Стохастическое моделирование

Стохастическое моделирование — это моделирование системы , в которой есть переменные, которые могут изменяться стохастически (случайно) с отдельными вероятностями. ^[1]

Реализации этих случайных величин генерируются и вставляются в модель системы. Выходные данные модели записываются, а затем процесс повторяется с новым набором случайных значений. Эти шаги повторяются до тех пор, пока не будет собрано достаточное количество данных. В конце концов, распределение результатов показывает наиболее вероятные оценки, а также структуру ожиданий относительно того, в какие диапазоны значений переменные с большей или меньшей вероятностью попадут. ^[1]

Часто случайные величины, вставленные в модель, создаются на компьютере с помощью генератора случайных чисел (ГСЧ). U (0,1) затем преобразуются в случайные величины с распределениями вероятностей, которые используются в модели системы. с равномерным распределением Выходные данные генератора случайных чисел ^[2]

Этимология

Первоначально «Стохастик » означало «относящийся к предположению»; от греческого стохастикос «способный догадываться, догадываться»: от стохазестаи «догадываться»; от стохос "догадка, цель, цель, отметка". Смысл «случайно определенного» впервые был зафиксирован в 1934 году в немецком журнале «Сточастик». ^[3]

Дискретно-событийное моделирование

Чтобы определить следующее событие в стохастическом моделировании, вычисляются скорости всех возможных изменений состояния модели, а затем упорядочиваются в массиве. Далее берется накопительная сумма массива, а в последней ячейке содержится число R, где R — общая частота событий. Этот кумулятивный массив теперь представляет собой дискретное кумулятивное распределение, и его можно использовать для выбора следующего события, выбирая случайное число z~U(0,R) и выбирая первое событие так, чтобы z было меньше частоты, связанной с этим событием. .

Распределения вероятностей

Распределение вероятностей используется для описания потенциального результата случайной величины.

Ограничивает результаты, когда переменная может принимать только дискретные значения. ^[4]

Распределение Бернулли

Случайная величина X является распределенной по Бернулли с параметром p, если она имеет два возможных результата, обычно кодируемых 1 (успех или по умолчанию) или 0 (неудача или выживание). ^[5] где вероятности успеха и неудачи $P(X=1)=p$ и $P(X=0)=1-p$ где $0\leq p\leq 1$ .

Чтобы получить случайную величину X с распределением Бернулли из равномерного распределения U (0,1), созданного генератором случайных чисел, мы определяем $X={\begin{cases}1,&{\text{if }}0\leq U<p\\0,&{\text{if }}1\geq U\geq p\end{cases}}$ такая, что вероятность $P(X=1)=P(0\leq U<p)=p$ и $P(X=0)=P(1\geq U\geq p)=1-p$ . ^[2]

Пример: подбрасывание монеты.

Определять $X={\begin{cases}1&{\text{if heads comes up}}\\0&{\text{if tails comes up}}\end{cases}}$ Для честной монеты обе реализации одинаково вероятны. Мы можем генерировать реализации этой случайной величины X из $U(1,0)$ равномерное распределение, обеспечиваемое генератором случайных чисел (ГСЧ) за счет наличия $X=1$ если ГСЧ выводит значение от 0 до 0,5 и $X=0$ если ГСЧ выводит значение от 0,5 до 1. ${\begin{aligned}P(X=1)&=P(0\leq U<1/2)=1/2\\P(X=0)&=P(1\geq U\geq 1/2)=1/2\end{aligned}}$ Конечно, эти два результата могут быть не одинаково вероятны (например, успех медицинского лечения). ^[6]

Биномиальное распределение

Биномиально распределенная случайная величина Y с параметрами n и p получается как сумма n независимых и одинаково распределенных по Бернулли случайных величин X ₁ , X ₂ , ..., X _n^[4]

Пример: Монету подбрасывают три раза. Найдите вероятность того, что выпадет ровно две решки.Эту проблему можно решить, посмотрев на выборочное пространство. Есть три способа получить две головы.

