Постулат Бертрана

В чисел теории постулат Бертрана — это теорема о том, что для любого целого числа $n>3$ , существует хотя бы одно простое число $p$ с

n<p<2n-2.

Менее строгая формулировка: для каждого $n>1$ , всегда существует хотя бы одно простое число $p$ такой, что

n<p<2n.

Другая формулировка, где $p_{n}$ это $n$ -е простое число: для $n\geq 1$

p_{n+1}<2p_{n}.

^{[ 1 ]}

Это утверждение было впервые высказано в 1845 году Жозефом Бертраном. ^{[ 2 ]} (1822–1900). Бертран сам проверил свое утверждение для всех целых чисел. $2\leq n\leq 3\,000\,000$ .

Его гипотеза была полностью доказана Чебышевым ( 1821–1894 ) в 1852 г. ^{[ 3 ]} и поэтому постулат также называют теоремой Бертрана-Чебышева или теоремой Чебышева . Теорему Чебышева можно также сформулировать как связь с $\pi (x)$ , функция подсчета простых чисел (количество простых чисел, меньшее или равное $x$ ):

\pi (x)-\pi {\bigl (}{\tfrac {x}{2}}{\bigr )}\geq 1,{\text{ for all }}x\geq 2.

Теорема о простых числах

Теорема о простых числах (PNT) подразумевает, что количество простых чисел до x примерно равно x /ln( x ), поэтому, если мы заменим x на 2 x , то мы увидим, что количество простых чисел до 2 x асимптотически в два раза превышает количество простых чисел до x. простые числа до x (члены ln(2 x ) и ln( x ) асимптотически эквивалентны). Следовательно, количество простых чисел между n и 2 n примерно равно n /ln( n ), когда n гораздо больше простых чисел велико, и поэтому, в частности, в этом интервале , чем гарантирует постулат Бертрана. Таким образом, постулат Бертрана сравнительно слабее, чем постулат PNT. Но PNT — это глубокая теорема, а постулат Бертрана можно сформулировать более запоминающе и легче доказать, а также он делает точные утверждения о том, что происходит при малых значениях n . (Кроме того, теорема Чебышева была доказана до ПНТ и поэтому имеет исторический интерес.)

Похожая и до сих пор не решенная гипотеза Лежандра ли для каждого n спрашивает , существует ≥ 1 простое число p такое, что n ² < р < ( п + 1) ². будет не одно, а множество простых чисел . Мы снова ожидаем, что между n ² и ( п + 1) ², но в этом случае PNT не помогает: количество простых чисел до x ² асимптотичен относительно x ²/ln( х ²), а количество простых чисел до ( x + 1) ² асимптотичен ( x + 1) ²/ln(( х + 1) ²), что асимптотично для оценки простых чисел до x ². Таким образом, в отличие от предыдущего случая x и 2 x, мы не получаем доказательства гипотезы Лежандра даже для всех больших n . Оценки ошибок в PNT не являются (на самом деле не могут быть) достаточными, чтобы доказать существование хотя бы одного простого числа в этом интервале.

Обобщения

В 1919 году Рамануджан (1887–1920) использовал свойства гамма-функции , чтобы дать более простое доказательство, чем доказательство Чебышева. ^{[ 4 ]} Его короткая статья включала обобщение постулата, из которого позже возникла концепция простых чисел Рамануджана . Также были обнаружены дальнейшие обобщения простых чисел Рамануджана; например, есть доказательство того, что

2p_{i-n}>p_{i}{\text{ for }}i>k{\text{ where }}k=\pi (p_{k})=\pi (R_{n})\,,

где pk _— k -е простое число, а Rn _— простое n-е число Рамануджана.

Другие обобщения постулата Бертрана были получены элементарными методами. (В дальнейшем n проходит через множество положительных целых чисел.) В 1973 году Денис Хэнсон доказал, что существует простое число между 3 n и 4 n . ^{[ 5 ]} В 2006 году, по-видимому, не зная о результате Хэнсона, М. Эль Бахрауи предложил доказательство того, что существует простое число между 2 n и 3 n . ^{[ 6 ]} Шевелев, Грейтхаус и Мозес (2013) обсуждают аналогичные результаты для аналогичных интервалов. ^{[ 7 ]}

