Число Кармайкла

В теории чисел является число Кармайкла составным числом . $n$ ‍ что which in в модульной арифметике удовлетворяет соотношению конгруэнтности :

b^{n}\equiv b{\pmod {n}}

for all integers для всех целых чисел $b$ ‍ . ^[1] Отношение может быть также выражено ^[2] в виде:

b^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}}

для всех целых чисел $b$ которые относительно просты для $n$ ‍‍ . Их бесконечно . число ^[3]

Они представляют собой сравнительно редкие случаи, когда строгое обращение Малой теоремы Ферма не выполняется. Этот факт исключает использование этой теоремы в качестве абсолютного критерия простоты . ^[4]

Числа Кармайкла образуют подмножество K ₁ чисел Кнеделя .

Числа Кармайкла были названы в честь американского математика Роберта Кармайкла Николаасом Бигером в 1950 году. Эйстейн Оре называл их в 1948 году числами со «свойством Ферма» или F ». для краткости «числами ^[5]

Обзор [ править ]

Маленькая теорема Ферма утверждает, что если $p$ — простое число , то для любого целого числа $b$ ‍номер $b^{p}-b$ is an integer multiple of является целым числом , кратным $p$ ‍‍ . Числа Кармайкла — это составные числа, обладающие одним и тем же свойством. Числа Кармайкла также называют псевдопростыми числами Ферма или абсолютными псевдопростыми числами Ферма . Число Кармайкла пройдет тест на простоту Ферма по каждому основанию. $b$ относительно простое по отношению к числу, хотя на самом деле оно не является простым. Это делает тесты, основанные на Малой теореме Ферма, менее эффективными, чем сильные тесты на вероятность простых чисел, такие как тест простоты Бэйли-ПСВ и тест простоты Миллера-Рабина .

Однако ни одно число Кармайкла не является ни псевдопростым числом Эйлера – Якоби , ни сильным псевдопростым числом по отношению к каждому основанию, относительно простому ему. ^[6] Итак, теоретически либо критерий Эйлера, либо сильный вероятностный простой критерий могут доказать, что число Кармайкла на самом деле является составным.

Арно ^[7] дает 397-значное число Кармайкла $N$ это сильное псевдопростое число для всех простых оснований меньше 307:

N=p\cdot (313(p-1)+1)\cdot (353(p-1)+1)

где

p=

2 9674495668 6855105501 5417464290 5332730771 9917998530 4335099507 5531276838 7531717701 9959423859 6428121188 0336647542 1834556249 3168782883

представляет собой простое число из 131 цифры. $p$ is the smallest prime factor of это наименьший простой делитель $N$ ‍ , , so this Carmichael number is also a (not necessarily strong) pseudoprime to all bases less than поэтому это число Кармайкла также является (не обязательно сильным) псевдопростым числом по всем основаниям меньше $p$ ‍ .

По мере того, как числа становятся больше, числа Кармайкла становятся все более редкими. Например, существует 20 138 200 чисел Кармайкла от 1 до 10. ²¹ (примерно один из 50 триллионов (5·10 ¹³) числа). ^[8]

Критерий Корсельта [ править ]

Альтернативное и эквивалентное определение чисел Кармайкла даёт критерий Корсельта .

Теорема ( А. Корсельт, 1899 г.): Положительное составное целое число.

n

является числом Кармайкла тогда и только тогда, когда

n

является свободным от квадратов и для всех простых делителей

p

of из

n

правда , , it is true that что

p-1\mid n-1

‍ .

Из этой теоремы следует, что все числа Кармайкла нечетны , поскольку любое четное составное число, не имеющее квадратов (и, следовательно, имеющее только один простой делитель из двух), будет иметь хотя бы один нечетный простой делитель, и, таким образом, $p-1\mid n-1$ приводит к четному делению нечетного, противоречию. (Нечетность чисел Кармайкла следует еще и из того, что $-1$ является свидетелем Ферма для любого четного составного числа.) Из критерия также следует, что числа Кармайкла цикличны . ^[9]^[10] Кроме того, отсюда следует, что не существует чисел Кармайкла, имеющих ровно два простых делителя.

