Подведение итогов серии Гранди

Основная статья: сериал Гранди

Общие соображения

Стабильность и линейность

Формальные манипуляции, которые приводят к тому, что 1 − 1 + 1 − 1 + · · · присваивается значение ¹ ⁄ ₂ включают:

• Почленное сложение или вычитание двух серий,
• Умножая на скалярный член за членом,
• «Сдвиг» ряда без изменения суммы и
• Увеличение суммы путем добавления нового термина в начало ряда.

Все это допустимые манипуляции с суммами сходящихся рядов, но 1 − 1 + 1 − 1 + · · · не является сходящимся рядом.

Тем не менее, существует множество методов суммирования, которые учитывают эти манипуляции и присваивают «сумму» ряду Гранди. Два самых простых метода — это суммирование Чезаро и суммирование Абеля .

Сумма Чезаро

Первый строгий метод суммирования расходящихся рядов был опубликован Эрнесто Чезаро в 1890 году. Основная идея аналогична вероятностному подходу Лейбница: по сути, сумма Чезаро ряда представляет собой среднее всех его частичных сумм. вычисляется Формально для каждого n среднее σ _n первых n частичных сумм и берется предел этих средних значений Чезаро, когда n стремится к бесконечности.

Для ряда Гранди последовательность средних арифметических равна

1, ¹ ⁄ ₂ , ² ⁄ ₃ , ² ⁄ ₄ , ³ ⁄ ₅ , ³ ⁄ ₆ , ⁴ ⁄ ₇ , ⁴ ⁄ ₈ , …

или, что более показательно,

( ¹ ⁄ ₂ + ¹ ⁄ ₂ ), ¹ ⁄ ₂ , ( ¹ ⁄ ₂ + ¹ ⁄ ₆ ), ¹ ⁄ ₂ , ( ¹ ⁄ ₂ + ¹ ⁄ ₁₀ ), ¹ ⁄ ₂ , ( ¹ ⁄ ₂ + ¹ ⁄ ₁₄ ), ¹ ⁄ ₂ , …

где

$\sigma _{n}={\frac {1}{2}}$ даже для n и $\sigma _{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2n}}$ для нечетного n .

Эта последовательность средних арифметических сходится к ¹ ⁄ ₂ , поэтому сумма Чезаро Σ a _k равна ¹ ⁄ ₂ . Эквивалентно, говорят, что предел Чезаро последовательности 1, 0, 1, 0,... равен ¹ ⁄ ₂ .

Сумма Чезаро 1 + 0 - 1 + 1 + 0 - 1 + · · · равна ² ⁄ ₃ . Таким образом, сумму ряда Чезаро можно изменить, вставив бесконечное количество нулей, а также бесконечное количество скобок.

Ряд также можно суммировать более общими дробными (С, а) методами.

Сумма Абеля

Суммирование Абеля похоже на попытку Эйлера определить суммы расходящихся рядов, но позволяет избежать возражений Калле и Н. Бернулли за счет точного построения используемой функции. На самом деле Эйлер, вероятно, хотел ограничить свое определение степенным рядом . и на практике он использовал его почти исключительно в форме, ныне известной как метод Абеля.

Учитывая ряд a ₀ + a ₁ + a ₂ + · · ·, образуется новый ряд a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + · · ·. Если последний ряд сходится при 0 < x < 1 к функции с пределом, когда x стремится к 1, то этот предел называется суммой Абеля исходного ряда в честь теоремы Абеля , которая гарантирует, что процедура совместима с обычным суммированием. Для серии Гранди есть

$A\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}=\lim _{x\rightarrow 1}\sum _{n=0}^{\infty }(-x)^{n}=\lim _{x\rightarrow 1}{\frac {1}{1+x}}={\frac {1}{2}}.$

Похожие серии

Соответствующий расчет, согласно которому сумма Абеля 1 + 0 - 1 + 1 + 0 - 1 + · · · равна ² ⁄ ₃ включает в себя функцию (1 + x )/(1 + x + x ² ).