Постулат Бертрана о гауссовских целых числах является расширением идеи распределения простых чисел, но в данном случае в комплексной плоскости. Таким образом, поскольку гауссовы простые числа распространяются по плоскости, а не только вдоль прямой, а удвоение комплексного числа — это не просто умножение на 2, а удвоение его нормы (умножение на 1+i), разные определения приводят к разным результатам, некоторые из них по-прежнему остаются гипотезами. , некоторые доказанные. ^{[ 8 ]}

Теорема Сильвестра

Постулат Бертрана был предложен для приложений к группам перестановок . Сильвестр (1814–1897) обобщил более слабое утверждение утверждением: произведение k последовательных целых чисел, больших k, делится чем на простое число, большее, k . Из этого следует (более слабый) постулат Бертрана, если взять k = n и рассмотреть k чисел от n + 1, n + 2 до n + k = 2 n включительно , где n > 1. Согласно обобщению Сильвестра, одно из эти числа имеют простой делитель больше k . Поскольку все эти числа меньше 2( k + 1), число с простым делителем больше k имеет только один простой делитель и, следовательно, является простым. Обратите внимание, что 2 n не является простым числом, и поэтому теперь мы действительно знаем, что существует простое число p такое, что n < p < 2 n .

Теоремы Эрдеша

В 1932 году Эрдеш (1913–1996) также опубликовал более простое доказательство с использованием биномиальных коэффициентов и функции Чебышева. $\vartheta$ , определяемый как:

\vartheta (x)=\sum _{p=2}^{x}\ln(p)

где p ≤ x пробегает простые числа. см . в доказательстве постулата Бертрана . Подробности ^{[ 9 ]}

Эрдёш доказал в 1934 году, что для любого натурального числа k существует такое натуральное число N , что для всех n > N существует не менее k простых чисел между n и 2 n . Эквивалентное утверждение было доказано в 1919 году Рамануджаном (см. простое число Рамануджана ).

Лучшие результаты

Из теоремы о простых числах следует, что для любого действительного $\varepsilon >0$ есть $n_{0}>0$ такой, что для всех $n>n_{0}$ есть простое число $p$ такой, что $n<p<(1+\varepsilon )n$ . Можно показать, например, что

\lim _{n\to \infty }{\frac {\pi ((1+\varepsilon )n)-\pi (n)}{n/\log n}}=\varepsilon ,

что подразумевает, что $\pi ((1+\varepsilon )n)-\pi (n)$ стремится к бесконечности (и, в частности, больше 1 при достаточно больших $n$ ). ^{[ 10 ]}

Доказаны также неасимптотические оценки. В 1952 году Дзицуро Нагура доказал, что $n\geq 25$ между всегда есть простое число $n$ и ${\bigl (}1+{\tfrac {1}{5}}{\bigr )}n$ . ^{[ 11 ]}

В 1976 году Лоуэлл Шенфельд показал, что для $n\geq 2\,010\,760$ , всегда есть простое число $p$ в открытом интервале $n<p<{\bigl (}1+{\tfrac {1}{16\,597}}{\bigr )}n$ . ^{[ 12 ]}

В своей докторской диссертации 1998 года Пьер Дюсар улучшил приведенный выше результат, показав, что для $k\geq 463$ , $p_{k+1}\leq \left(1+{\frac {1}{2\ln ^{2}{p_{k}}}}\right)p_{k}$ , и в частности для $x\geq 3\,275$ , существует простое число $p$ в интервале $x<p\leq \left(1+{\frac {1}{2\ln ^{2}{x}}}\right)x$ . ^{[ 13 ]}

В 2010 году Пьер Дюсар доказал, что для $x\geq 396\,738$ существует хотя бы одно простое число $p$ в интервале $x<p\leq \left(1+{\frac {1}{25\ln ^{2}{x}}}\right)x$ . ^{[ 14 ]}

В 2016 году Пьер Дюсар улучшил свой результат по сравнению с 2010 годом, показав (предложение 5.4), что если $x\geq 89\,693$ , существует хотя бы одно простое число $p$ в интервале $x<p\leq \left(1+{\frac {1}{\ln ^{3}{x}}}\right)x$ . ^{[ 15 ]} Он также показывает (следствие 5.5), что для $x\geq 468\,991\,632$ , существует хотя бы одно простое число $p$ в интервале $x<p\leq \left(1+{\frac {1}{5\,000\ln ^{2}{x}}}\right)x$ .