Открытие [ править ]

Первые семь чисел Кармайкла, от 561 до 8911, были найдены чешским математиком Вацлавом Шимеркой в 1885 году. ^[11] (таким образом, предшествуя не только Кармайклу, но и Корсельту, хотя Шимерка не нашел ничего похожего на критерий Корсельта). ^[12] Однако его работа, опубликованная в чешском научном журнале Časopís pro přestování matematyky a fysyky , осталась незамеченной.

Корсельт был первым, кто наблюдал основные свойства чисел Кармайкла, но не привел никаких примеров.

То, что 561 является числом Кармайкла, можно увидеть с помощью критерия Корсельта. Действительно, $561=3\cdot 11\cdot 17$ is square-free and бесквадратен и $2\mid 560$ ‍ , $10\mid 560$ and и $16\mid 560$ ‍‍ . Следующие шесть чисел Кармайкла (последовательность A002997 в OEIS ):

1105=5\cdot 13\cdot 17\qquad (4\mid 1104;\quad 12\mid 1104;\quad 16\mid 1104)

1729=7\cdot 13\cdot 19\qquad (6\mid 1728;\quad 12\mid 1728;\quad 18\mid 1728)

2465=5\cdot 17\cdot 29\qquad (4\mid 2464;\quad 16\mid 2464;\quad 28\mid 2464)

2821=7\cdot 13\cdot 31\qquad (6\mid 2820;\quad 12\mid 2820;\quad 30\mid 2820)

6601=7\cdot 23\cdot 41\qquad (6\mid 6600;\quad 22\mid 6600;\quad 40\mid 6600)

8911=7\cdot 19\cdot 67\qquad (6\mid 8910;\quad 18\mid 8910;\quad 66\mid 8910).

В 1910 году сам Кармайкл ^[13] также опубликовал наименьшее такое число - 561, и позже эти числа были названы в его честь.

Джек Черник ^[14]в 1939 году доказал теорему, которую можно использовать для построения подмножества чисел Кармайкла. Номер $(6k+1)(12k+1)(18k+1)$ является числом Кармайкла, если все его три фактора простые. Вопрос о том, дает ли эта формула бесконечное количество чисел Кармайкла, остается открытым (хотя это подразумевается гипотезой Диксона ).

Пол Эрдеш эвристически утверждал, что чисел Кармайкла должно быть бесконечно много. В 1994 году У.Р. (Ред) Алфорд , Эндрю Грэнвилл и Карл Померанс использовали оценку константы Олсона, чтобы показать, что действительно существует бесконечно много чисел Кармайкла. В частности, они показали, что для достаточно больших $n$ , есть по крайней мере $n^{2/7}$ Carmichael numbers between 1 and Числа Кармайкла от 1 до $n$ ‍ . ^[3]

Томас Райт доказал, что если $a$ и $m$ являются относительно простыми, бесконечно много чисел Кармайкла тогда в арифметической прогрессии $a+k\cdot m$ ‍‍ , где $k=1,2,\ldots$ ‍ . ^[15]

Лё и Нибур в 1992 году нашли несколько очень больших чисел Кармайкла, в том числе число с 1 101 518 множителями и более 16 миллионов цифр. Это число было улучшено до 10 333 229 505 простых множителей и 295 486 761 787 цифр. ^[16] поэтому самое большое известное число Кармайкла намного больше самого большого известного простого числа .

Свойства [ править ]

Факторизации [ править ]

Числа Кармайкла имеют как минимум три положительных простых делителя. Первые числа Кармайкла с $k=3,4,5,\ldots$ Основными факторами являются (последовательность A006931 в OEIS ):

к
3	$561=3\cdot 11\cdot 17\,$
4	$41041=7\cdot 11\cdot 13\cdot 41\,$
5	$825265=5\cdot 7\cdot 17\cdot 19\cdot 73\,$
6	$321197185=5\cdot 19\cdot 23\cdot 29\cdot 37\cdot 137\,$
7	$5394826801=7\cdot 13\cdot 17\cdot 23\cdot 31\cdot 67\cdot 73\,$
8	$232250619601=7\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 31\cdot 37\cdot 73\cdot 163\,$
9	$9746347772161=7\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19\cdot 31\cdot 37\cdot 41\cdot 641\,$