ХХХ, ХХТ, ХТХ, ТХХ , ТТХ, ЧТ, ХТТ, ТТТ

Ответ: 3/8 (= 0,375). ^[7]

Распределение Пуассона

Пуассоновский процесс — это процесс, в котором события происходят случайным образом в интервале времени или пространства. ^[2]^[8] Распределение вероятностей для пуассоновских процессов с постоянной скоростью λ за интервал времени определяется следующим уравнением. ^[4] $P(k{\text{ events in interval}})={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}$

Определение $N(t)$ как количество событий, происходящих за интервал времени $t$ $P(N(t)=k)={\frac {(t\lambda )^{k}}{k!}}e^{-t\lambda }$

Можно показать, что время между приходами событий экспоненциально распределяется с помощью кумулятивной функции распределения (CDF) $F(t)=1-e^{-t\lambda }$ . Обратная экспоненциальная CDF определяется выражением $t=-{\frac {1}{\lambda }}\ln(u)$ где $u$ это $U(0,1)$ равномерно распределенная случайная величина. ^[2]

Моделирование процесса Пуассона с постоянной скоростью $\lambda$ по количеству событий $N$ которые происходят в интервале $[t_{\text{start}},t_{\text{end}}]$ можно провести по следующему алгоритму. ^[9]

Начните с $N=0$ и $t=t_{\text{start}}$
Создать случайную величину $u$ от $U(0,1)$ равномерное распределение
Обновите время с помощью $t=t-\ln(u)/\lambda$
Если $t>t_{\text{end}}$ , тогда остановись. В противном случае перейдите к шагу 5.
$N=N+1$
Перейдите к шагу 2

Методы

Методы прямой и первой реакции

Опубликовано Дэном Гиллеспи в 1977 году и представляет собой линейный поиск по кумулятивному массиву. См. алгоритм Гиллеспи .

Алгоритм стохастического моделирования Гиллеспи (SSA) по сути представляет собой точную процедуру численного моделирования временной эволюции хорошо перемешиваемой химически реагирующей системы с должным учетом случайности, присущей такой системе. ^[10]

Оно строго основано на той же самой микрофизической предпосылке, которая лежит в основе основного химического уравнения, и дает более реалистичное представление об эволюции системы, чем детерминированное уравнение скорости реакции (RRE), математически представленное ОДУ. ^[10]

Как и в случае с основным химическим уравнением, SSA сходится в пределе большого числа реагентов к тому же решению, что и закон действующих масс.

Следующий метод реакции

Опубликовано в 2000 году Гибсоном и Бруком. ^[11] следующий метод реакции превосходит первый метод реакции за счет уменьшения количества случайных чисел, которые необходимо сгенерировать. Чтобы сделать выборку реакций более эффективной, для хранения времени реакции используется индексированная [очередь приоритетов]. Чтобы сделать расчет склонностей к реакции более эффективным, также используется граф зависимостей. Этот график зависимостей показывает, какие реакции склонны обновляться после запуска конкретной реакции. Хотя метод следующей реакции более эффективен, он требует более сложных структур данных, чем метод прямого моделирования или метод первой реакции.

Оптимизированные и сортируемые прямые методы

Опубликовано в 2004 г. ^[12] и 2005. Эти методы сортируют накопительный массив, чтобы уменьшить среднюю глубину поиска алгоритма. Первый выполняет предварительное моделирование для оценки частоты срабатывания реакций, тогда как второй сортирует совокупный массив «на лету».

Логарифмический прямой метод

Опубликовано в 2006 году. Это двоичный поиск в накопительном массиве, что позволяет снизить временную сложность выборки реакции в наихудшем случае до O (log M).