Бейкер, Харман и Пинц доказали, что в интервале существует простое число $[x-x^{0.525},\,x]$ для всех достаточно больших $x$ . ^{[ 16 ]}

Дудек доказал это для всех $n\geq e^{e^{33.3}}$ , существует хотя бы одно простое число между $n^{3}$ и $(n+1)^{3}$ . ^{[ 17 ]}

Дудек также доказал, что из гипотезы Римана следует, что для всех $x\geq 2$ есть простое число $p$ удовлетворяющий

x-{\frac {4}{\pi }}{\sqrt {x}}\log x<p\leq x.

^{[ 18 ]}

Последствия

Последовательность ; простых чисел вместе с 1 является полной последовательностью любое положительное целое число можно записать как сумму простых чисел (и 1), используя каждое из них не более одного раза.
Единственное число гармоник — это число 1. целое ^{[ 19 ]}

См. также

Примечания

^ Рибенбойм, Пауло (2004). Маленькая книга больших простых чисел . Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 181 . ISBN 978-0-387-20169-6 .
^ Бертран, Жозеф (1845), «Память о количестве значений, которые может принимать функция, когда мы переставляем содержащиеся в ней буквы». , Journal de l’École Royale Polytechnique (на французском языке), 18 (Cahier 30): 123–140 .
^ Чебышев П. (1852), «Память о простых числах». (PDF) , Журнал чистой и прикладной математики , серия 1 (на французском языке): 366–390 . (Доказательство постулата: 371-382). Также см. Чебышев П. (1854), «Память о простых числах». , Мемуары Императорской Петербургской Академии Наук (на французском языке), 7 : 15–33.
^ Рамануджан, С. (1919), «Доказательство постулата Бертрана» , Журнал Индийского математического общества , 11 : 181–182.
^ Хэнсон, Денис (1973), «К теореме Сильвестра и Шура», Canadian Mathematical Bulletin , 16 (2): 195–199, doi : 10.4153/CMB-1973-035-3 .
^ Эль Бахрауи, Мохамед (2006), «Простые числа в интервале [2n,3n]», Международный журнал современных математических наук , 1
^ Шевелев Владимир; Грейтхаус, Чарльз Р.; Моисей, Питер Дж.К. (2013), «Об интервалах (kn, (k + 1)n), содержащих простое число для всех n > 1» (PDF) , Журнал целочисленных последовательностей , 16 (7), ISSN 1530-7638
^ Мадупарна Дас (2019), Обобщение постулата Бертрана для простых чисел Гаусса , arXiv : 1901.07086v2
^ Эрдеш, П. (1932), «Доказательство теоремы Чебышева» (PDF) , Acta Litt. наук. (Сегед) (на немецком языке), 5 (1930–1932): 194–198.
^ Г.Х. Харди и Э.М. Райт, Введение в теорию чисел , 6-е изд., Oxford University Press, 2008, стр. 494.
^ Нагура, Дж. (1952), «Об интервале, содержащем хотя бы одно простое число» , Proceedings of the Japan Academy, Series A , 28 (4): 177–181, doi : 10.3792/pja/1195570997
^ Лоуэлл Шенфельд (апрель 1976 г.), «Более точные границы для функций Чебышева θ ( x ) и ψ ( x ), II», Mathematics of Computing , 30 (134): 337–360, doi : 10.2307/2005976 , JSTOR 2005976
^ Дюсар, Пьер (1998), Вокруг функции, подсчитывающей количество простых чисел (PDF) (докторская диссертация) (на французском языке)
^ Дюсар, Пьер (2010). «Оценки некоторых функций над простыми числами без RH». arXiv : 1002.0442 [ math.NT ].
^ Дюсар, Пьер (2016), «Явные оценки некоторых функций над простыми числами», The Ramanujan Journal , 45 : 227–251, doi : 10.1007/s11139-016-9839-4 , S2CID 125120533
^ Бейкер, Р.К.; Харман, Г.; Пинц, Дж. (2001), «Разница между последовательными простыми числами, II», Труды Лондонского математического общества , 83 (3): 532–562, CiteSeerX 10.1.1.360.3671 , doi : 10.1112/plms/83.3.532 , S2CID 8964027
^ Дудек, Адриан (декабрь 2016 г.), «Явный результат для простых чисел между кубами», Funct. Прибл. , 55 (2): 177–197, arXiv : 1401.4233 , doi : 10.7169/facm/2016.55.2.3 , S2CID 119143089
^ Дудек, Адриан В. (21 августа 2014 г.), «О гипотезе Римана и разнице между простыми числами», Международный журнал теории чисел , 11 (3): 771–778, arXiv : 1402.6417 , Bibcode : 2014arXiv1402.6417D , doi : 10.1142/S1793042115500426 , ISSN 1793-0421 , S2CID 119321107
^ Рональд Л., Грэм; Дональд Э., Кнут; Орен, Паташник (1994). Конкретная математика: основа информатики . Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-55802-9 .