Первые числа Кармайкла с 4 простыми делителями: (последовательность A074379 в OEIS ):

я
1	$41041=7\cdot 11\cdot 13\cdot 41\,$
2	$62745=3\cdot 5\cdot 47\cdot 89\,$
3	$63973=7\cdot 13\cdot 19\cdot 37\,$
4	$75361=11\cdot 13\cdot 17\cdot 31\,$
5	$101101=7\cdot 11\cdot 13\cdot 101\,$
6	$126217=7\cdot 13\cdot 19\cdot 73\,$
7	$172081=7\cdot 13\cdot 31\cdot 61\,$
8	$188461=7\cdot 13\cdot 19\cdot 109\,$
9	$278545=5\cdot 17\cdot 29\cdot 113\,$
10	$340561=13\cdot 17\cdot 23\cdot 67\,$

Второе число Кармайкла (1105) можно выразить как сумму двух квадратов большим количеством способов, чем любое меньшее число. Третье число Кармайкла (1729 г.) — это число Харди-Рамануджана : наименьшее число, которое можно выразить как сумму двух кубов (положительных чисел) двумя разными способами.

Распространение [ править ]

Позволять $C(X)$ denote the number of Carmichael numbers less than or equal to обозначают количество чисел Кармайкла, меньших или равных $X$ ‍‍ . Распределение чисел Кармайкла по степеням 10 (последовательность A055553 в OEIS ): ^[8]

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
$C(10^{n})$	0	0	1	7	16	43	105	255	646	1547	3605	8241	19279	44706	105212	246683	585355	1401644	3381806	8220777	20138200

В 1953 году Кнедель доказал верхнюю оценку :

C(X)<X\exp \left({-k_{1}\left(\log X\log \log X\right)^{\frac {1}{2}}}\right)

for some constant для некоторой константы $k_{1}$ ‍ .

В 1956 году Эрдеш улучшил границу до

C(X)<X\exp \left({\frac {-k_{2}\log X\log \log \log X}{\log \log X}}\right)

for some constant для некоторой константы $k_{2}$ ‍ . ^[17] Далее он привел эвристический аргумент , предполагающий, что эта верхняя граница должна быть близка к истинному темпу роста $C(X)$ ‍ .

В другом направлении Алфорд , Гранвиль и Померанс оказались в 1994 году. ^[3] что для достаточно большого X ,

C(X)>X^{\frac {2}{7}}.

В 2005 году эта граница была улучшена Харманом . ^[18] к

C(X)>X^{0.332}

who subsequently improved the exponent to который впоследствии улучшил показатель степени до $0.7039\cdot 0.4736=0.33336704>1/3$ ‍ . ^[19]

Что касается асимптотического распределения чисел Кармайкла, было несколько гипотез. В 1956 году Эрдеш ^[17] предположил, что существуют $X^{1-o(1)}$ Числа Кармайкла для X достаточно велики. В 1981 году Померанс ^[20] обострил эвристические аргументы Эрдёша, чтобы предположить, что существуют, по крайней мере,

X\cdot L(X)^{-1+o(1)}

Carmichael numbers up to Кармайкл насчитывает до $X$ где , where $L(x)=\exp {\left({\frac {\log x\log \log \log x}{\log \log x}}\right)}$ ‍ .

Однако в текущих вычислительных диапазонах (таких как подсчет чисел Кармайкла, выполненный Пинч ^[8] до 10 ²¹), эти предположения пока не подтверждаются данными.

В 2021 году Дэниел Ларсен доказал аналог постулата Бертрана для чисел Кармайкла, впервые выдвинутый Алфордом, Грэнвиллем и Померансом в 1994 году. ^[4]^[21] Используя методы, разработанные Итаном Чжаном и Джеймсом Мейнардом для получения результатов, касающихся малых промежутков между простыми числами , его работа привела к гораздо более сильному утверждению, что для любого $\delta >0$ и достаточно большой $x$ с точки зрения $\delta$ , всегда будет как минимум

\exp {\left({\frac {\log {x}}{(\log \log {x})^{2+\delta }}}\right)}

Числа Кармайкла между $x$ и

x+{\frac {x}{(\log {x})^{\frac {1}{2+\delta }}}}.