Всякий раз, когда ряд суммируется по Чезаро, он также суммируется по Абелю и имеет ту же сумму. С другой стороны, если взять произведение Коши ряда Гранди с самим собой, получится ряд, который суммируется по Абелю, но не суммируется по Чезаро:

1 − 2 + 3 − 4 + · · ·

имеет сумму Абеля ¹ ⁄ ₄ .

Разбавление

Переменный интервал

Что обычная сумма Абеля 1 + 0 - 1 + 1 + 0 - 1 + · · · равна ² ⁄ ₃ также можно сформулировать как сумму (A, λ) исходного ряда 1 - 1 + 1 - 1 + · · · где (λ _n ) = (0, 2, 3, 5, 6, …). Аналогично, сумма (A, λ) 1 − 1 + 1 − 1 + · · · где (λ _n ) = (0, 1, 3, 4, 6, …) равна ¹ ⁄ ₃ .

Экспоненциальный интервал

Суммируемость 1 - 1 + 1 - 1 + · · · можно нарушить, разделив его члены экспоненциально все более и более длинными группами нулей. Простейшим примером для описания является ряд, где (−1) ^н появляется на втором месте ^н :

0 + 1 − 1 + 0 + 1 + 0 + 0 + 0 − 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 0 + · · ·.

Этот ряд не суммируется по Чезаро. После каждого ненулевого члена частичные суммы задерживаются на уровне 0 или 1 достаточно долго, чтобы привести среднюю частичную сумму на полпути к этой точке от ее предыдущего значения. За интервал 2 ^{2 м −1} ≤ n ≤ 2 ^22м − 1 после (− 1) члена, n- е среднее арифметическое изменяется в диапазоне

${\frac {2}{3}}\left({\frac {2^{2m}-1}{2^{2m}+2}}\right)\;\mathrm {to} \;{\frac {1}{3}}(1-2^{-2m}),$

или о ² ⁄ ₃ до ¹ ⁄ ₃ .

Фактически, экспоненциально разнесенный ряд также не суммируется по Абелю. Его сумма Абеля является пределом x функции , приближающейся к 1.

F ( Икс ) знак равно 0 + Икс - Икс ² + 0 + х ⁴ + 0 + 0 + 0 − х ⁸ + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + х ¹⁶ + 0 + · · ·.

Эта функция удовлетворяет функциональному уравнению:

${\begin{array}{rcl}F(x)&=&\displaystyle x-x^{2}+x^{4}-x^{8}+\cdots \\[1em]&=&\displaystyle x-\left[(x^{2})-(x^{2})^{2}+(x^{2})^{4}-\cdots \right]\\[1em]&=&\displaystyle x-F(x^{2}).\end{array}}$

Это функциональное уравнение подразумевает, что F ( x ) примерно колеблется вокруг ¹ ⁄ ₂ , когда x приближается к 1. Чтобы доказать, что амплитуда колебаний отлична от нуля, нужно разделить F на точно периодическую и апериодическую часть:

$F(x)=\Psi (x)+\Phi (x)$

где

$\Phi (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!(1+2^{n})}}\left(\log {\frac {1}{x}}\right)^{n}$

удовлетворяет тому же функциональному уравнению, что и F . Теперь это означает, что Ψ( x ) = −Ψ( x ² ) = Ψ( x ⁴ ) , поэтому Ψ является периодической функцией loglog(1/ x ). Поскольку dy (стр.77) говорит о «другом решении» и «явно не постоянном», хотя технически он не доказывает, что F и Φ различны.</ref> Поскольку часть Φ имеет предел ¹ ⁄ ₂ , F также колеблется.

