Тау-прыгающий

В вероятностей теории тау-прыжк , или τ-прыжк , — это приближенный метод моделирования стохастической системы . Он основан на алгоритме Гиллеспи , выполняющем все реакции в течение интервала длины tau перед обновлением функций склонности. Реже обновляя ставки, это иногда позволяет более эффективно моделировать и, следовательно, учитывать более крупные системы.

Рассмотрено множество вариантов базового алгоритма.

Алгоритм

Алгоритм аналогичен методу Эйлера для детерминированных систем, но вместо внесения фиксированного изменения

$x(t+\tau )=x(t)+\tau x'(t)$

изменение

$x(t+\tau )=x(t)+P(\tau x'(t))$

где $P(\tau x'(t))$ представляет собой распределенную по Пуассону случайную величину со средним значением $\tau x'(t)$.

Учитывая состояние $\mathbf {x} (t)=\{X_{i}(t)\}$ с событиями $E_{j}$ происходит со скоростью $R_{j}(\mathbf {x} (t))$ и с векторами изменения состояния $\mathbf {v} _{ij}$ (где $i$ индексирует переменные состояния и $j$ индексирует события), метод заключается в следующем:

1. Инициализируйте модель с начальными условиями $\mathbf {x} (t_{0})=\{X_{i}(t_{0})\}$.
2. Рассчитать стоимость мероприятия $R_{j}(\mathbf {x} (t))$.
3. Выберите временной шаг $\tau$. Это может быть исправлено или с помощью какого-либо алгоритма, зависящего от различных частот событий.
4. Для каждого события $E_{j}$ генерировать $K_{j}\sim {\text{Poisson}}(R_{j}\tau )$, то есть сколько раз каждое событие происходит в течение интервала времени $[t,t+\tau )$.
5. Обновите состояние с помощью

   $\mathbf {x} (t+\tau )=\mathbf {x} (t)+\sum _{j}K_{j}v_{ij}$

   где $v_{ij}$ это изменение переменной состояния $X_{i}$ из-за события $E_{j}$. На этом этапе может возникнуть необходимость проверить, что никакие популяции не достигли нереалистичных значений (например, популяция не становится отрицательной из-за неограниченного характера переменной Пуассона). $K_{j}$).

6. Повторяйте, начиная с шага 2 и далее, пока не будет выполнено какое-либо желаемое условие (например, определенная переменная состояния не достигнет 0 или время $t_{1}$ достигается).

Алгоритм эффективного выбора размера шага

Этот алгоритм описан Cao et al. Идея состоит в том, чтобы ограничить относительное изменение частоты каждого события. $R_{j}$ по заданному допуску $\epsilon$ (Цао и др. рекомендуют $\epsilon =0.03$, хотя это может зависеть от особенностей модели). Это достигается за счет ограничения относительного изменения каждой переменной состояния. $X_{i}$ к $\epsilon /g_{i}$, где $g_{i}$ зависит от скорости, которая изменяется больше всего при данном изменении $X_{i}$. Обычно $g_{i}$ равна частоте событий высшего порядка, но в различных ситуациях это может быть более сложным (особенно эпидемиологические модели с нелинейной частотой событий).

Этот алгоритм обычно требует вычислений $2N$ вспомогательные значения (где $N$ количество переменных состояния $X_{i}$), и должен требовать только повторного использования ранее вычисленных значений $R_{j}(\mathbf {x} )$. Важным фактором при этом является $X_{i}$ является целочисленным значением, то существует минимальное значение, на которое оно может измениться, предотвращая относительное изменение $R_{j}$ ограничено 0, что приведет к $\tau$ также стремится к 0.

1. Для каждой переменной состояния $X_{i}$, вычисляем вспомогательные значения

   $\mu _{i}(\mathbf {x} )=\sum _{j}v_{ij}R_{j}(\mathbf {x} )$

   $\sigma _{i}^{2}(\mathbf {x} )=\sum _{j}v_{ij}^{2}R_{j}(\mathbf {x} )$

2. Для каждой переменной состояния $X_{i}$, определить событие высшего порядка, в котором оно участвует, и получить $g_{i}$
3. Вычислить временной шаг $\tau$ как

   $\tau =\min _{i}{\left\{{\frac {\max {\{\epsilon X_{i}/g_{i},1\}}}{|\mu _{i}(\mathbf {x} )|}},{\frac {\max {\{\epsilon X_{i}/g_{i},1\}}^{2}}{\sigma _{i}^{2}(\mathbf {x} )}}\right\}}$

Это вычислено $\tau$ затем используется на этапе 3 $\tau$ прыгающий алгоритм.