Обобщения [ править ]

Понятие числа Кармайкла обобщается до идеала Кармайкла в любом числовом поле $K$ ‍‍ . Для любого ненулевого простого идеала ${\mathfrak {p}}$ in в ${\mathcal {O}}_{K}$ у нас есть , we have $\alpha ^{{\rm {N}}({\mathfrak {p}})}\equiv \alpha {\bmod {\mathfrak {p}}}$ для всех $\alpha$ in в ${\mathcal {O}}_{K}$ ‍где ${\rm {N}}({\mathfrak {p}})$ это норма идеала ${\mathfrak {p}}$ ‍‍ . (Это обобщает маленькую теорему Ферма о том, что $m^{p}\equiv m{\bmod {p}}$ for all integers для всех целых чисел $m$ ‍ when когда $p$ ‍ — простое число.) Назовем ненулевой идеал is prime.) Call a nonzero ideal ${\mathfrak {a}}$ в ${\mathcal {O}}_{K}$ Кармайкла, если это не простой идеал и $\alpha ^{{\rm {N}}({\mathfrak {a}})}\equiv \alpha {\bmod {\mathfrak {a}}}$ for all для всех $\alpha \in {\mathcal {O}}_{K}$ ‍где ${\rm {N}}({\mathfrak {a}})$ is the norm of the ideal это норма идеала ${\mathfrak {a}}$ ‍‍ . Когда $K$ ‍ is является $\mathbf {Q}$ ‍идеал ${\mathfrak {a}}$ является главным , и если мы позволим $a$ ‍ быть его положительным генератором, тогда идеал be its positive generator then the ideal ${\mathfrak {a}}=(a)$ is Carmichael exactly when Кармайкл, когда именно $a$ ‍ — число Кармайкла в обычном понимании. is a Carmichael number in the usual sense.

When Когда $K$ ‍ больше is larger than the рациональных чисел, в которых легко записать идеалы Кармайкла ${\mathcal {O}}_{K}$ ‍: : for any prime number для любого простого числа $p$ ‍ который that splits completely in полностью распадается на $K$ ‍, главный идеал , the principal ideal $p{\mathcal {O}}_{K}$ является идеалом Кармайкла. Поскольку бесконечное число простых чисел полностью расщепляется в любом числовом поле, существует бесконечно много идеалов Кармайкла в ${\mathcal {O}}_{K}$ ‍‍ . Например, если $p$ ‍ — is any prime number that is 1 mod 4, the ideal любое простое число, равное 1 по модулю 4, идеальное $(p)$ ‍‍ в целых числах Гаусса $\mathbb {Z} [i]$ является идеалом Кармайкла.

И простые числа, и числа Кармайкла удовлетворяют следующему равенству:

\gcd \left(\sum _{x=1}^{n-1}x^{n-1},n\right)=1.

Число Лукаса–Кармайкла [ править ]

Положительное составное целое число $n$ является числом Лукаса–Кармайкла тогда и только тогда, когда $n$ является свободным от квадратов и для всех простых делителей $p$ of из $n$ правда , , it is true that что $p+1\mid n+1$ ‍‍ . Первые числа Лукаса-Кармайкла:

399, 935, 2015, 2915, 4991, 5719, 7055, 8855, 12719, 18095, 20705, 20999, 22847, 29315, 31535, 46079, 51359, 60059, 63503, 67199, 73535, 76751, 80189, 81719, 88559, 90287, ... (последовательность A006972 в OEIS )

Число Квази-Кармайкла [ править ]

Quasi–Carmichael numbers are squarefree composite numbers Числа Квази-Кармайкла - это составные числа без квадратов. $n$ ‍ со with the property that for every prime factor свойством, что для каждого простого множителя $p$ ‍ of из $n$ ‍ , ‍ $p+b$ ‍ divides ‍ делит $n+b$ ‍ положительно positively with с $b$ ‍ — being any integer besides 0. If любое целое число, кроме 0. Если $b=-1$ ‍ , , these are Carmichael numbers, and if это числа Кармайкла, и если $b=1$ ‍ , это числа Лукаса–Кармайкла. Первые числа Квази-Кармайкла:

