Двойной базис
В линейной алгебре для векторного пространства с основой векторов, индексированных набором индексов ( мощность это размерность ), двойственное множество это набор векторов в дуальном пространстве с тем же набором индексов такой, что и образуют биортогональную систему . Двойственное множество всегда линейно независимо , но не обязательно охватывает . Если это действительно охватывает , затем называется двойным базисом или обратным базисом для базиса .
Обозначая индексированные наборы векторов как и Биортогональность означает, что пары элементов имеют внутренний продукт, равный 1, если индексы равны, и равный 0 в противном случае. Символически, вычисление двойственного вектора в на векторе в исходном пространстве :
где — символ дельты Кронекера .
Введение
[ редактировать ]Чтобы выполнять операции с вектором, нам необходим простой метод вычисления его компонентов. В декартовой системе координат необходимая операция — это скалярное произведение вектора и базового вектора. [1] Например,
где является основой в декартовой системе координат. Компоненты можно найти по
Однако в недекартовой системе координат мы не обязательно имеем для всех . Однако всегда можно найти векторы в двойственном пространстве такое, что
Равенство имеет место, когда s являются двойным базисом с. Обратите внимание на разницу в положении индекса .
Существование и уникальность
[ редактировать ]Двойственное множество всегда существует и дает инъекцию из V в V. ∗ , а именно отображение, которое отправляет v i в v я . Это говорит, в частности, о том, что дуальное пространство имеет размерность большую или равную размерности V .
Однако двойственное множество бесконечномерного V не охватывает его двойственное пространство V. ∗ . Например, рассмотрим отображение w в V ∗ из V в базовые скаляры F , заданные формулой w ( v i ) = 1 для всех i . Это отображение явно ненулевое на всех v i . Если бы w было конечной линейной комбинацией двойственных базисных векторов v я , сказать для конечного подмножества K из I , то для любого j, не входящего в K , , что противоречит определению w . Итак, это w не лежит в пределах двойственного множества.
Двойственное бесконечномерному пространству имеет большую размерность (это большая бесконечная мощность), чем исходное пространство, и, следовательно, они не могут иметь базис с тем же набором индексаций. Однако существует двойственный набор векторов, который определяет подпространство двойственного пространства, изоморфное исходному пространству. Кроме того, для топологических векторных пространств можно непрерывное двойственное пространство определить , и в этом случае может существовать двойственный базис.
Конечномерные векторные пространства
[ редактировать ]В случае конечномерных векторных пространств двойственное множество всегда является двойственным базисом и единственно. Эти основания обозначаются и . Если обозначить оценку ковектора на векторе как пару, условие биортогональности принимает вид:
Ассоциация двойственного базиса с базисом дает отображение пространства баз V в пространство баз V. ∗ , и это тоже изоморфизм. Для топологических полей , таких как действительные числа, пространство двойственных чисел является топологическим пространством , и это дает гомеоморфизм между многообразиями Штифеля баз этих пространств.
Категориальная и алгебраическая конструкция двойственного пространства
[ редактировать ]Другой способ ввести двойственное пространство к векторному пространству ( модулю ) — ввести его в категориальном смысле. Для этого позвольте быть модулем, определенным над кольцом (то есть, это объект в категории ). Затем мы определяем двойственное пространство , обозначенный , быть , модуль, состоящий из всех -линейные гомоморфизмы модулей из в . Обратите внимание, что мы можем определить двойственное к двойственному, называемое двойным двойственным к двойственному. , записанный как и определяется как .
Чтобы формально построить базис дуального пространства, мы ограничимся теперь случаем, когда является конечномерным свободным (слева) -модуль, где представляет собой кольцо с единицей. Тогда мы предполагаем, что множество является основой для . Отсюда мы определяем дельта-функцию Кронекера над основой к если и если . Тогда набор описывает линейно независимое множество, в котором каждый . С конечномерен, базис имеет конечную мощность. Тогда набор является основой для и это бесплатно (право) -модуль.
Примеры
[ редактировать ]Например, стандартные базисные векторы ( декартова плоскость )
и стандартные базисные векторы его двойственного пространства являются
В трехмерном евклидовом пространстве для заданного базиса , биортогональный (двойственный) базис можно найти по формулам ниже:
где Т обозначает транспонирование и
- объем параллелепипеда, образованного базисными векторами и
В общем, двойственный базис базиса в конечномерном векторном пространстве можно легко вычислить следующим образом: учитывая базис и соответствующий двойной базис мы можем строить матрицы
Тогда определяющее свойство двойственного базиса гласит, что
Следовательно, матрица для двойственного базиса может быть вычислено как
См. также
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]- ^ Лебедев, Облако и Еремеев 2010 , с. 12.
Ссылки
[ редактировать ]- Лебедев Леонид П.; Клауд, Майкл Дж.; Еремеев, Виктор А. (2010). Тензорный анализ с приложениями к механике . Всемирная научная. ISBN 978-981431312-4 .
- «Нахождение двойного базиса» . Обмен стеками . 27 мая 2012 г.