Библиография

П. Эрдеш (1934), «Теорема Сильвестра и Шура», Журнал Лондонского математического общества , 9 (4): 282–288, doi : 10.1112/jlms/s1-9.4.282
Дзицуро Нагура (1952), «Об интервале, содержащем хотя бы одно простое число», Proc. Япония Акад. , 28 (4): 177–181, doi : 10.3792/pja/1195570997
Крис Колдуэлл, постулат Бертрана в глоссарии Prime Pages .
Х. Рикардо (2005), «Гипотеза Гольдбаха подразумевает постулат Бертрана» , Amer. Математика. Ежемесячно , 112 : 492
Хью Л. Монтгомери ; Роберт С. Воган (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория . Кембриджские трактаты по высшей математике. Том. 97. Кембридж: Кембриджский университет. Нажимать. п. 49. ИСБН 978-0-521-84903-6 .
Дж. Сондоу (2009), «Простые числа Рамануджана и постулат Бертрана», Amer. Математика. Ежемесячно , 116 (7): 630–635, arXiv : 0907.5232 , doi : 10.4169/193009709x458609

Внешние ссылки

Сондоу, Джонатан и Вайсштейн, Эрик В. «Постулат Бертрана» . Математический мир .
Доказательство слабой версии системы Mizar : http://mizar.org/version/current/html/nat_4.html#T56.
Постулат Бертрана — доказательство слабой версии на www.dimostriamogoldbach.it/en/

[1] Рибенбойм, Пауло (2004). Маленькая книга больших простых чисел . Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 181 . ISBN 978-0-387-20169-6 .

[2] Бертран, Жозеф (1845), «Память о количестве значений, которые может принимать функция, когда мы переставляем содержащиеся в ней буквы». , Journal de l’École Royale Polytechnique (на французском языке), 18 (Cahier 30): 123–140 .

[3] Чебышев П. (1852), «Память о простых числах». (PDF) , Журнал чистой и прикладной математики , серия 1 (на французском языке): 366–390 . (Доказательство постулата: 371-382). Также см. Чебышев П. (1854), «Память о простых числах». , Мемуары Императорской Петербургской Академии Наук (на французском языке), 7 : 15–33.

[4] Рамануджан, С. (1919), «Доказательство постулата Бертрана» , Журнал Индийского математического общества , 11 : 181–182.

[5] Хэнсон, Денис (1973), «К теореме Сильвестра и Шура», Canadian Mathematical Bulletin , 16 (2): 195–199, doi : 10.4153/CMB-1973-035-3 .

[6] Эль Бахрауи, Мохамед (2006), «Простые числа в интервале [2n,3n]», Международный журнал современных математических наук , 1

[7] Шевелев Владимир; Грейтхаус, Чарльз Р.; Моисей, Питер Дж.К. (2013), «Об интервалах (kn, (k + 1)n), содержащих простое число для всех n > 1» (PDF) , Журнал целочисленных последовательностей , 16 (7), ISSN 1530-7638

[Madhuparna_Das-8] Мадупарна Дас (2019), Обобщение постулата Бертрана для простых чисел Гаусса , arXiv : 1901.07086v2

[Erdos-9] Эрдеш, П. (1932), «Доказательство теоремы Чебышева» (PDF) , Acta Litt. наук. (Сегед) (на немецком языке), 5 (1930–1932): 194–198.

[10] Г.Х. Харди и Э.М. Райт, Введение в теорию чисел , 6-е изд., Oxford University Press, 2008, стр. 494.

