Пандиагональный магический квадрат

Пандиагональный магический квадрат или панмагический квадрат (также дьявольский квадрат , дьявольский квадрат или дьявольский магический квадрат ) — это магический квадрат с дополнительным свойством, заключающимся в том, что ломаные диагонали , то есть диагонали, которые закругляются по краям квадрата, также складываются в сумму магическая константа .

Пандиагональный магический квадрат остается пандиагонально магическим не только при вращении или отражении , но и если строка или столбец перемещаются с одной стороны квадрата на противоположную сторону. Таким образом, $n\times n$ Пандиагональный магический квадрат можно рассматривать как имеющий $8n^{2}$ ориентации.

Пандиагональные магические квадраты 3 × 3

Можно показать, что нетривиальных пандиагональных магических квадратов третьего порядка не существует. Предположим, квадрат

${\begin{array}{|c|c|c|}\hline \!\!\!\;a_{11}\!\!\!&\!\!a_{12}\!\!\!\!\;&\!\!a_{13}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{21}\!\!\!&\!\!a_{22}\!\!\!\!\;&\!\!a_{23}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{31}\!\!\!&\!\!a_{32}\!\!\!\!\;&\!\!a_{33}\!\!\\\hline \end{array}}$

является пандиагонально магическим с магической константой ⁠ $s$⁠ . Сложение сумм ⁠ $a_{11}+a_{22}+a_{33},$⁠ ⁠ $a_{12}+a_{22}+a_{32},$⁠ и ⁠ $a_{13}+a_{22}+a_{31}$⁠ приводит к ⁠ $3s$⁠ . Вычитание ⁠ $a_{11}+a_{12}+a_{13}$⁠ и ⁠ $a_{31}+a_{32}+a_{33},$⁠ мы получаем ⁠ $3a_{22}=s$⁠ . Однако, если мы переместим третий столбец вперед и выполним тот же аргумент, мы получим ⁠ $3a_{22}=s$⁠ . Фактически, используя симметрию магических квадратов 3 × 3, все ячейки должны быть равны ⁠ ${\tfrac {1}{3}}s$⁠ . Следовательно, все пандиагональные магические квадраты 3 × 3 должны быть тривиальными.

Однако если обобщить концепцию магического квадрата и включить в него геометрические фигуры вместо чисел – геометрические магические квадраты, открытые Ли Саллоузом , – пандиагональный магический квадрат 3 × 3 действительно существует.

Пандиагональные магические квадраты 4 × 4

Диаграмма Эйлера требований некоторых типов магических квадратов 4 × 4. Ячейки одного цвета в сумме дают магическую константу.

Наименьшие нетривиальные пандиагональные магические квадраты — это квадраты 4 × 4. Все пандиагональные магические квадраты 4 × 4 должны быть трансляционно симметричны форме

а	а + б + в + е	а + в + г	а + б + г + е
а + б + в + г	а + г + е	а + б	а + в + е
а + б + е	а + с	а + б + в + г + е	а + д
а + в + г + е	а + б + г	а + е	а + б + в

Поскольку сумма каждого подквадрата 2 × 2 равна магической константе, пандиагональные магические квадраты 4 × 4 являются наиболее совершенными магическими квадратами . Кроме того, два числа в противоположных углах любого квадрата 3×3 в сумме составляют до половины магической константы. пандиагональные магические квадраты 4 × 4 Следовательно, все ассоциативные должны иметь повторяющиеся ячейки.

Все пандиагональные магические квадраты 4 × 4 с числами от 1 до 16 без дубликатов получаются путем присвоения 1 ; пусть b , c , d и e равны 1, 2, 4 и 8 в некотором порядке; и применив некоторый перевод . Например, при b = 1 , c = 2 , d = 4 и e = 8 мы имеем магический квадрат

1	12	7	14
8	13	2	11
10	3	16	5
15	6	9	4

Число пандиагональных магических квадратов 4 × 4 с числами 1–16 без дубликатов равно 384 (16 умножить на 24, где 16 соответствует переводу, а 24 — 4 ! способам присвоения 1, 2, 4 и 8 b , в , г и д ).

