Гибридное стохастическое моделирование

Гибридное стохастическое моделирование — это подкласс стохастического моделирования . Эти модели объединяют существующие стохастические модели с другими стохастическими моделями или алгоритмами . Обычно они используются для физических и связанных с физикой исследований. Цель гибридного стохастического моделирования варьируется в зависимости от контекста, однако обычно оно направлено либо на повышение точности, либо на снижение сложности вычислений . Первое гибридное стохастическое моделирование было разработано в 1985 году.

История

Первое гибридное стохастическое моделирование было разработано Саймоном Дуэйном в Университете Иллинойса в Урбана-Шампейн в 1985 году. Оно объединило уравнение Ланжевена с микроканоническими ансамблями . Гибридное стохастическое моделирование Дуэйна было основано на идее, что два алгоритма дополняют друг друга. Уравнение Ланжевена превосходно моделировало долговременные свойства, но добавление шума в систему привело к неэффективному исследованию кратковременных свойств. Тем временем подход микроканонического ансамбля преуспел в изучении краткосрочных свойств, но стал менее надежным для долговременных свойств. Комбинируя два метода, слабость каждого можно смягчить силой другого. Первоначальные результаты Дуэйна с использованием этого гибридного стохастического моделирования были положительными, когда модель правильно поддержала идею резкого перехода при конечной температуре в квантовой хромодинамике , которая была спорным вопросом в то время.

С тех пор было разработано множество гибридных стохастических моделей, направленных на устранение недостатков стохастических моделей, на которых они были основаны.

Методы

Метод Добрамысла и Хольцмана.

Смешанная аналитико-стохастическая имитационная модель Добрамысла и Хольцмана была опубликована в 2018 году Ульрихом Добрамыслом и Дэвидом Хольцманом из Кембриджского и Оксфордского университетов соответственно. Он моделирует части броуновских траекторий, а не всю траекторию целиком. Этот подход особенно актуален, когда броуновская частица развивается в бесконечном пространстве . В этом случае траектории моделируются только вблизи небольших целей. В противном случае используются явные аналитические выражения для сопоставления начальной точки с распределением, расположенным на воображаемой поверхности вокруг целей. Этот метод имеет множество возможных применений, включая создание градиентных сигналов в открытом пространстве и моделирование диффузии молекул, которые должны связываться с клеточными рецепторами .

Принцип алгоритма

Алгоритм избегает явного моделирования длинных траекторий с большими отклонениями и, таким образом, устраняет необходимость в произвольном расстоянии отсечки для бесконечной области. Алгоритм состоит в сопоставлении положения источника с полусферой, содержащей поглощающие окна. Внутри сферы выполняется классическое броуновское моделирование до тех пор, пока частица не поглотится или не выйдет через поверхность сферы. Алгоритм состоит из следующих шагов:

1. Источник выпускает частицу в позиции $x(t=0)=x_{0}$.
2. Если $|x(t)|>R'$, сопоставьте положение частицы с поверхностью сферы S(R), используя распределение точки выхода $P_{map}$. В трех измерениях существует конечная вероятность того, что броуновская частица улетит на бесконечность, после чего ее траектория закончится.
3. На первом временном шаге $t=\Delta t,|x^{t}|>R',$ использовать отображение, $P_{map}$, чтобы отобразить положение частицы на сфере S(R). Это приводит к последовательности отображаемых позиций $x_{1},..x_{n}$ пока частица не поглотится. Обратите внимание, что для отображения снова существует конечная вероятность того, что частица ускользнет на бесконечность, и в этом случае траектория прерывается.
4. Схему Эйлера-Маруямы можно использовать для выполнения броуновского шага: $x(t)=x(t-\Delta t)+{\sqrt {2D\Delta t}}\mathbf {R} ,$ где $\mathbf {R}$ — вектор стандартных нормальных случайных величин .
5. Когда либо $x(t)\cdot \mathbf {e} _{z}\leq 0$ (в случае полупространства) или $|x(t)|\leq 1$ (в случае сферы) и $|x(t)-x_{i}|<\epsilon$ для любого значения i считается, что частица поглощается окном i и прекращает траекторию.
6. Если частица пересекает отражающую границу, вернитесь к шагу 3, чтобы создать новую позицию. В противном случае вернитесь к шагу 2.