Методы частичной склонности

Опубликовано в 2009, 2010 и 2011 годах (Рамасвами 2009, 2010, 2011). Используйте исключенные частичные склонности к реакциям, чтобы уменьшить вычислительные затраты и масштабироваться в зависимости от количества видов в сети, а не (большего) количества реакций. Существует четыре варианта:

PDM, прямой метод частичной склонности. Имеет вычислительные затраты, которые линейно масштабируются в зависимости от количества различных видов в реакционной сети, независимо от класса связи сети (Ramaswamy 2009).
SPDM, прямой метод сортировки с частичной склонностью. Использует динамическую пузырьковую сортировку для снижения предварительного коэффициента вычислительных затрат в многомасштабных реакционных сетях, где скорости реакции варьируются на несколько порядков (Ramaswamy 2009).
PSSA-CR, SSA с частичной склонностью и выборкой с отклонением состава. Снижает вычислительные затраты до постоянного времени (т. е. независимого от размера сети) для слабосвязанных сетей (Ramaswamy 2010) с использованием выборки с отклонением состава (Slepoy 2008).
dPDM, прямой метод частичной склонности к задержке. Распространяет PDM на сети реагирования, которые подвержены задержкам во времени (Ramaswamy 2011), предоставляя вариант метода задержки-SSA с частичной склонностью (Bratsun 2005, Cai 2007).

Использование методов частичной склонности ограничивается элементарными химическими реакциями, т. е. реакциями с участием не более двух различных реагентов. Любую неэлементарную химическую реакцию можно эквивалентно разложить на набор элементарных за счет линейного (по порядку реакции) увеличения размера сети.

Приближенные методы

Общий недостаток стохастического моделирования заключается в том, что в больших системах происходит слишком много событий, которые невозможно учесть при моделировании. Следующие методы могут значительно улучшить скорость моделирования за счет некоторых приближений.

τ прыгающий метод

Поскольку метод SSA отслеживает каждый переход, его было бы непрактично реализовать для определенных приложений из-за высокой временной сложности. Гиллеспи предложил процедуру аппроксимации — метод тау-прыжка , который уменьшает время вычислений с минимальной потерей точности. ^[13]Вместо того, чтобы делать постепенные шаги во времени, отслеживая X ( t ) на каждом временном шаге, как в методе SSA, метод тау-прыжка переходит от одного подинтервала к другому, приблизительно оценивая количество переходов, происходящих в течение данного подинтервала. Предполагается, что значение скачка τ достаточно мало, чтобы не было существенного изменения значения скоростей перехода вдоль подинтервала [ t , t + τ ]. Это состояние известно как условие скачка. Таким образом, метод тау-прыжка имеет то преимущество, что моделирует множество переходов за один скачок, не теряя при этом значительной точности, что приводит к ускорению времени вычислений. ^[14]

Метод условной разницы

Этот метод аппроксимирует обратимые процессы (включая процессы случайного блуждания/диффузии), принимая во внимание только чистые скорости противоположных событий обратимого процесса. Основное преимущество этого метода заключается в том, что его можно реализовать с помощью простого оператора if, заменяющего предыдущие скорости перехода модели новыми, эффективными ставками. Таким образом, модель с замененными темпами перехода может быть решена, например, с помощью обычного SSA. ^[15]

Непрерывное моделирование

Если в дискретном пространстве состояний четко разграничить отдельные состояния (значения), то в непрерывном пространстве это невозможно в силу определенной непрерывности. Система обычно меняется со временем, переменные модели затем также изменяются непрерывно. Таким образом, непрерывное моделирование моделирует систему с течением времени, учитывая дифференциальные уравнения , определяющие скорость изменения переменных состояния. ^[16]Примером непрерывной системы является модель хищник/жертва. ^[17] или балансировка тележки-столба ^[18]

Распределения вероятностей

Нормальное распределение

имеет X случайная величина $нормальное$ Говорят, что распределение с параметрами $μ$ и $σ$ , сокращенно $X \in N (μ, σ 2)$ , если плотность случайной величины задана формулой ^[4] $f_{X}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}},\quad x\in \mathbb {R} .$

Многие вещи на самом деле нормально распределены или очень близки к этому. Например, рост и интеллект распределены примерно нормально ; Ошибки измерения также часто имеют нормальное распределение . ^[19]

Экспоненциальное распределение

Экспоненциальное распределение описывает время между событиями в процессе Пуассона , т.е. процессе, в котором события происходят непрерывно и независимо с постоянной средней скоростью.