Пандиагональные магические квадраты 5 × 5

Существует множество пандиагональных магических квадратов 5 × 5. В отличие от пандиагональных магических квадратов 4 × 4, они могут быть ассоциативными . Ниже представлен ассоциативный пандиагональный магический квадрат 5 × 5:

20	8	21	14	2
11	4	17	10	23
7	25	13	1	19
3	16	9	22	15
24	12	5	18	6

В дополнение к строкам, столбцам и диагоналям пандиагональный магический квадрат 5 × 5 также показывает свою магическую константу в четырех шаблонах « квинунса », которые в приведенном выше примере таковы:

17+25+13+1+9 = 65 (центр плюс квадраты соседних строк и столбцов)

21+7+13+19+5 = 65 (центр плюс оставшиеся квадраты строки и столбца)

4+10+13+16+22 = 65 (центр плюс соседние по диагонали квадраты)

20+2+13+24+6 = 65 (центр плюс остальные квадраты на его диагоналях)

Каждый из этих квинкунсов можно перевести в другие позиции квадрата путем циклической перестановки строк и столбцов (обтекания), что в пандиагональном магическом квадрате не влияет на равенство магических констант. Это приводит к 100 суммам квинконсов, включая ломаные квинконсы, аналогичные ломаным диагоналям.

Суммы квинкунса можно доказать, взяв линейные комбинации сумм строки, столбца и диагонали. Рассмотрим пандиагональный магический квадрат.

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \!\!\!\;a_{11}\!\!\!&\!\!a_{12}\!\!\!&\!\!a_{13}\!\!\!&\!\!a_{14}\!\!\!&\!\!a_{15}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{21}\!\!\!&\!\!a_{22}\!\!\!&\!\!a_{23}\!\!\!&\!\!a_{24}\!\!\!&\!\!a_{25}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{31}\!\!\!&\!\!a_{32}\!\!\!&\!\!a_{33}\!\!\!&\!\!a_{34}\!\!\!&\!\!a_{35}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{41}\!\!\!&\!\!a_{42}\!\!\!&\!\!a_{43}\!\!\!&\!\!a_{44}\!\!\!&\!\!a_{45}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{51}\!\!\!&\!\!a_{52}\!\!\!&\!\!a_{53}\!\!\!&\!\!a_{54}\!\!\!&\!\!a_{55}\!\!\\\hline \end{array}}$

с магической константой s . Чтобы доказать сумму квинконса $a_{11}+a_{15}+a_{33}+a_{51}+a_{55}=s$ (соответствует примеру 20+2+13+24+6 = 65, приведенному выше), мы можем сложить следующее:

3 раза по каждой диагональной сумме $a_{11}+a_{22}+a_{33}+a_{44}+a_{55}$ и $a_{15}+a_{24}+a_{33}+a_{42}+a_{51}$,

Диагональные суммы $a_{11}+a_{25}+a_{34}+a_{43}+a_{52}$, $a_{12}+a_{23}+a_{34}+a_{45}+a_{51}$, $a_{14}+a_{23}+a_{32}+a_{41}+a_{55}$, и $a_{15}+a_{21}+a_{32}+a_{43}+a_{54}$,

Сумма строк $a_{11}+a_{12}+a_{13}+a_{14}+a_{15}$ и $a_{51}+a_{52}+a_{53}+a_{54}+a_{55}$.

Из этой суммы вычтите следующее:

Сумма строк $a_{21}+a_{22}+a_{23}+a_{24}+a_{25}$ и $a_{41}+a_{42}+a_{43}+a_{44}+a_{45}$,

Сумма столбца $a_{13}+a_{23}+a_{33}+a_{43}+a_{53}$,

Дважды суммы каждого столбца $a_{12}+a_{22}+a_{32}+a_{42}+a_{52}$ и $a_{14}+a_{24}+a_{34}+a_{44}+a_{54}$.

