Прайс, Великобритания (1947). «Некоторые тождества в теории определителей». Американский математический ежемесячник . 54 (2): 75–90. дои : 10.2307/2304856 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2304856 .

[16] Преллс, Уве; Фрисвелл, Майкл И.; Гарви, Симус Д. (8 февраля 2003 г.). «Применение геометрической алгебры: составные матрицы и определитель суммы двух матриц» . Труды Лондонского королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 459 (2030): 273–285. дои : 10.1098/rspa.2002.1040 . ISSN 1364-5021 . S2CID 73593788 .

[17] Хорн и Джонсон, с. 29

[18] Кравваритис, Христос; Митрули, Марилена (01 февраля 2009 г.). «Составные матрицы: свойства, числовые проблемы и аналитические расчеты» (PDF) . Численные алгоритмы . 50 (2): 155. doi : 10.1007/s11075-008-9222-7 . ISSN 1017-1398 . S2CID 16067358 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[а]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]