35, 77, 143, 165, 187, 209, 221, 231, 247, 273, 299, 323, 357, 391, 399, 437, 493, 527, 561, 589, 598, 713, 715, 899, 935, 943, 989, 1015, 1073, 1105, 1147, 1189, 1247, 1271, 1295, 1333, 1517, 1537, 1547, 1591, 1595, 1705, 1729, ... (последовательность A257750 в OEIS )

Число пельменей [ править ]

Число n Кнеделя обладающее для данного положительного целого числа n — это составное число m, свойством, что каждое $i<m$ ‍ ‍ взаимно простое к m удовлетворяет $i^{m-n}\equiv 1{\pmod {m}}$ ‍‍ . ‍ ‍ $n=1$ ‍ случай — числа Кармайкла. case are Carmichael numbers.

высшего порядка Числа Кармайкла

Числа Кармайкла можно обобщить, используя понятия абстрактной алгебры .

В приведенном выше определении говорится, что составное целое число n — это Кармайкл. именно тогда, когда n возводящая в степень функция p _n из кольца Z _n целых чисел по модулю n до себя является тождественной функцией. Тождество является единственным Zn _{алгебры} - , эндоморфизмом на Zn _чтобы поэтому мы можем переформулировать определение, требуя, был _pn эндоморфизмом Zn _{алгебры} . Как и выше, pn _n обладает тем же свойством, если простое .

Функция n возведения -й степени p _n также определена на любой Z _n -алгебре A . Теорема утверждает, что n является простым тогда и только тогда, когда все такие функции являются _pn эндоморфизмами алгебры.

Между этими двумя условиями лежит определение числа Кармайкла порядка m для любого натурального числа m как любого составного числа n, такого, что p _n является эндоморфизмом на каждой Z _n -алгебре, которая может быть порождена как Z _n - модуль из m элементов. . Числа Кармайкла первого порядка — это обычные числа Кармайкла.

2 порядка Число Кармайкла

По мнению Хоу, 17 · 31 · 41 · 43 · 89 · 97 · 167 · 331 — это число Кармайкла второго порядка. Это произведение равно 443 372 888 629 441. ^[22]

Свойства [ править ]

Критерий Корсельта можно обобщить на числа Кармайкла более высокого порядка, как показал Хоу.

Эвристический аргумент, приведенный в той же статье, по-видимому, предполагает, что существует бесконечно много чисел Кармайкла порядка m для любого m . Однако неизвестно ни одно число Кармайкла порядка 3 или выше.

Примечания [ править ]