Чистый результат $5a_{11}+5a_{15}+5a_{33}+5a_{51}+5a_{55}=5s$, которое делится на 5, дает сумму квинконса. Подобные линейные комбинации можно построить и для других паттернов квинкунса. $a_{23}+a_{32}+a_{33}+a_{34}+a_{43}$, $a_{13}+a_{31}+a_{33}+a_{35}+a_{53}$, и $a_{22}+a_{24}+a_{33}+a_{42}+a_{44}$.

(4 n +2) × (4 n +2) пандиагональные магические квадраты с непоследовательными элементами

Никакого пандиагонального магического квадрата упорядоченного не существует. $4n+2$ если последовательные целые числа используются . Но некоторые последовательности непоследовательных целых чисел допускают порядок-( $4n+2$) пандиагональные магические квадраты.

Рассмотрим сумму 1+2+3+5+6+7 = 24. Эту сумму можно разделить пополам, взяв соответствующие группы из трех слагаемых, или на трети, используя группы из двух слагаемых:

1+5+6 = 2+3+7 = 12

1+7 = 2+6 = 3+5 = 8

Дополнительное равное разбиение суммы квадратов гарантирует отмеченное ниже полубимагическое свойство:

1 ² + 5 ² + 6 ² = 2 ² + 3 ² + 7 ² = 62

Обратите внимание, что последовательная целочисленная сумма 1+2+3+4+5+6 = 21, нечетная сумма, не имеет половинного разделения.

При наличии обоих равных разделов числа 1, 2, 3, 5, 6, 7 можно упорядочить в пандигональные шаблоны 6 × 6 A и B , соответственно, определяемые следующим образом:

1	5	6	7	3	2
5	6	1	3	2	7
6	1	5	2	7	3
1	5	6	7	3	2
5	6	1	3	2	7
6	1	5	2	7	3

6	5	1	6	5	1
1	6	5	1	6	5
5	1	6	5	1	6
2	3	7	2	3	7
7	2	3	7	2	3
3	7	2	3	7	2

Затем $7A+B-7C$ (где C — магический квадрат с 1 для всех ячеек) дает непоследовательный пандиагональный квадрат 6 × 6:

6	33	36	48	19	8
29	41	5	15	13	47
40	1	34	12	43	20
2	31	42	44	17	14
35	37	3	21	9	45
38	7	30	10	49	16

с максимальным элементом 49 и пандиагональной магической константой 150.Этот квадрат пандиагональный и полубимагический, то есть строки, столбцы, главные диагонали и ломаные диагонали имеют сумму 150, и, если возвести в квадрат все числа в квадрате, только строки и столбцы будут магическими и будут иметь сумму 5150.

Для 10-го порядка аналогичная конструкция возможна при равных разбиениях суммы 1+2+3+4+5+9+10+11+12+13 = 70:

1+3+9+10+12 = 2+4+5+11+13 = 35

1+13 = 2+12 = 3+11 = 4+10 = 5+9 = 14

1 ² + 3 ² + 9 ² + 10 ² + 12 ² = 2 ² + 4 ² + 5 ² + 11 ² + 13 ² = 335 (равное разбиение квадратов; полубимагическое свойство)

Это приводит к тому, что квадраты имеют максимальный элемент 169 и пандиагональную магическую константу 850, которые также являются полубимагическими, при этом сумма квадратов в каждой строке или столбце равна 102 850.

(6 n ±1)×(6 n ±1) пандиагональные магические квадраты

А $(6n\pm 1)\times (6n\pm 1)$ Пандиагональный магический квадрат можно построить по следующему алгоритму.

1. Установите первую колонну квадрата с первым $6n\pm 1$ натуральные числа .

   1
   2
   3
   4
   5
   6
   7

2. Скопируйте первый столбец во второй столбец, но сдвиньте его по кольцу на 2 строки.

   1	6
   2	7
   3	1
   4	2
   5	3
   6	4
   7	5

3. Продолжайте копировать текущий столбец в следующий, сдвигая по кольцу на 2 строки, пока квадрат не заполнится полностью.

   1	6	4	2	7	5	3
   2	7	5	3	1	6	4
   3	1	6	4	2	7	5
   4	2	7	5	3	1	6
   5	3	1	6	4	2	7
   6	4	2	7	5	3	1
   7	5	3	1	6	4	2

4. Постройте второй квадрат и скопируйте в него транспонирование первого квадрата.