Отображение источника мяча в 3D

Можно сопоставить источник мяча в 3D, чтобы получить вероятность первого прохождения мяча перед его уходом в бесконечность. Отображение выглядит следующим образом:

$P_{map}(x|y)={\frac {|y|}{R}}{\frac {1}{4\pi }}{\frac {\beta ^{2}-1}{(1+\beta ^{2}-2\beta \cos \gamma )^{3/2}}}$, с $\int _{\partial B(R)}P(x,y)dS_{x}=\beta ^{-1}={\frac {R}{|y|}},$ и $|x||y|\cos \gamma =x\cdot y.$

Распределение вероятностей попадания получается нормировкой интеграла потока.

Примечания

Выбор радиуса R произволен, пока сфера S(R) охватывает все окна с буфером не менее размера $\epsilon$. Радиус R' следует выбирать таким образом, чтобы избежать частых повторных пересечений, например $R'\leq R+10{\sqrt {2D\Delta t}}.$ Этот алгоритм можно использовать для моделирования траекторий броуновских частиц в установившемся состоянии вблизи интересующей области. Обратите внимание, что здесь нет никакого приближения.

Двухрежимный метод

Двухрежимный метод для моделирования реакции-диффузии был создан Марком Флеггом, Джонатаном Чепменом и Радеком Эрбаном в Оксфордском университете . Он сочетает в себе молекулярные алгоритмы с подходами на основе отсеков в идеальных точках во время вычислений, чтобы снизить вычислительные затраты. Алгоритмы на молекулярной основе отлично подходят для получения высокоточной информации о локализованных областях интереса. Модели на основе отсеков превосходно подходят для эффективного моделирования больших регионов. Основное применение этой модели — повысить скорость и точность моделирования реакции-диффузии, а также предоставить симулятору больший контроль над методами характеристики интересующих областей.

Принцип алгоритма

Метод двух режимов работает, имея два интересующих режима. Один регион основан на событиях и в основном использует подходы, основанные на сегментах, тогда как другой регион основан на времени и опирается на молекулярные режимы. Шаги алгоритма следующие:

1. Разделите вычислительную область $\Omega$ на две части. Детали не должны перекрываться.
2. Определите, какая часть домена лучше подходит для подхода, основанного на сегментах, и отметьте это $\Omega _{C}$. Другой домен будет $\Omega _{M}$. Убедитесь, что верно следующее: $\Omega =\Omega _{M}\cup \Omega _{C}$.
3. Обрабатывать молекулы в $\Omega _{M}$ как свободные молекулы в непрерывном пространстве. Эти молекулы будут диффундировать и реагировать посредством молекулярных подходов.

Молекулы прыгают между отсеками, находясь в регионе. $\Omega _{C}$ с возможностью прыгнуть в $\Omega _{M}$ где движение затем будет моделироваться с использованием броуновского движения . Существует множество возможностей для объединения этих областей, которые могут различаться в зависимости от цели моделирования.

Примечания

Этот алгоритм и построенные на нем алгоритмы используются для изучения конверсии видов. Их также можно объединить с уравнением Фоккера-Планка для моделирования популяции и отдельных траекторий с использованием броуновского моделирования.

Приложения

Гибридное стохастическое моделирование использовалось для:

• Прогнозируйте влияние профилактики ВИЧ на пациентов, помогая в разработке лекарств для профилактики заражения.
• Модельные механизмы подавления опухоли в исследованиях рака.
• Моделируйте траектории движения поездов, что помогает при разработке графиков движения поездов.