[11] Нагура, Дж. (1952), «Об интервале, содержащем хотя бы одно простое число» , Proceedings of the Japan Academy, Series A , 28 (4): 177–181, doi : 10.3792/pja/1195570997

[12] Лоуэлл Шенфельд (апрель 1976 г.), «Более точные границы для функций Чебышева θ ( x ) и ψ ( x ), II», Mathematics of Computing , 30 (134): 337–360, doi : 10.2307/2005976 , JSTOR 2005976

[13] Дюсар, Пьер (1998), Вокруг функции, подсчитывающей количество простых чисел (PDF) (докторская диссертация) (на французском языке)

[14] Дюсар, Пьер (2010). «Оценки некоторых функций над простыми числами без RH». arXiv : 1002.0442 [ math.NT ].

[15] Дюсар, Пьер (2016), «Явные оценки некоторых функций над простыми числами», The Ramanujan Journal , 45 : 227–251, doi : 10.1007/s11139-016-9839-4 , S2CID 125120533

[baker-16] Бейкер, Р.К.; Харман, Г.; Пинц, Дж. (2001), «Разница между последовательными простыми числами, II», Труды Лондонского математического общества , 83 (3): 532–562, CiteSeerX 10.1.1.360.3671 , doi : 10.1112/plms/83.3.532 , S2CID 8964027

[17] Дудек, Адриан (декабрь 2016 г.), «Явный результат для простых чисел между кубами», Funct. Прибл. , 55 (2): 177–197, arXiv : 1401.4233 , doi : 10.7169/facm/2016.55.2.3 , S2CID 119143089

[18] Дудек, Адриан В. (21 августа 2014 г.), «О гипотезе Римана и разнице между простыми числами», Международный журнал теории чисел , 11 (3): 771–778, arXiv : 1402.6417 , Bibcode : 2014arXiv1402.6417D , doi : 10.1142/S1793042115500426 , ISSN 1793-0421 , S2CID 119321107

[ConcreteMath-19] Рональд Л., Грэм; Дональд Э., Кнут; Орен, Паташник (1994). Конкретная математика: основа информатики . Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-55802-9 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

v т и Классы простых чисел
By formula	Fermat ( $2 2 n + 1$ ) Mersenne ( $2 p - 1$ ) Double Mersenne ( $2 2 p -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 p + 1)/3$ Proth ( $k \cdot2 n + 1$ ) Factorial ( $n! \pm 1$ ) Primorial ( $p n # \pm 1$ ) Euclid ( $p n # + 1$ ) Pythagorean ( $4 n + 1$ ) Pierpont ( $2 m \cdot3 n + 1$ ) Quartan ( $x 4 + y 4$ ) Solinas ( $2 m \pm 2 n \pm 1$ ) Cullen ( $n \cdot2 n + 1$ ) Woodall ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban ( $x 3 - y 3)/(x - y$ ) Leyland ( $x y + y x$ ) Thabit ( $3\cdot2 n - 1$ ) Williams ( $(b -1)\cdot b n - 1$ ) Mills ( $⌊ A 3 n ⌋$ )
By integer sequence	Fibonacci Lucas Pell Newman–Shanks–Williams Perrin
By property	Wieferich (pair) Wall–Sun–Sun Wolstenholme Wilson Lucky Fortunate Ramanujan Pillai Regular Strong Stern Supersingular (elliptic curve) Supersingular (moonshine theory) Good Super Higgs Highly cototient Unique
Base-dependent	Palindromic Emirp Repunit $(10 n - 1)/9$ Permutable Circular Truncatable Minimal Delicate Primeval Full reptend Unique Happy Self Smarandache–Wellin Strobogrammatic Dihedral Tetradic
Patterns	Twin ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n \pm 1, 2 n \pm 1, 4 n \pm 1, \dots$ ) Triplet ( $p, p + 2 or p + 4, p + 6$ ) Quadruplet ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k-tuple Cousin ( $p, p + 4$ ) Sexy ( $p, p + 6$ ) Chen Sophie Germain/Safe ( $p, 2 p + 1$ ) Cunningham ( $p, 2 p \pm 1, 4 p \pm 3, 8 p \pm 7, ...$ ) Arithmetic progression ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Balanced ( $consecutive p - n, p, p + n$ )
By size	Mega (1,000,000+ digits) Largest known list
Complex numbers	Eisenstein prime Gaussian prime
Composite numbers	Pseudoprime Catalan Elliptic Euler Euler–Jacobi Fermat Frobenius Lucas Perrin Somer–Lucas Strong Carmichael number Almost prime Semiprime Sphenic number Interprime Pernicious
Related topics	Probable prime Industrial-grade prime Illegal prime Formula for primes Prime gap
First 60 primes	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
List of prime numbers