   А   1    6    4    2    7    5    3    2    7    5    3    1    6    4    3    1    6    4    2    7    5    4    2    7    5    3    1    6    5    3    1    6    4    2    7    6    4    2    7    5    3    1    7    5    3    1    6    4    2

   $A^{T}$   1    2    3    4    5    6    7    6    7    1    2    3    4    5    4    5    6    7    1    2    3    2    3    4    5    6    7    1    7    1    2    3    4    5    6    5    6    7    1    2    3    4    3    4    5    6    7    1    2

5. Постройте последний квадрат, умножив второй квадрат на $6n\pm 1$, прибавляя первый квадрат и вычитая $6n\pm 1$ в каждой клетке квадрата.

   Пример: $A+(6n\pm 1)A^{T}-(6n\pm 1)B$, где B — магический квадрат, в котором все ячейки равны 1.

   1	13	18	23	35	40	45
   37	49	5	10	15	27	32
   24	29	41	46	2	14	19
   11	16	28	33	38	43	6
   47	3	8	20	25	30	42
   34	39	44	7	12	17	22
   21	26	31	36	48	4	9

4 n × 4 n пандиагональных магических квадратов

А $4n\times 4n$ Пандиагональный магический квадрат можно построить по следующему алгоритму.

1. Поставь первый $2n$ натуральные числа в первую строку и первую $2n$ колонны площади.

   1	2	3	4

2. Поставь следующий $2n$ натуральные числа под первым $2n$ натуральные числа в обратном порядке. Каждая вертикальная пара должна иметь одинаковую сумму.

   1	2	3	4
   8	7	6	5

3. Скопируйте это $2\times 2n$ прямоугольник $2n-1$ раз ниже первого прямоугольника.

   1	2	3	4
   8	7	6	5
   1	2	3	4
   8	7	6	5
   1	2	3	4
   8	7	6	5
   1	2	3	4
   8	7	6	5

4. Скопируйте левую $4n\times 2n$ прямоугольник вправо $4n\times 2n$ прямоугольник, но сдвиньте его по кольцу на одну строку.

   1	2	3	4	8	7	6	5
   8	7	6	5	1	2	3	4
   1	2	3	4	8	7	6	5
   8	7	6	5	1	2	3	4
   1	2	3	4	8	7	6	5
   8	7	6	5	1	2	3	4
   1	2	3	4	8	7	6	5
   8	7	6	5	1	2	3	4

5. Постройте второй $4n\times 4n$ квадрат и скопируйте в него первый квадрат, но поверните его на 90°.

   А   1    2    3    4    8    7    6    5    8    7    6    5    1    2    3    4    1    2    3    4    8    7    6    5    8    7    6    5    1    2    3    4    1    2    3    4    8    7    6    5    8    7    6    5    1    2    3    4    1    2    3    4    8    7    6    5    8    7    6    5    1    2    3    4

   Б   5    4    5    4    5    4    5    4    6    3    6    3    6    3    6    3    7    2    7    2    7    2    7    2    8    1    8    1    8    1    8    1    4    5    4    5    4    5    4    5    3    6    3    6    3    6    3    6    2    7    2    7    2    7    2    7    1    8    1    8    1    8    1    8

6. Постройте последний квадрат, умножив второй квадрат на $4n$, прибавляя первый квадрат и вычитая $4n$ в каждой клетке квадрата.

   Пример: $A+4nB-4nC$, где C — магический квадрат, в котором все ячейки равны 1.

   33	26	35	28	40	31	38	29
   48	23	46	21	41	18	43	20
   49	10	51	12	56	15	54	13
   64	7	62	5	57	2	59	4
   25	34	27	36	32	39	30	37
   24	47	22	45	17	42	19	44
   9	50	11	52	16	55	14	53
   8	63	6	61	1	58	3	60

Если мы построим $4n\times 4n$ пандиагональный магический квадрат с этим алгоритмом, то каждый $2\times 2$ квадрат в $4n\times 4n$ квадрат будет иметь ту же сумму. Поэтому многие симметричные модели $4n$ ячейки имеют ту же сумму, что и любая строка и любой столбец $4n\times 4n$ квадрат. Особенно каждый $2n\times 2$ и каждый $2\times 2n$ прямоугольник будет иметь ту же сумму, что и любая строка и любой столбец $4n\times 4n$ квадрат. $4n\times 4n$ квадрат также является наиболее совершенным магическим квадратом .