Экспоненциальное распределение популярно, например, в теории массового обслуживания , когда мы хотим смоделировать время ожидания, пока не произойдет определенное событие. Примеры включают время, пока в магазин не войдет следующий клиент, время, пока определенная компания не выйдет из строя, или время, пока какая-то машина не выйдет из строя. ^[4]

t-распределение Стьюдента

Т-распределение Стьюдента используется в финансах как вероятностные модели доходности активов. Функция плотности t-распределения определяется следующим уравнением: ^[4] $f(t)={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}},$ где $\nu$ число степеней свободы и $\Gamma$ это гамма-функция .

Для больших значений n существенно t-распределение не отличается от стандартного нормального распределения . Обычно для значений n > 30 t-распределение считают равным стандартному нормальному распределению .

Другие дистрибутивы

Обобщенное распределение экстремальных значений

Комбинированное моделирование

Зачастую одну и ту же систему можно смоделировать, используя совершенно разные взгляды на мир. Дискретное моделирование проблемы, а также ее непрерывное моделирование событий (непрерывное моделирование с дискретными событиями, которые нарушают непрерывный поток) может в конечном итоге привести к одним и тем же ответам. Однако иногда методы могут ответить на разные вопросы о системе. Если нам обязательно нужно ответить на все вопросы или мы не знаем, для каких целей будет использоваться модель, удобно применить комбинированную непрерывную/дискретную методологию . ^[20] Подобные методы могут перейти от дискретного стохастического описания к детерминированному континуальному описанию в зависимости от времени и пространства. ^[21] Использование этого метода позволяет улавливать шум из-за небольшого количества копий, при этом его моделирование происходит намного быстрее, чем традиционный алгоритм Гиллеспи. Более того, использование детерминированного описания континуума позволяет моделировать сколь угодно большие системы.

Моделирование Монте-Карло

Монте-Карло – это процедура оценки. Основная идея заключается в том, что если необходимо знать среднее значение некоторой случайной величины, а ее распределение невозможно определить, и если можно взять выборку из распределения, мы можем оценить ее, взяв выборки независимо и усреднив их. Если выборок достаточно, то закон больших чисел гласит, что среднее значение должно быть близко к истинному значению. Центральная предельная теорема гласит, что среднее значение имеет гауссово распределение вокруг истинного значения. ^[22]

В качестве простого примера предположим, что нам нужно измерить площадь фигуры со сложным неправильным контуром. Подход Монте-Карло заключается в том, чтобы нарисовать квадрат вокруг фигуры и измерить квадрат. Затем бросаем дротики в квадрат, как можно равномернее. Доля стрел, попадающих на фигуру, дает отношение площади фигуры к площади квадрата. Фактически, к этой форме можно привести почти любую интегральную задачу или любую задачу усреднения. Необходимо иметь хороший способ определить, находитесь ли вы внутри контура, и хороший способ определить, сколько дротиков нужно бросить. И последнее, но не менее важное: нам нужно бросать дротики равномерно, т. е. используя хороший генератор случайных чисел . ^[22]

Приложение

Существуют широкие возможности использования метода Монте-Карло: ^[1]

Статистический эксперимент с использованием случайных величин (например, игральных костей)
метод выборки
Математика (например, численное интегрирование, кратные интегралы)
Инженерия надежности
Управление проектами (шесть сигм)
Экспериментальная физика элементарных частиц
Симуляторы
Измерение рисков / управление рисками (например, оценка стоимости портфеля)
Экономика (например, поиск наиболее подходящей кривой спроса)
Моделирование процессов
Исследование операций

