Ogawa integral

В стохастическом исчислении , интеграл Огавы также называемый непричинным стохастическим интегралом , является стохастическим интегралом для неадаптированных процессов в качестве подынтегральных выражений . Соответствующее исчисление называется непричинным исчислением , чтобы отличить его от опережающего исчисления интеграла Скорохода . Термин причинность относится к адаптации к естественной фильтрации интегратора.

Интеграл был введен японским математиком Сигэёси Огавой в 1979 году .

Ogawa integral

Позволять

• $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ быть вероятностным пространством ,
• $W=(W_{t})_{t\in [0,T]}$ быть одномерным стандартным винеровским процессом с $T\in \mathbb {R} _{+}$,
• ${\mathcal {F}}_{t}^{W}=\sigma (W_{s};0\leq s\leq t)\subset {\mathcal {F}}$ и $\mathbf {F} ^{W}=\{{\mathcal {F}}_{t}^{W},t\geq 0\}$ — естественная фильтрация винеровского процесса,
• ${\mathcal {B}}([0,T])$ борелевская σ-алгебра ,
• $\int f\;dW_{t}$ быть интегралом Винера,
• $dt$ быть мерой Лебега .

Дальше пусть $\mathbf {H}$ быть набором действительных процессов $X\colon [0,T]\times \Omega \to \mathbb {R}$ это ${\mathcal {B}}([0,T])\times {\mathcal {F}}$-измеримо и почти наверняка в $L^{2}([0,T],dt)$, то есть

$P\left(\int _{0}^{T}|X(t,\omega )|^{2}\,dt<\infty \right)=1.$

Ogawa integral

Позволять $\{\varphi _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ — полный ортонормированный базис гильбертова пространства $L^{2}([0,T],dt)$.

Процесс $X\in \mathbf {H}$ называется $\varphi$-интегрируемо, если случайный ряд

$\int _{0}^{T}X_{t}\,d_{\varphi }W_{t}:=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\int _{0}^{T}X_{t}\varphi _{n}(t)\,dt\right)\int _{0}^{T}\varphi _{n}(t)\,dW_{t}$

сходится по вероятности и соответствующая сумма называется интегралом Огавы по базису $\{\varphi _{n}\}$.

Если $X$ является $\varphi$-интегрируема для любого полного ортонормированного базиса $L^{2}([0,T],dt)$ и соответствующие интегралы имеют одно и то же значение, тогда $X$ называется универсальной интегрируемой по Огаве (или u-интегрируемой ).

В более общем смысле интеграл Огавы можно определить для любого $L^{2}(\Omega ,P)$-процесс $Z_{t}$ (например, дробное броуновское движение ) в качестве интеграторов

$\int _{0}^{T}X_{t}\,d_{\varphi }Z_{t}:=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\int _{0}^{T}X_{t}\varphi _{n}(t)\,dt\right)\int _{0}^{T}\varphi _{n}(t)\,dZ_{t}$

пока интегралы

$\int _{0}^{T}\varphi _{n}(t)\,dZ_{t}$

четко определены.

Примечания

• Сходимость ряда зависит не только от ортонормированного базиса, но и от его порядка.
• Существуют различные эквивалентные определения интеграла Огавы, которые можно найти в ( ). Один из способов использует теорему Ито-Нисио .

Регулярность ортонормированного базиса

Важным понятием интеграла Огавы является регулярность ортонормированного базиса. Ортонормированный базис $\{\varphi _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ называется регулярным , если

$\sup _{n}\int _{0}^{T}\left(\sum _{i=1}^{n}\varphi _{i}(t)\int _{0}^{t}\varphi _{i}(s)\,ds\right)^{2}\,dt<\infty$

держит.

Известны следующие результаты о регулярности:

• Каждый семимартингал (каузальный или нет) $\varphi$-интегрируемо тогда и только тогда, когда $\{\varphi _{n}\}$ является регулярным.
• Доказано, что существует нерегулярная основа для $L^{2}([0,1],dt)$.

Дальнейшие темы

• Существует некаузальная формула Ито : формула непричинного интегрирования по частям и непричинная теорема Гирсанова .

Связь с другими интегралами

• Интеграл Стратоновича : пусть $X$ быть непрерывным $\mathbf {F} ^{W}$-адаптированный семимартингал, универсальный по Огаве, интегрируемый относительно винеровского процесса, то интеграл Стратоновича существует и совпадает с интегралом Огавы.
• Интеграл Скорохода : связь между интегралом Огавы и интегралом Скорохода изучалась в ( ).

Литература

• Огава, Сигэёси (2017). Непричинное стохастическое исчисление . Токио: Спрингер. дои : 10.1007/978-4-431-56576-5 . ISBN  978-4-431-56574-1 .