Завернутое нормальное распределение

Обернутый нормальный

Функция плотности вероятности Носитель выбран [-π,π] с µ=0.
Кумулятивная функция распределения Носитель выбран [-π,π] с µ=0.
Параметры	$\mu$ настоящий $\sigma >0$
Поддерживать	$\theta \in$ любой интервал длины 2π
PDF	${\frac {1}{2\pi }}\vartheta \left({\frac {\theta -\mu }{2\pi }},{\frac {i\sigma ^{2}}{2\pi }}\right)$
Иметь в виду	$\mu$ если поддержка на интервале $\mu \pm \pi$
медиана	$\mu$ если поддержка на интервале $\mu \pm \pi$
Режим	$\mu$
Дисперсия	$1-e^{-\sigma ^{2}/2}$ (круговой)
Энтропия	(см. текст)
CF	$e^{-\sigma ^{2}n^{2}/2+in\mu }$

В теории вероятностей и направленной статистике завернутое нормальное распределение — это свернутое распределение вероятностей , возникающее в результате «обертывания» нормального распределения вокруг единичного круга . Оно находит применение в теории броуновского движения и является решением уравнения теплопроводности для периодических граничных условий . Оно близко аппроксимируется распределением фон Мизеса , которое из-за своей математической простоты и понятности является наиболее часто используемым распределением в направленной статистике.

Определение

Функция плотности вероятности завернутого нормального распределения равна

$f_{WN}(\theta ;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp \left[{\frac {-(\theta -\mu +2\pi k)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right],$

где μ и σ — среднее и стандартное отклонение развернутого распределения соответственно. Выразив вышеуказанную функцию плотности через характеристическую функцию нормального распределения, получим:

$f_{WN}(\theta ;\mu ,\sigma )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-\sigma ^{2}n^{2}/2+in(\theta -\mu )}={\frac {1}{2\pi }}\vartheta \left({\frac {\theta -\mu }{2\pi }},{\frac {i\sigma ^{2}}{2\pi }}\right),$

где $\vartheta (\theta ,\tau )$ — тэта-функция Якоби , определяемая формулой

$\vartheta (\theta ,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n}q^{n^{2}}{\text{ where }}w\equiv e^{i\pi \theta }$ и $q\equiv e^{i\pi \tau }.$

Обернутое нормальное распределение также можно выразить через тройное произведение Якоби :

$f_{WN}(\theta ;\mu ,\sigma )={\frac {1}{2\pi }}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})(1+q^{n-1/2}z)(1+q^{n-1/2}/z).$

где $z=e^{i(\theta -\mu )}\,$ и $q=e^{-\sigma ^{2}}.$

Моменты

В терминах круговой переменной $z=e^{i\theta }$ круговые моменты завернутого нормального распределения являются характеристической функцией нормального распределения, оцениваемой с целочисленными аргументами:

$\langle z^{n}\rangle =\int _{\Gamma }e^{in\theta }\,f_{WN}(\theta ;\mu ,\sigma )\,d\theta =e^{in\mu -n^{2}\sigma ^{2}/2}.$

где $\Gamma \,$ это некоторый интервал длины $2\pi$. Тогда первый момент представляет собой среднее значение z , также известное как средний результирующий или средний результирующий вектор:

$\langle z\rangle =e^{i\mu -\sigma ^{2}/2}$

Средний угол

$\theta _{\mu }=\mathrm {Arg} \langle z\rangle =\mu$

а длина среднего результата равна

$R=|\langle z\rangle |=e^{-\sigma ^{2}/2}$

Круговое стандартное отклонение, которое является полезной мерой дисперсии завернутого нормального распределения и его близкого родственника, распределения фон Мизеса, определяется следующим образом:

$s=\ln(R^{-2})^{1/2}=\sigma$

Оценка параметров

Серия N измерений z _n = e  ^{iθ _н} полученные из завернутого нормального распределения, можно использовать для оценки определенных параметров распределения. Среднее значение ряда z определяется как

${\overline {z}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}z_{n}$

и его математическое ожидание будет всего лишь первым моментом:

$\langle {\overline {z}}\rangle =e^{i\mu -\sigma ^{2}/2}.\,$

Другими словами, z — несмещенная оценка первого момента. Если мы предположим, что среднее значение µ лежит в интервале [− π , π ), то Arg z будет (смещенной) оценкой среднего значения µ .