Генераторы случайных чисел

Для имитационных экспериментов (в том числе Монте-Карло) необходимо генерировать случайные числа (как значения переменных). Проблема в том, что компьютер является в высшей степени детерминированной машиной: по сути, за каждым процессом всегда стоит алгоритм, детерминированное вычисление, изменяющее входные данные на выходные; поэтому нелегко генерировать случайные числа с равномерным распределением в пределах определенного интервала или набора. ^[1]

Генератор случайных чисел — это устройство, способное генерировать последовательность чисел, которую невозможно «легко» идентифицировать по детерминированным свойствам. Эта последовательность тогда называется последовательностью стохастических чисел . ^[23]

Алгоритмы обычно полагаются на псевдослучайные числа , сгенерированные компьютером числа, имитирующие настоящие случайные числа, для генерации реализации, одного из возможных результатов процесса. ^[24]

Методы получения случайных чисел существуют уже давно и используются во многих различных областях (например, в играх ). Однако эти цифры страдают определенной предвзятостью. В настоящее время лучшими методами, которые, как ожидается, создадут действительно случайные последовательности, являются естественные методы, использующие случайную природу квантовых явлений . ^[23]

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ДЛОУГЕ, М.; ФАБРИ, Ж.; КУНЦОВА М.. Моделирование для экономистов. Прага: Экономический университет, 2005.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Деккинг, Фредерик Мишель (2005). Современное введение в вероятность и статистику: понимание почему и как . Спрингер. ISBN 1-85233-896-2 . OCLC 783259968 .
^ стохастический. (без даты). Интернет-этимологический словарь. Получено 23 января 2014 г. с веб-сайта Dictionary.com: http://dictionary.reference.com/browse/stochastic .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Рачев, Светлозар Т. Стоянов, Стоян В. Фабоцци, Фрэнк Дж., «Глава 1, концепции вероятности» в продвинутых стохастических моделях, оценке рисков и оптимизации портфеля: идеальный риск, неопределенность и показатели эффективности, Хобокен, Нью-Джерси, США : Уайли, 2008 г.
^ Рачев Светлозар Т.; Стоянов, Стоян В.; Фабоцци, Фрэнк Дж. (14 апреля 2011 г.). Вероятностно-метрический подход к измерению финансовых рисков . дои : 10.1002/9781444392715 . ISBN 9781444392715 .
^ Распределение Бернулли, Чикагский университет - Статистический факультет, [онлайн] доступно по адресу http://galton.uchicago.edu/~eichler/stat22000/Handouts/l12.pdf.
^ «Биномиальное распределение» . Архивировано из оригинала 26 февраля 2014 г. Проверено 25 января 2014 г.
^ Хейт, Фрэнк А. (1967). Справочник по распределению Пуассона . Уайли. OCLC 422367440 .