Разделение весов

Для любой функции φ(x) такой, что φ(0) = 1 и производная φ интегрируема по (0, +∞), то обобщенная φ-сумма ряда Гранди существует и равна ¹ ⁄ ₂ :

$S_{\varphi }=\lim _{\delta \downarrow 0}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\varphi (\delta k)={\frac {1}{2}}.$

Сумма Чезаро или Абеля восстанавливается, если φ быть треугольной или экспоненциальной функцией соответственно. Если дополнительно предполагается, что φ непрерывно дифференцируема, то утверждение можно доказать, применив теорему о среднем значении и преобразуя сумму в интеграл. Кратко:

${\begin{array}{rcl}S_{\varphi }&=&\displaystyle \lim _{\delta \downarrow 0}\sum _{k=0}^{\infty }\left[\varphi (2k\delta )-\varphi (2k\delta +\delta )\right]\\[1em]&=&\displaystyle \lim _{\delta \downarrow 0}\sum _{k=0}^{\infty }\varphi '(2k\delta +c_{k})(-\delta )\\[1em]&=&\displaystyle -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\varphi '(x)\,dx=-{\frac {1}{2}}\varphi (x)|_{0}^{\infty }={\frac {1}{2}}.\end{array}}$

Борелевская сумма

Борелевская сумма ряда Гранди снова равна ¹ ⁄ ₂ , поскольку

$1-x+{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots =e^{-x}$

и

$\int _{0}^{\infty }e^{-x}e^{-x}\,dx=\int _{0}^{\infty }e^{-2x}\,dx={\frac {1}{2}}.$

Ряд также можно суммировать обобщенными (B, r) методами.

Спектральная асимметрия

Элементы ряда Гранди можно сопоставить с собственными значениями бесконечномерного оператора в гильбертовом пространстве . Такая интерпретация ряда порождает идею спектральной асимметрии , которая широко встречается в физике. Значение, к которому суммируется ряд, зависит от асимптотического поведения собственных значений оператора. Так, например, пусть $\{\omega _{n}\}$ быть последовательностью как положительных, так и отрицательных собственных значений. Ряд Гранди соответствует формальной сумме

$\sum _{n}\operatorname {sgn}(\omega _{n})\;$

где $\operatorname {sgn}(\omega _{n})=\pm 1$ является знаком собственного значения. Ряду можно присвоить конкретные значения, учитывая различные пределы. Например, регулятор теплового ядра приводит к сумме

$\lim _{t\to 0}\sum _{n}\operatorname {sgn}(\omega _{n})e^{-t|\omega _{n}|}$

который во многих интересных случаях конечен при ненулевом t и в пределе сходится к конечному значению.

Методы, которые терпят неудачу

Метод интегральной функции с p _n = exp (− cn ² ) и с > 0.

момента Метод постоянной с

$d\chi =e^{-k(\log x)^{2}}x^{-1}dx$

и к > 0.

Геометрическая серия

Геометрический ряд в $(x-1)$,

${\frac {1}{x}}=1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+(x-1)^{4}-...$

сходится для $|x-1|<1$. Формально заменяя $x=2$ дал бы

${\frac {1}{2}}=1-1+1-1+1-...$

Однако, $x=2$ находится вне радиуса схождения , $|x-1|<1$, поэтому такой вывод сделать нельзя.

Ссылки

• Бромвич, Т.Дж. (1926) [1908]. Введение в теорию бесконечных рядов (2-е изд.).
• Дэвис, Гарри Ф. (май 1989 г.). Ряды Фурье и ортогональные функции . Дувр. ISBN  978-0-486-65973-2 .
• Харди, GH (1949). Дивергентный сериал . Кларендон Пресс. LCC   QA295 .H29 1967 .
• Клайн, Моррис (ноябрь 1983 г.). «Эйлер и бесконечный ряд». Журнал «Математика» . 56 (5): 307–314. CiteSeerX   10.1.1.639.6923 . дои : 10.2307/2690371 . JSTOR   2690371 .
• Саичев, А.И. и В.А. Войчинский (1996). Распределения по физико-техническим наукам, Vol . Биркхаузер. ISBN  978-0-8176-3924-2 . ЖКЦ   QA324.W69 1996 г. .
• Смаил, Ллойд (1925). История и краткий обзор теории суммируемых бесконечных процессов . Издательство Университета Орегона. ЖКК   QA295 .S64 .
• Вайдлих, Джон Э. (июнь 1950 г.). Методы суммирования расходящихся рядов . Стэнфордские магистерские диссертации.