Jump to content

Двойной базис

(Перенаправлено с взаимной основы )

В линейной алгебре для векторного пространства с основой векторов, индексированных набором индексов ( мощность это размерность ), двойственное множество это набор векторов в дуальном пространстве с тем же набором индексов такой, что и образуют биортогональную систему . Двойственное множество всегда линейно независимо , но не обязательно охватывает . Если это действительно охватывает , затем называется двойным базисом или обратным базисом для базиса .

Обозначая индексированные наборы векторов как и Биортогональность означает, что пары элементов имеют внутренний продукт, равный 1, если индексы равны, и равный 0 в противном случае. Символически, вычисление двойственного вектора в на векторе в исходном пространстве :

где символ дельты Кронекера .

Введение

[ редактировать ]

Чтобы выполнять операции с вектором, нам необходим простой метод вычисления его компонентов. В декартовой системе координат необходимая операция — это скалярное произведение вектора и базового вектора. [1] Например,

где является основой в декартовой системе координат. Компоненты можно найти по

Однако в недекартовой системе координат мы не обязательно имеем для всех . Однако всегда можно найти векторы в двойственном пространстве такое, что

Равенство имеет место, когда s являются двойным базисом с. Обратите внимание на разницу в положении индекса .

Существование и уникальность

[ редактировать ]

Двойственное множество всегда существует и дает инъекцию из V в V. , а именно отображение, которое отправляет v i в v я . Это говорит, в частности, о том, что дуальное пространство имеет размерность большую или равную размерности V .

Однако двойственное множество бесконечномерного V не охватывает его двойственное пространство V. . Например, рассмотрим отображение w в V из V в базовые скаляры F , заданные формулой w ( v i ) = 1 для всех i . Это отображение явно ненулевое на всех v i . Если бы w было конечной линейной комбинацией двойственных базисных векторов v я , сказать для конечного подмножества K из I , то для любого j, не входящего в K , , что противоречит определению w . Итак, это w не лежит в пределах двойственного множества.

Двойственное бесконечномерному пространству имеет большую размерность (это большая бесконечная мощность), чем исходное пространство, и, следовательно, они не могут иметь базис с тем же набором индексаций. Однако существует двойственный набор векторов, который определяет подпространство двойственного пространства, изоморфное исходному пространству. Кроме того, для топологических векторных пространств можно непрерывное двойственное пространство определить , и в этом случае может существовать двойственный базис.

Конечномерные векторные пространства

[ редактировать ]

В случае конечномерных векторных пространств двойственное множество всегда является двойственным базисом и единственно. Эти основания обозначаются и . Если обозначить оценку ковектора на векторе как пару, условие биортогональности принимает вид:

Ассоциация двойственного базиса с базисом дает отображение пространства баз V в пространство баз V. , и это тоже изоморфизм. Для топологических полей , таких как действительные числа, пространство двойственных чисел является топологическим пространством , и это дает гомеоморфизм между многообразиями Штифеля баз этих пространств.

Категориальная и алгебраическая конструкция двойственного пространства

[ редактировать ]

Другой способ ввести двойственное пространство к векторному пространству ( модулю ) — ввести его в категориальном смысле. Для этого позвольте быть модулем, определенным над кольцом (то есть, это объект в категории ). Затем мы определяем двойственное пространство , обозначенный , быть , модуль, состоящий из всех -линейные гомоморфизмы модулей из в . Обратите внимание, что мы можем определить двойственное к двойственному, называемое двойным двойственным к двойственному. , записанный как и определяется как .

Чтобы формально построить базис дуального пространства, мы ограничимся теперь случаем, когда является конечномерным свободным (слева) -модуль, где представляет собой кольцо с единицей. Тогда мы предполагаем, что множество является основой для . Отсюда мы определяем дельта-функцию Кронекера над основой к если и если . Тогда набор описывает линейно независимое множество, в котором каждый . С конечномерен, базис имеет конечную мощность. Тогда набор является основой для и это бесплатно (право) -модуль.

Например, стандартные базисные векторы ( декартова плоскость )

и стандартные базисные векторы его двойственного пространства являются

В трехмерном евклидовом пространстве для заданного базиса , биортогональный (двойственный) базис можно найти по формулам ниже:

где Т обозначает транспонирование и

- объем параллелепипеда, образованного базисными векторами и

В общем, двойственный базис базиса в конечномерном векторном пространстве можно легко вычислить следующим образом: учитывая базис и соответствующий двойной базис мы можем строить матрицы

Тогда определяющее свойство двойственного базиса гласит, что

Следовательно, матрица для двойственного базиса может быть вычислено как

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  • Лебедев Леонид П.; Клауд, Майкл Дж.; Еремеев, Виктор А. (2010). Тензорный анализ с приложениями к механике . Всемирная научная. ISBN  978-981431312-4 .
  • «Нахождение двойного базиса» . Обмен стеками . 27 мая 2012 г.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 3143f25853a77f6965f1e4a67c85c410__1705059960
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/31/10/3143f25853a77f6965f1e4a67c85c410.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Dual basis - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)