^ Сигман, Карл. «Пуассоновские процессы и сложные (периодические) пуассоновские процессы» (PDF) .
^ Jump up to: ^а ^б Стивен Гилмор, Введение в стохастическое моделирование - Алгоритмы стохастического моделирования, Эдинбургский университет, [онлайн] доступно по адресу http://www.doc.ic.ac.uk/~jb/conferences/pasta2006/slides/stochastic-simulation-introduction .pdf
^ Майкл А. Гибсон и Иехошуа Брук, Эффективное точное стохастическое моделирование химических систем со многими видами и множеством каналов , J. Phys. хим. А, 104:1876–1899, 2000.
^ Ю. Цао, Х. Ли и Л. Петцольд. Эффективная формулировка алгоритма стохастического моделирования химически реагирующих систем , J. Chem. Физика, 121(9):4059–4067, 2004.
^ Гиллеспи, DT (1976). «Общий метод численного моделирования стохастической эволюции во времени связанных химических реакций». Журнал вычислительной физики . 22 (4): 403–434. Бибкод : 1976JCoPh..22..403G . дои : 10.1016/0021-9991(76)90041-3 .
^ HT Banks, Анна Бройдо, Брэнди Кантер, Кейтлин Гайверт, Шухуа Ху, Мишель Джойнер, Кэтрин Линк, Алгоритмы моделирования для моделей цепей Маркова с непрерывным временем, [онлайн] доступно по адресу http://www.ncsu.edu/crsc/reports/ ftp/pdf/crsc-tr11-17.pdf
^ Разлив, Ф; Майни, ПК; Бирн, HM (2016). «Оптимизация моделирования случайных процессов путем устранения противоположных реакций». Журнал химической физики . 144 (8): 084105. arXiv : 1602.02655 . Бибкод : 2016JChPh.144h4105S . дои : 10.1063/1.4942413 . ПМИД 26931679 . S2CID 13334842 .
^ Креспо-Маркес, А., Р.Р. Усано и Р.Д. Аснар, 1993, «Непрерывное и дискретное моделирование в системе планирования производства. Сравнительное исследование»
^ Луи Дж. Бирта, Гилберт Арбез (2007). Моделирование и симуляция, с. 255. Спрингер.
^ «Урок балансировки шеста» .
^ Университет Нотр-Дам, Нормальное распределение, [онлайн] доступно по адресу http://www3.nd.edu/~rwilliam/stats1/x21.pdf.
^ Франсуа Э. Селье, Приложения, методы и инструменты комбинированного непрерывного/дискретного моделирования
^ Спилл, Ф.; и др. (2015). «Гибридные подходы к многовидовым стохастическим моделям реакции-диффузии» . Журнал вычислительной физики . 299 : 429–445. arXiv : 1507.07992 . Бибкод : 2015JCoPh.299..429S . дои : 10.1016/j.jcp.2015.07.002 . ПМЦ 4554296 . ПМИД 26478601 .
^ Jump up to: ^а ^б Косма Рохилла Шализи, Монте-Карло и другие виды стохастического моделирования, [онлайн] доступно по адресу http://bactra.org/notebooks/monte-carlo.html.
^ Jump up to: ^а ^б Дональд Э. Кнут, Искусство компьютерного программирования, Том 2: Получисловые алгоритмы - глава 3: Случайные числа (Аддисон-Уэсли, Бостон, 1998).
^ Андреас Хелландер, Стохастическое моделирование и методы Монте-Карло, [онлайн] доступно по адресу http://www.it.uu.se/edu/course/homepage/bervet2/MCkompendium/mc.pdf .