^ Ризель, Ганс (1994). Простые числа и компьютерные методы факторизации . Прогресс в математике. Том. 126 (второе изд.). Бостон, Массачусетс: Биркхойзер. ISBN 978-0-8176-3743-9 . Збл 0821.11001 .
^ Крэндалл, Ричард ; Померанс, Карл (2005). Простые числа: вычислительная перспектива (второе изд.). Нью-Йорк: Спрингер. стр. 133–134. ISBN 978-0387-25282-7 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с В.Р. Алфорд ; Эндрю Гранвилл ; Карл Померанс (1994). «Существует бесконечно много чисел Кармайкла» (PDF) . Анналы математики . 140 (3): 703–722. дои : 10.2307/2118576 . JSTOR 2118576 . Архивировано (PDF) из оригинала 4 марта 2005 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Цепелевич, Джордана (13 октября 2022 г.). «Подросток решает упорную загадку о двойниках простых чисел» . Журнал Кванта . Проверено 13 октября 2022 г.
^ Оре, Эйстейн (1948). Теория чисел и ее история . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 331–332 - через Интернет-архив .
^ Д. Х. Лемер (1976). «Сильные числа Кармайкла» . Дж. Аустрал. Математика. Соц . 21 (4): 508–510. дои : 10.1017/s1446788700019364 . Лемер доказал, что ни одно число Кармайкла не является псевдопростым по отношению к каждому основанию, относительно простому ему. Он использовал термин сильное псевдопростое число , но с тех пор терминология изменилась. Сильные псевдопростые числа представляют собой подмножество псевдопростых чисел Эйлера-Якоби. Следовательно, ни одно число Кармайкла не является сильным псевдопростым по отношению к каждому основанию, относительно простому ему.
^ Ф. Арно (август 1995 г.). «Построение чисел Кармайкла, которые являются сильными псевдопростыми числами по нескольким основаниям» . Журнал символических вычислений . 20 (2): 151–161. дои : 10.1006/jsco.1995.1042 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Пинч, Ричард (декабрь 2007 г.). Анне-Мария Эрнвалль-Хитонен (ред.). Числа Кармайкла до 10 ²¹ (PDF) . Материалы конференции по алгоритмической теории чисел. Том. 46. Турку, Финляндия: Центр компьютерных наук Турку. стр. 129–131 . Проверено 26 июня 2017 г.
^ Кармайкл, кратный нечетным циклическим числам «Любой делитель числа Кармайкла должен быть нечетным циклическим числом»
^ Эскиз доказательства: Если $n$ является свободным от квадратов, но не циклическим, $p_{i}\mid p_{j}-1$ для двух простых факторов $p_{i}$ и $p_{j}$ из $n$ . Но если $n$ satisfies Korselt then тогда удовлетворяет Корсельта $p_{j}-1\mid n-1$ ‍ , , so by transitivity of the "divides" relation поэтому в силу транзитивности отношения «делит» $p_{i}\mid n-1$ ‍‍ . Но $p_{i}$ is also a factor of также является фактором $n$ ‍ , противоречие. , a contradiction.
^ Шимерка, Вацлав (1885). «Об остатках арифметической прогрессии» . Журнал для развития математики и физики . 14 (5): 221–225. дои : 10.21136/CPMF.1885.122245 .
^ Леммермейер, Ф. (2013). «Вацлав Шимерка: квадратичные формы и факторизация» . LMS Журнал вычислений и математики . 16 : 118–129. дои : 10.1112/S1461157013000065 .
^ Р. Д. Кармайкл (1910). «Заметка о новой функции теории чисел» . Бюллетень Американского математического общества . 16 (5): 232–238. дои : 10.1090/s0002-9904-1910-01892-9 .
^ Черник, Дж. (1939). «О простой теореме Ферма» (PDF) . Бык. амер. Математика. Соц . 45 (4): 269–274. дои : 10.1090/S0002-9904-1939-06953-X .
^ Томас Райт (2013). «Бесконечно много чисел Кармайкла в арифметических прогрессиях». Бык. Лондонская математика. Соц. 45 (5): 943–952. arXiv : 1212.5850 . дои : 10.1112/blms/bdt013 . S2CID 119126065 .
^ В.Р. Алфорд ; и другие. (2014). «Построение чисел Кармайкла с помощью улучшенных алгоритмов подмножества произведений». Математика. Комп . 83 (286): 899–915. arXiv : 1203.6664 . дои : 10.1090/S0025-5718-2013-02737-8 . S2CID 35535110 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Эрдеш, П. (2022). «О псевдопростых числах и числах Кармайкла» (PDF) . Опубл. Математика. Дебрецен . 4 (3–4): 201–206. дои : 10.5486/PMD.1956.4.3-4.16 . МР 0079031 . S2CID 253789521 . Архивировано (PDF) из оригинала 11 июня 2011 г.
^ Глин Харман (2005). «О числе чисел Кармайкла до х ». Бюллетень Лондонского математического общества . 37 (5): 641–650. дои : 10.1112/S0024609305004686 . S2CID 124405969 .
^ Харман, Глин (2008). «Теорема Ватта о среднем значении и числа Кармайкла». Международный журнал теории чисел . 4 (2): 241–248. дои : 10.1142/S1793042108001316 . МР 2404800 .
^ Померанс, К. (1981). «О распределении псевдопростых чисел» . Математика. Комп . 37 (156): 587–593. дои : 10.1090/s0025-5718-1981-0628717-0 . JSTOR 2007448 .
^ Ларсен, Дэниел (20 июля 2022 г.). «Постулат Бертрана для чисел Кармайкла» . Уведомления о международных математических исследованиях . 2023 (15): 13072–13098. arXiv : 2111.06963 . дои : 10.1093/imrn/rnac203 .
^ Эверетт В. Хоу (октябрь 2000 г.). «Числа Кармайкла высшего порядка». Математика вычислений . 69 (232): 1711–1719. arXiv : math.NT/9812089 . Бибкод : 2000MaCom..69.1711H . дои : 10.1090/s0025-5718-00-01225-4 . JSTOR 2585091 . S2CID 6102830 .

