Личность Бельтрами

Тождество Бельтрами , названное в честь Эухенио Бельтрами , представляет собой частный случай уравнения Эйлера–Лагранжа в вариационном исчислении .

Уравнение Эйлера–Лагранжа служит для экстремизации функционалов действия вида

$I[u]=\int _{a}^{b}L[x,u(x),u'(x)]\,dx\,,$

где $a$ и $b$ являются константами и $u'(x)={\frac {du}{dx}}$.

Если ${\frac {\partial L}{\partial x}}=0$, то уравнение Эйлера–Лагранжа сводится к тождеству Бельтрами:

$L-u'{\frac {\partial L}{\partial u'}}=C\,,$

где C — константа.

Вывод

По цепному правилу производная от L равна

${\frac {dL}{dx}}={\frac {\partial L}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial L}{\partial u}}{\frac {du}{dx}}+{\frac {\partial L}{\partial u'}}{\frac {du'}{dx}}\,.$

Потому что ${\frac {\partial L}{\partial x}}=0$, мы пишем

${\frac {dL}{dx}}={\frac {\partial L}{\partial u}}u'+{\frac {\partial L}{\partial u'}}u''\,.$

У нас есть выражение для ${\frac {\partial L}{\partial u}}$ из уравнения Эйлера – Лагранжа,

${\frac {\partial L}{\partial u}}={\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial u'}}\,$

что мы можем заменить в приведенном выше выражении на ${\frac {dL}{dx}}$ чтобы получить

${\frac {dL}{dx}}=u'{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial u'}}+u''{\frac {\partial L}{\partial u'}}\,.$

По правилу произведения правая часть эквивалентна

${\frac {dL}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(u'{\frac {\partial L}{\partial u'}}\right)\,.$

Интегрируя обе стороны и помещая оба члена в одну сторону , мы получаем тождество Бельтрами,

$L-u'{\frac {\partial L}{\partial u'}}=C\,.$

Приложения

Решение проблемы брахистохроны

Решением проблемы брахистохроны является циклоида.

Примером применения тождества Бельтрами является задача о брахистохроне , которая предполагает нахождение кривой $y=y(x)$ что минимизирует интеграл

$I[y]=\int _{0}^{a}{\sqrt {{1+y'^{\,2}} \over y}}dx\,.$

Подынтегральная функция

$L(y,y')={\sqrt {{1+y'^{\,2}} \over y}}$

не зависит явно от переменной интегрирования $x$, поэтому применимо тождество Бельтрами,

$L-y'{\frac {\partial L}{\partial y'}}=C\,.$

Замена на $L$ и упрощая,

$y(1+y'^{\,2})=1/C^{2}~~{\text{(constant)}}\,,$

которое можно решить, результат представив в виде параметрических уравнений

$x=A(\phi -\sin \phi )$

$y=A(1-\cos \phi )$

с $A$ будучи половиной указанной выше константы, ${\frac {1}{2C^{2}}}$, и $\phi$ являющийся переменной. Это параметрические уравнения циклоиды .

Решение проблемы цепной связи

Цепь, свисающая с точек, образует контактную сеть .

Рассмотрим струну с одинаковой плотностью. $\mu$ длины $l$ подвешивается в двух точках одинаковой высоты и на расстоянии $D$. По формуле дуги длины

$$l=\int _{S}dS=\int _{s_{1}}^{s_{2}}{\sqrt {1+y'^{2}}}dx,$$

где $S$ это путь строки, а $s_{1}$ и $s_{2}$ являются граничными условиями.

Кривая должна минимизировать свою потенциальную энергию.

$$U=\int _{S}g\mu y\cdot dS=\int _{s_{1}}^{s_{2}}g\mu y{\sqrt {1+y'^{2}}}dx,$$

и подчиняется ограничению

$$\int _{s_{1}}^{s_{2}}{\sqrt {1+y'^{2}}}dx=l,$$

где $g$ это сила гравитации.

Поскольку независимая переменная $x$ не появляется в подынтегральном выражении, тождество Бельтрами можно использовать для выражения пути строки в виде разделимого дифференциального уравнения первого порядка.

$$L-y\prime {\frac {\partial L}{\partial y\prime }}=\mu gy{\sqrt {1+y\prime ^{2}}}+\lambda {\sqrt {1+y\prime ^{2}}}-\left[\mu gy{\frac {y\prime ^{2}}{\sqrt {1+y\prime ^{2}}}}+\lambda {\frac {y\prime ^{2}}{\sqrt {1+y\prime ^{2}}}}\right]=C,$$

где $\lambda$ – множитель Лагранжа .

Дифференциальное уравнение можно упростить следующим образом:

$${\frac {g\rho y-\lambda }{\sqrt {1+y'^{2}}}}=C.$$

Решение этого уравнения дает гиперболический косинус , где $C_{0}$ вторая константа, полученная в результате интегрирования

$$y={\frac {C}{\mu g}}\cosh \left[{\frac {\mu g}{C}}(x+C_{0})\right]-{\frac {\lambda }{\mu g}}.$$

Три неизвестных $C$, $C_{0}$, и $\lambda$ можно решить, используя ограничения на конечные точки строки и длину дуги $l$, хотя получить решение в замкнутой форме зачастую очень сложно.