(Слепой 2008): Слепой, А; Томпсон, AP; Плимптон, SJ (2008). «Кинетический алгоритм Монте-Карло с постоянным временем для моделирования больших сетей биохимических реакций». Журнал химической физики . 128 (20): 205101. Бибкод : 2008JChPh.128t5101S . дои : 10.1063/1.2919546 . ПМИД 18513044 .
(Брацун 2005): Д. Брацун; Д. Вольфсон; Дж. Хэсти; Л. Цимринг (2005). «Вызванные задержкой стохастические колебания в регуляции генов» . ПНАС . 102 (41): 14593–8. Бибкод : 2005PNAS..10214593B . дои : 10.1073/pnas.0503858102 . ПМЦ 1253555 . ПМИД 16199522 .
(Кай 2007): С. Цай (2007). «Точное стохастическое моделирование связанных химических реакций с запаздыванием». Дж. Хим. Физ . 126 (12): 124108. Бибкод : 2007JChPh.126l4108C . дои : 10.1063/1.2710253 . ПМИД 17411109 .
Хартманн, АК (2009). Практическое руководство по компьютерному моделированию . Всемирная научная. ISBN 978-981-283-415-7 . Архивировано из оригинала 11 февраля 2009 г. Проверено 3 мая 2012 г.
Пресс, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, WT; Фланнери, BP (2007). «Раздел 17.7. Стохастическое моделирование сетей химических реакций» . Численные рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-88068-8 .
(Рамасвами 2009): Р. Рамасвами; Н. Гонсалес-Сегредо; ИФ Сбальцарини (2009). «Новый класс высокоэффективных точных алгоритмов стохастического моделирования сетей химических реакций». Дж. Хим. Физ . 130 (24): 244104. arXiv : 0906.1992 . Бибкод : 2009JChPh.130x4104R . дои : 10.1063/1.3154624 . ПМИД 19566139 . S2CID 4952205 .
(Рамасвами 2010): Р. Рамасвами; ИФ Сбальцарини (2010). «Вариант частичной склонности алгоритма стохастического моделирования с отклонением состава для сетей химических реакций» (PDF) . Дж. Хим. Физ . 132 (4): 044102. Бибкод : 2010JChPh.132d4102R . дои : 10.1063/1.3297948 . ПМИД 20113014 .
(Рамасвами 2011): Р. Рамасвами; ИФ Сбальцарини (2011). «Формулировка алгоритма стохастического моделирования с частичной склонностью для сетей химических реакций с задержками» (PDF) . Дж. Хим. Физ . 134 (1): 014106. Бибкод : 2011JChPh.134a4106R . дои : 10.1063/1.3521496 . ПМИД 21218996 . S2CID 4949530 .

Внешние ссылки

Программное обеспечение

cayenne — быстрый и простой в использовании пакет Python для стохастического моделирования. Реализации прямых, тау-прыжковых и тау-адаптивных алгоритмов.
StochSS — StochSS: Служба стохастического моделирования — платформа облачных вычислений для моделирования стохастических биохимических систем.
ResAssure — программное обеспечение для стохастического моделирования пластов — полностью решает неявные, динамические уравнения движения трехфазного флюида для каждой геологической реализации.
Каин - Стохастическое моделирование химической кинетики. Прямая, следующая реакция, тау-прыжковая, гибридная и т. д.
pSSAlib — реализации C++ всех методов частичной склонности.
StochPy — стохастическое моделирование на Python
ШАГИ — STochastic Engine для моделирования путей с использованием swig для создания интерфейса Python для кода C/C++.

[sim-pro-ek-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ДЛОУГЕ, М.; ФАБРИ, Ж.; КУНЦОВА М.. Моделирование для экономистов. Прага: Экономический университет, 2005.

[Dekking,_F.M._Frederik_Michel,_1946–2005-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Деккинг, Фредерик Мишель (2005). Современное введение в вероятность и статистику: понимание почему и как . Спрингер. ISBN 1-85233-896-2 . OCLC 783259968 .

[3] стохастический. (без даты). Интернет-этимологический словарь. Получено 23 января 2014 г. с веб-сайта Dictionary.com: http://dictionary.reference.com/browse/stochastic .

[ASM2-4] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Рачев, Светлозар Т. Стоянов, Стоян В. Фабоцци, Фрэнк Дж., «Глава 1, концепции вероятности» в продвинутых стохастических моделях, оценке рисков и оптимизации портфеля: идеальный риск, неопределенность и показатели эффективности, Хобокен, Нью-Джерси, США : Уайли, 2008 г.

[5] Рачев Светлозар Т.; Стоянов, Стоян В.; Фабоцци, Фрэнк Дж. (14 апреля 2011 г.). Вероятностно-метрический подход к измерению финансовых рисков . дои : 10.1002/9781444392715 . ISBN 9781444392715 .

[bernoulli-6] Распределение Бернулли, Чикагский университет - Статистический факультет, [онлайн] доступно по адресу http://galton.uchicago.edu/~eichler/stat22000/Handouts/l12.pdf.