Ссылки [ править ]

Кармайкл, Р.Д. (1910). «Заметка о новой функции теории чисел» . Бюллетень Американского математического общества . 16 (5): 232–238. дои : 10.1090/s0002-9904-1910-01892-9 .
Кармайкл, РД (1912). «О составных числах P , удовлетворяющих сравнению Ферма $a^{P-1}\equiv 1{\bmod {P}}$ ". American Mathematical Monthly . 19 (2): 22–27. doi : 10.2307/2972687 . JSTOR 2972687 .
Черник, Дж. (1939). «О простой теореме Ферма» (PDF) . Бык. амер. Математика. Соц . 45 (4): 269–274. дои : 10.1090/S0002-9904-1939-06953-X .
Корсельт, А.Р. (1899). «Китайская проблема». Посредник математиков . 6 :142–143.
Лё, Г.; Нибур, В. (1996). «Новый алгоритм построения больших чисел Кармайкла» (PDF) . Математика. Комп . 65 (214): 823–836. Бибкод : 1996MaCom..65..823L . дои : 10.1090/S0025-5718-96-00692-8 . Архивировано (PDF) из оригинала 25 апреля 2003 г.
Рибенбойм, П. (1989). Книга рекордов простых чисел . Спрингер. ISBN 978-0-387-97042-4 .
Шимерка, В. (1885). «Об остатках арифметической прогрессии» . Журнал по развитию математики и физики . 14 (5): 221–225. дои : 10.21136/CPMF.1885.122245 .

Внешние ссылки [ править ]

[1] Ризель, Ганс (1994). Простые числа и компьютерные методы факторизации . Прогресс в математике. Том. 126 (второе изд.). Бостон, Массачусетс: Биркхойзер. ISBN 978-0-8176-3743-9 . Збл 0821.11001 .

[2] Крэндалл, Ричард ; Померанс, Карл (2005). Простые числа: вычислительная перспектива (второе изд.). Нью-Йорк: Спрингер. стр. 133–134. ISBN 978-0387-25282-7 .

[Alford-1994-3] Перейти обратно: ^а ^б ^с В.Р. Алфорд ; Эндрю Гранвилл ; Карл Померанс (1994). «Существует бесконечно много чисел Кармайкла» (PDF) . Анналы математики . 140 (3): 703–722. дои : 10.2307/2118576 . JSTOR 2118576 . Архивировано (PDF) из оригинала 4 марта 2005 г.

[Cepelewicz-2022-4] Перейти обратно: ^а ^б Цепелевич, Джордана (13 октября 2022 г.). «Подросток решает упорную загадку о двойниках простых чисел» . Журнал Кванта . Проверено 13 октября 2022 г.

[5] Оре, Эйстейн (1948). Теория чисел и ее история . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 331–332 - через Интернет-архив .

[6] Д. Х. Лемер (1976). «Сильные числа Кармайкла» . Дж. Аустрал. Математика. Соц . 21 (4): 508–510. дои : 10.1017/s1446788700019364 . Лемер доказал, что ни одно число Кармайкла не является псевдопростым по отношению к каждому основанию, относительно простому ему. Он использовал термин сильное псевдопростое число , но с тех пор терминология изменилась. Сильные псевдопростые числа представляют собой подмножество псевдопростых чисел Эйлера-Якоби. Следовательно, ни одно число Кармайкла не является сильным псевдопростым по отношению к каждому основанию, относительно простому ему.

[Arnault397Digit-7] Ф. Арно (август 1995 г.). «Построение чисел Кармайкла, которые являются сильными псевдопростыми числами по нескольким основаниям» . Журнал символических вычислений . 20 (2): 151–161. дои : 10.1006/jsco.1995.1042 .

