Звезда Миттаг-Леффлера
В комплексном анализе , разделе математики , звезда Миттаг-Леффлера комплексно -аналитической функции представляет собой множество на комплексной плоскости, полученное в результате попытки расширить эту функцию вдоль лучей, исходящих из данной точки. Эта концепция названа в честь Гёста Миттаг-Леффлера .
Определение и элементарные свойства
[ редактировать ]Формально звезда Миттаг-Леффлера комплексно-аналитической функции ƒ, определенной на открытом диске U в комплексной плоскости с центром в точке a, представляет собой множество всех точек z в комплексной плоскости таких, что ƒ можно аналитически продолжить вдоль прямой отрезок, соединяющий a и z (см. аналитическое продолжение вдоль кривой ).
Из определения следует, что звезда Миттаг-Леффлера представляет собой открытое -выпуклое множество (относительно точки а ) и содержит диск U. звездно Более того, ƒ допускает однозначное аналитическое продолжение до звезды Миттаг-Леффлера.
Примеры
[ редактировать ]- Звезда Миттаг-Леффлера комплексной показательной функции, определенной в окрестности a = 0, представляет собой всю комплексную плоскость.
- Звезда Миттаг-Леффлера комплексного логарифма, определенная в окрестности точки a = 1, представляет собой всю комплексную плоскость без начала координат и отрицательной вещественной оси. В общем, учитывая комплексный логарифм, определенный в окрестности точки a ≠ 0 на комплексной плоскости, эту функцию можно расширить до бесконечности на любом луче, начинающемся с a , за исключением луча, который идет от a до начала координат. , нельзя продлить комплексный логарифм за пределы начала координат вдоль этого луча.
- Любое открытое звездно-выпуклое множество является звездой Миттаг-Леффлера некоторой комплексно-аналитической функции, поскольку любое открытое множество в комплексной плоскости является областью голоморфности .
Использование
[ редактировать ]
Любая комплексно-аналитическая функция ƒ, определенная вокруг точки a на комплексной плоскости, может быть разложена в ряд многочленов , сходящийся во всей звезде Миттаг-Леффлера ƒ в точке a . Каждый многочлен в этой серии представляет собой линейную комбинацию первых нескольких членов в ряд Тейлора разложения ƒ вокруг a .
Такое разложение в ряд ƒ , называемое разложением Миттаг-Леффлера , сходится в большем наборе, чем разложение в ряд Тейлора ƒ при a . Действительно, самое большое открытое множество, на котором сходится последний ряд, представляет собой диск с центром в точке a , содержащийся внутри звезды Миттаг-Леффлера ƒ в точке a.
Ссылки
[ редактировать ]- Шенитцер, Абэ; Стиллвелл, Джон, ред. (2002). Математическая эволюция . Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. п. 32. ISBN 0-88385-536-4 .
- Кореваар, Джейкоб (2004). Тауберова теория: столетие развития . Берлин; Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 3-540-21058-Х .
Внешние ссылки
[ редактировать ] | Эта статья включает список литературы , связанную литературу или внешние ссылки , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . ( сентябрь 2015 г. ) |
- Е.Д. Соломенцев (2001) [1994], "Звезда_функционального_элемента" , Энциклопедия Математики , EMS Press