[7] «Биномиальное распределение» . Архивировано из оригинала 26 февраля 2014 г. Проверено 25 января 2014 г.

[8] Хейт, Фрэнк А. (1967). Справочник по распределению Пуассона . Уайли. OCLC 422367440 .

[9] Сигман, Карл. «Пуассоновские процессы и сложные (периодические) пуассоновские процессы» (PDF) .

[ssa-10] Jump up to: ^а ^б Стивен Гилмор, Введение в стохастическое моделирование - Алгоритмы стохастического моделирования, Эдинбургский университет, [онлайн] доступно по адресу http://www.doc.ic.ac.uk/~jb/conferences/pasta2006/slides/stochastic-simulation-introduction .pdf

[11] Майкл А. Гибсон и Иехошуа Брук, Эффективное точное стохастическое моделирование химических систем со многими видами и множеством каналов , J. Phys. хим. А, 104:1876–1899, 2000.

[12] Ю. Цао, Х. Ли и Л. Петцольд. Эффективная формулировка алгоритма стохастического моделирования химически реагирующих систем , J. Chem. Физика, 121(9):4059–4067, 2004.

[13] Гиллеспи, DT (1976). «Общий метод численного моделирования стохастической эволюции во времени связанных химических реакций». Журнал вычислительной физики . 22 (4): 403–434. Бибкод : 1976JCoPh..22..403G . дои : 10.1016/0021-9991(76)90041-3 .

[14] HT Banks, Анна Бройдо, Брэнди Кантер, Кейтлин Гайверт, Шухуа Ху, Мишель Джойнер, Кэтрин Линк, Алгоритмы моделирования для моделей цепей Маркова с непрерывным временем, [онлайн] доступно по адресу http://www.ncsu.edu/crsc/reports/ ftp/pdf/crsc-tr11-17.pdf

[15] Разлив, Ф; Майни, ПК; Бирн, HM (2016). «Оптимизация моделирования случайных процессов путем устранения противоположных реакций». Журнал химической физики . 144 (8): 084105. arXiv : 1602.02655 . Бибкод : 2016JChPh.144h4105S . дои : 10.1063/1.4942413 . ПМИД 26931679 . S2CID 13334842 .

[16] Креспо-Маркес, А., Р.Р. Усано и Р.Д. Аснар, 1993, «Непрерывное и дискретное моделирование в системе планирования производства. Сравнительное исследование»

[17] Луи Дж. Бирта, Гилберт Арбез (2007). Моделирование и симуляция, с. 255. Спрингер.

[18] «Урок балансировки шеста» .

[19] Университет Нотр-Дам, Нормальное распределение, [онлайн] доступно по адресу http://www3.nd.edu/~rwilliam/stats1/x21.pdf.

[cellier-20] Франсуа Э. Селье, Приложения, методы и инструменты комбинированного непрерывного/дискретного моделирования

[spill-21] Спилл, Ф.; и др. (2015). «Гибридные подходы к многовидовым стохастическим моделям реакции-диффузии» . Журнал вычислительной физики . 299 : 429–445. arXiv : 1507.07992 . Бибкод : 2015JCoPh.299..429S . дои : 10.1016/j.jcp.2015.07.002 . ПМЦ 4554296 . ПМИД 26478601 .

[mc-22] Jump up to: ^а ^б Косма Рохилла Шализи, Монте-Карло и другие виды стохастического моделирования, [онлайн] доступно по адресу http://bactra.org/notebooks/monte-carlo.html.

[donald-23] Jump up to: ^а ^б Дональд Э. Кнут, Искусство компьютерного программирования, Том 2: Получисловые алгоритмы - глава 3: Случайные числа (Аддисон-Уэсли, Бостон, 1998).

[hellander-24] Андреас Хелландер, Стохастическое моделирование и методы Монте-Карло, [онлайн] доступно по адресу http://www.it.uu.se/edu/course/homepage/bervet2/MCkompendium/mc.pdf .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]