Рассматривая z _n как набор векторов в комплексной плоскости, R ² статистика представляет собой квадрат длины усредненного вектора:

${\overline {R}}^{2}={\overline {z}}\,{\overline {z^{*}}}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos \theta _{n}\right)^{2}+\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\sin \theta _{n}\right)^{2}\,$

и его ожидаемое значение равно:

$\left\langle {\overline {R}}^{2}\right\rangle ={\frac {1}{N}}+{\frac {N-1}{N}}\,e^{-\sigma ^{2}}\,$

Другими словами, статистика

$R_{e}^{2}={\frac {N}{N-1}}\left({\overline {R}}^{2}-{\frac {1}{N}}\right)$

будет несмещенной оценкой e ^{− п 2} (1/ Re _{, и ln} ² ) будет (смещенной) оценкой σ ²

Энтропия

Информационная энтропия завернутого нормального распределения определяется как:

$H=-\int _{\Gamma }f_{WN}(\theta ;\mu ,\sigma )\,\ln(f_{WN}(\theta ;\mu ,\sigma ))\,d\theta$

где $\Gamma$ любой интервал длины $2\pi$. Определение $z=e^{i(\theta -\mu )}$ и $q=e^{-\sigma ^{2}}$представление тройного произведения Якоби для завернутой нормали имеет вид:

$f_{WN}(\theta ;\mu ,\sigma )={\frac {\phi (q)}{2\pi }}\prod _{m=1}^{\infty }(1+q^{m-1/2}z)(1+q^{m-1/2}z^{-1})$

где $\phi (q)\,$ есть функция Эйлера . Логарифм плотности завернутого нормального распределения можно записать:

$\ln(f_{WN}(\theta ;\mu ,\sigma ))=\ln \left({\frac {\phi (q)}{2\pi }}\right)+\sum _{m=1}^{\infty }\ln(1+q^{m-1/2}z)+\sum _{m=1}^{\infty }\ln(1+q^{m-1/2}z^{-1})$

Используя разложение в ряд для логарифма:

$\ln(1+x)=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\,x^{k}$

логарифмические суммы можно записать как:

$\sum _{m=1}^{\infty }\ln(1+q^{m-1/2}z^{\pm 1})=-\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\,q^{mk-k/2}z^{\pm k}=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\,{\frac {q^{k/2}}{1-q^{k}}}\,z^{\pm k}$

так что логарифм плотности завернутого нормального распределения можно записать как:

$\ln(f_{WN}(\theta ;\mu ,\sigma ))=\ln \left({\frac {\phi (q)}{2\pi }}\right)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{\frac {q^{k/2}}{1-q^{k}}}\,(z^{k}+z^{-k})$

что по сути представляет собой Фурье ряд $\theta \,$. Используя представление характеристической функции для завернутого нормального распределения в левой части интеграла:

$f_{WN}(\theta ;\mu ,\sigma )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}/2}\,z^{n}$

энтропию можно записать:

$H=-\ln \left({\frac {\phi (q)}{2\pi }}\right)+{\frac {1}{2\pi }}\int _{\Gamma }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{\frac {q^{(n^{2}+k)/2}}{1-q^{k}}}\left(z^{n+k}+z^{n-k}\right)\right)\,d\theta$

который можно проинтегрировать, чтобы получить:

$H=-\ln \left({\frac {\phi (q)}{2\pi }}\right)+2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\,{\frac {q^{(k^{2}+k)/2}}{1-q^{k}}}$

См. также

• Завернутое распространение
• Гребень Дирака
• Завернутое распределение Коши
• Распределение фон Мизеса

Ссылки

• Боррадейл, Грэм (2003). Статистика данных наук о Земле . Спрингер. ISBN  978-3-540-43603-4 . Проверено 31 декабря 2009 г.
• Фишер, Нью-Йорк (1996). Статистический анализ круговых данных . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-56890-6 . Проверено 9 февраля 2010 г.
• Брайтенбергер, Эрнст (1963). «Аналоги нормального распределения на окружности и сфере» . Биометрика . 50 (1/2): 81–88. дои : 10.2307/2333749 . JSTOR   2333749 .

Внешние ссылки

• Математика и статистика круговых значений с C++11 . Инфраструктура C++11 для математики и статистики круговых значений (углы, время суток и т. д.).