Теорема Ито – Нисио

Теорема Ито-Нисио — это теорема теории вероятностей , характеризующая сходимость в банаховых пространствах . Теорема показывает эквивалентность различных типов сходимости сумм независимых и симметричных случайных величин в банаховых пространствах. Теорема Ито-Нисио приводит к обобщению конструкции Винера броуновского движения. ^{[ 1 ]} Симметрия распределения в теореме необходима в бесконечных пространствах.

Теорема была доказана японскими математиками Киёси Ито и Макико Нисио [ d ] в 1968 году. ^{[ 2 ]}

Заявление

Позволять $(E,\|\cdot \|)$ — вещественное сепарабельное банахово пространство с топологией, индуцированной нормой, мы используем борелевскую σ-алгебру и обозначаем двойственное пространство как $E^{*}$ . Позволять $\langle z,S\rangle :={}_{E^{*}}\langle z,S\rangle _{E}$ быть двойной парой и $i$ это мнимая единица . Позволять

$X_{1},\dots ,X_{n}$ быть независимым и симметричным $E$ -значные случайные величины, определенные в одном и том же вероятностном пространстве
$S_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{n}$
$\mu _{n}$ быть вероятностной мерой $S_{n}$
$S$ некоторый $E$ -значная случайная величина.

Следующее эквивалентно ^{[ 2 ]}^: 40

$S_{n}\to S$ почти наверняка сходится.
$S_{n}\to S$ сходится по вероятности.
$\mu _{n}$ сходится к $\mu$ в метрике Леви–Прохорова .
$\{\mu _{n}\}$ является равномерно плотным .
$\langle z,S_{n}\rangle \to \langle z,S\rangle$ по вероятности для каждого $z\in E^{*}$ .
Существует вероятностная мера $\mu$ на $E$ такой, что для каждого $z\in E^{*}$

\mathbb {E} [e^{i\langle z,S_{n}\rangle }]\to \int _{E}e^{i\langle z,x\rangle }\mu (\mathrm {d} x).

Примечания: С $E$ отделимая точка $3$ (т.е. сходимость в метрике Леви–Прохорова) аналогична сходимости по распределению $\mu _{n}\implies \mu$ . Если убрать условие симметричного распределения:

в конечномерной ситуации эквивалентность верна для всех, кроме точки $4$ (т.е. равномерная герметичность $\{\mu _{n}\}$ ), ^{[ 2 ]}
в бесконечномерной обстановке $1\iff 2\iff 3$ это правда, но $6\implies 3$ не всегда держится. ^{[ 2 ]}^: 37

Литература

Пап, Дьюла; Хейер, Герберт (2010). Структурные аспекты теории вероятностей . Сингапур: World Scientific. п. 79.

Ссылки

^ Икеда, Нобуюки; Танигучи, Сэцуо (2010). «Теорема Ито – Нисио, квадратичные функционалы Винера и 1-солитоны» . Случайные процессы и их приложения . 120 (5): 605–621. дои : 10.1016/j.spa.2010.01.009 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Ито, Киёси; Нисио, Макико (1968). «О сходимости сумм независимых значных случайных величин в банаховом пространстве» . Осакский математический журнал . 5 (1). Университет Осаки и Столичный университет Осаки, математические факультеты: 35–48.

[1] Икеда, Нобуюки; Танигучи, Сэцуо (2010). «Теорема Ито – Нисио, квадратичные функционалы Винера и 1-солитоны» . Случайные процессы и их приложения . 120 (5): 605–621. дои : 10.1016/j.spa.2010.01.009 .

[ItoNisio-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Ито, Киёси; Нисио, Макико (1968). «О сходимости сумм независимых значных случайных величин в банаховом пространстве» . Осакский математический журнал . 5 (1). Университет Осаки и Столичный университет Осаки, математические факультеты: 35–48.

[ 1 ]

[ 2 ]