[Pinch2007-8] Перейти обратно: ^а ^б ^с Пинч, Ричард (декабрь 2007 г.). Анне-Мария Эрнвалль-Хитонен (ред.). Числа Кармайкла до 10 ²¹ (PDF) . Материалы конференции по алгоритмической теории чисел. Том. 46. Турку, Финляндия: Центр компьютерных наук Турку. стр. 129–131 . Проверено 26 июня 2017 г.

[9] Кармайкл, кратный нечетным циклическим числам «Любой делитель числа Кармайкла должен быть нечетным циклическим числом»

[10] Эскиз доказательства: Если $n$ является свободным от квадратов, но не циклическим, $p_{i}\mid p_{j}-1$ для двух простых факторов $p_{i}$ и $p_{j}$ из $n$ . Но если $n$ satisfies Korselt then тогда удовлетворяет Корсельта $p_{j}-1\mid n-1$ ‍ , , so by transitivity of the "divides" relation поэтому в силу транзитивности отношения «делит» $p_{i}\mid n-1$ ‍‍ . Но $p_{i}$ is also a factor of также является фактором $n$ ‍ , противоречие. , a contradiction.

[Simerka1885-11] Шимерка, Вацлав (1885). «Об остатках арифметической прогрессии» . Журнал для развития математики и физики . 14 (5): 221–225. дои : 10.21136/CPMF.1885.122245 .

[12] Леммермейер, Ф. (2013). «Вацлав Шимерка: квадратичные формы и факторизация» . LMS Журнал вычислений и математики . 16 : 118–129. дои : 10.1112/S1461157013000065 .

[Carmichael1910-13] Р. Д. Кармайкл (1910). «Заметка о новой функции теории чисел» . Бюллетень Американского математического общества . 16 (5): 232–238. дои : 10.1090/s0002-9904-1910-01892-9 .

[Chernick1939-14] Черник, Дж. (1939). «О простой теореме Ферма» (PDF) . Бык. амер. Математика. Соц . 45 (4): 269–274. дои : 10.1090/S0002-9904-1939-06953-X .

[15] Томас Райт (2013). «Бесконечно много чисел Кармайкла в арифметических прогрессиях». Бык. Лондонская математика. Соц. 45 (5): 943–952. arXiv : 1212.5850 . дои : 10.1112/blms/bdt013 . S2CID 119126065 .

[16] В.Р. Алфорд ; и другие. (2014). «Построение чисел Кармайкла с помощью улучшенных алгоритмов подмножества произведений». Математика. Комп . 83 (286): 899–915. arXiv : 1203.6664 . дои : 10.1090/S0025-5718-2013-02737-8 . S2CID 35535110 .

[Erdős1956-17] Перейти обратно: ^а ^б Эрдеш, П. (2022). «О псевдопростых числах и числах Кармайкла» (PDF) . Опубл. Математика. Дебрецен . 4 (3–4): 201–206. дои : 10.5486/PMD.1956.4.3-4.16 . МР 0079031 . S2CID 253789521 . Архивировано (PDF) из оригинала 11 июня 2011 г.

[18] Глин Харман (2005). «О числе чисел Кармайкла до х ». Бюллетень Лондонского математического общества . 37 (5): 641–650. дои : 10.1112/S0024609305004686 . S2CID 124405969 .

[19] Харман, Глин (2008). «Теорема Ватта о среднем значении и числа Кармайкла». Международный журнал теории чисел . 4 (2): 241–248. дои : 10.1142/S1793042108001316 . МР 2404800 .

[Pomerance1981-20] Померанс, К. (1981). «О распределении псевдопростых чисел» . Математика. Комп . 37 (156): 587–593. дои : 10.1090/s0025-5718-1981-0628717-0 . JSTOR 2007448 .

[21] Ларсен, Дэниел (20 июля 2022 г.). «Постулат Бертрана для чисел Кармайкла» . Уведомления о международных математических исследованиях . 2023 (15): 13072–13098. arXiv : 2111.06963 . дои : 10.1093/imrn/rnac203 .

[22] Эверетт В. Хоу (октябрь 2000 г.). «Числа Кармайкла высшего порядка». Математика вычислений . 69 (232): 1711–1719. arXiv : math.NT/9812089 . Бибкод : 2000MaCom..69.1711H . дои : 10.1090/s0025-5718-00-01225-4 . JSTOR 2585091 . S2CID 6102830 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]