Прогнозируемое нормальное распределение

Прогнозируемое нормальное распределение

Обозначения	${\mathcal {PN}}_{n}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$
Параметры	${\boldsymbol {\mu }}\in \mathbb {R} ^{n}$ ( расположение ) ${\boldsymbol {\Sigma }}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ ( шкала )
Поддерживать	${\boldsymbol {\theta }}\in [0,\pi ]^{n-2}\times [0,2\pi )$
PDF	сложно, см. текст

В направленной статистике прогнозируемое нормальное распределение (также известное как нормальное распределение смещения или угловое нормальное распределение ). — это распределение вероятностей по направлениям , которое описывает радиальную проекцию случайной величины с n-мерным нормальным распределением на единичную (n-1)-сферу .

Определение и свойства

Учитывая случайную величину ${\boldsymbol {X}}\in \mathbb {R} ^{n}$ которое соответствует многомерному нормальному распределению ${\mathcal {N}}_{n}({\boldsymbol {\mu }},\,{\boldsymbol {\Sigma }})$, прогнозируемое нормальное распределение ${\mathcal {PN}}_{n}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$ представляет собой распределение случайной величины ${\boldsymbol {Y}}={\frac {\boldsymbol {X}}{\lVert {\boldsymbol {X}}\rVert }}$ получено проектирование ${\boldsymbol {X}}$ над единичной сферой. В общем случае прогнозируемое нормальное распределение может быть асимметричным и мультимодальным . В случае ${\boldsymbol {\mu }}$ ортогонален вектору собственному ${\boldsymbol {\Sigma }}$, распределение симметрично.

Функция плотности

Плотность прогнозируемого нормального распределения ${\mathcal {PN}}_{n}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$ может быть построено из плотности его образующего n-мерного нормального распределения ${\mathcal {N}}_{n}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$ путем повторной параметризации в n-мерных сферических координатах и ​​последующего интегрирования по радиальной координате.

В сферических координатах с радиальной составляющей $r\in [0,\infty )$ и углы ${\boldsymbol {\theta }}=(\theta _{1},\dots ,\theta _{n-1})\in [0,\pi ]^{n-2}\times [0,2\pi )$, точка ${\boldsymbol {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ можно записать как ${\boldsymbol {x}}=r{\boldsymbol {v}}$, с $\lVert {\boldsymbol {v}}\rVert =1$. Плотность соединений становится

$p(r,{\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})={\frac {r^{n-1}}{{\sqrt {|{\boldsymbol {\Sigma }}|}}(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}e^{-{\frac {1}{2}}(r{\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {\mu }})^{\top }\Sigma ^{-1}(r{\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {\mu }})}$

и плотность ${\mathcal {PN}}_{n}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$ тогда можно получить как

$p({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})=\int _{0}^{\infty }p(r,{\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})dr.$

Круговое распределение

Параметризация положения на единичной окружности в полярных координатах как ${\boldsymbol {v}}=(\cos \theta ,\sin \theta )$, функцию плотности можно записать относительно параметров ${\boldsymbol {\mu }}$ и ${\boldsymbol {\Sigma }}$ начального нормального распределения как

$p(\theta |{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})={\frac {e^{-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\mu }}^{\top }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}}}{2\pi {\sqrt {|{\boldsymbol {\Sigma }}|}}{\boldsymbol {v}}^{\top }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {v}}}}\left(1+T(\theta ){\frac {\Phi (T(\theta ))}{\phi (T(\theta ))}}\right)I_{[0,2\pi )}(\theta )$

где $\phi$ и $\Phi$ — плотность и кумулятивное распределение стандартного нормального распределения , $T(\theta )={\frac {{\boldsymbol {v}}^{\top }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}}{\sqrt {{\boldsymbol {v}}^{\top }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {v}}}}}$, и $I$ – индикаторная функция .

В круговом случае, если средний вектор ${\boldsymbol {\mu }}$ параллельно собственному вектору, соответствующему наибольшему собственному значению ковариации, распределение симметрично и имеет моду при $\theta =\alpha$ и либо мода, либо антимода в $\theta =\alpha +\pi$, где $\alpha$ это полярный угол ${\boldsymbol {\mu }}=(r\cos \alpha ,r\sin \alpha )$. Если вместо этого среднее значение параллельно собственному вектору, связанному с наименьшим собственным значением, распределение также симметрично, но имеет либо моду, либо антимоду в точке. $\theta =\alpha$ и антимода в $\theta =\alpha +\pi$.

Сферическое распределение

Параметризация положения на единичной сфере в сферических координатах как ${\boldsymbol {v}}=(\cos \theta _{1}\sin \theta _{2},\sin \theta _{1}\sin \theta _{2},\cos \theta _{2})$ где ${\boldsymbol {\theta }}=(\theta _{1},\theta _{2})$ азимут ​ $\theta _{1}\in [0,2\pi )$ и наклон $\theta _{2}\in [0,\pi ]$ углов соответственно, функция плотности становится

$p({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})={\frac {e^{-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\mu }}^{\top }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}}}{{\sqrt {|{\boldsymbol {\Sigma }}|}}\left(2\pi {\boldsymbol {v}}^{\top }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {v}}\right)^{\frac {3}{2}}}}\left({\frac {\Phi (T({\boldsymbol {\theta }}))}{\phi (T({\boldsymbol {\theta }}))}}+T({\boldsymbol {\theta }})\left(1+T({\boldsymbol {\theta }}){\frac {\Phi (T({\boldsymbol {\theta }}))}{\phi (T({\boldsymbol {\theta }}))}}\right)\right)I_{[0,2\pi )}(\theta _{1})I_{[0,\pi ]}(\theta _{2})$

где $\phi$, $\Phi$, $T$, и $I$ имеют то же значение, что и круглый случай.

См. также

• Направленная статистика
• Многомерное нормальное распределение

Источники

• Эрнандес-Стумпфхаузер, Даниэль; Брейдт, Ф. Джей; ван дер Вёрд, Марк Дж. (2017). «Общее прогнозируемое нормальное распределение произвольной размерности: моделирование и байесовский вывод». Байесовский анализ . 12 (1): 113–133.
• Ван, Фангпо; Гельфанд, Алан Э (2013). «Направленный анализ данных при общем прогнозируемом нормальном распределении». Статистическая методология . 10 (1). Эльзевир: 113–127.