(6 n +3)×(6 n +3) пандиагональные магические квадраты

А $(6n+3)\times (6n+3)$ Пандиагональный магический квадрат можно построить по следующему алгоритму.

1. Создайте $(2n+1)\times 3$ прямоугольник с первым $6n+3$ натуральные числа так, чтобы в каждом столбце была одинаковая сумма. Вы можете сделать это, начав с магического квадрата 3 × 3 и расположив остальные ячейки прямоугольника в стиле меандра . Вы также можете использовать шаблон, показанный в следующих примерах.

   Для квадрата 9×9  1   2   3   5   6   4   9   7   8  вертикальная сумма = 15

   Для квадрата 15×15  1   2   3   5   6   4   9   7   8   10   11   12   15   14   13  вертикальная сумма = 40

   Для квадрата 21×21  1   2   3   5   6   4   9   7   8  10 11 12 15 14 13 16 17 18 21 20 19 вертикальная сумма = 77

2. Поместите этот прямоугольник в левый верхний угол $(6n+3)\times (6n+3)$ квадрат и две копии прямоугольника под ним, чтобы первые три столбца квадрата были заполнены полностью.

   1	2	3
   5	6	4
   9	7	8
   1	2	3
   5	6	4
   9	7	8
   1	2	3
   5	6	4
   9	7	8

3. Скопируйте левые 3 столбца в следующие 3 столбца, но сдвиньте их по кольцу на 1 строку.

   1	2	3	9	7	8
   5	6	4	1	2	3
   9	7	8	5	6	4
   1	2	3	9	7	8
   5	6	4	1	2	3
   9	7	8	5	6	4
   1	2	3	9	7	8
   5	6	4	1	2	3
   9	7	8	5	6	4

4. Продолжайте копировать текущие 3 столбца в следующие 3 столбца, сместив по кольцу на 1 строку, пока квадрат не заполнится полностью.

   1	2	3	9	7	8	5	6	4
   5	6	4	1	2	3	9	7	8
   9	7	8	5	6	4	1	2	3
   1	2	3	9	7	8	5	6	4
   5	6	4	1	2	3	9	7	8
   9	7	8	5	6	4	1	2	3
   1	2	3	9	7	8	5	6	4
   5	6	4	1	2	3	9	7	8
   9	7	8	5	6	4	1	2	3

5. Постройте второй квадрат и скопируйте в него транспонирование первого квадрата.

   А   1    2    3    9    7    8    5    6    4   5   6   4   1   2   3   9   7   8   9   7   8   5   6   4   1   2   3   1   2   3   9   7   8   5   6   4   5   6   4   1   2   3   9   7   8   9   7   8   5   6   4   1   2   3   1   2   3   9   7   8   5   6   4   5   6   4   1   2   3   9   7   8   9   7   8   5   6   4   1   2   3

   $A^{T}$   1    5    9    1    5    9    1    5    9   2   6   7   2   6   7   2   6   7   3   4   8   3   4   8   3   4   8   9   1   5   9   1   5   9   1   5   7   2   6   7   2   6   7   2   6   8   3   4   8   3   4   8   3   4   5   9   1   5   9   1   5   9   1   6   7   2   6   7   2   6   7   2   4   8   3   4   8   3   4   8   3

6. Постройте последний квадрат, умножив второй квадрат на $6n+3$, прибавляя первый квадрат и вычитая $6n+3$ в каждой клетке квадрата.

   Пример: $A+(6n+3)A^{T}-(6n+3)B$, где B — магический квадрат, в котором все ячейки равны 1.

   1	38	75	9	43	80	5	42	76
   14	51	58	10	47	57	18	52	62
   27	34	71	23	33	67	19	29	66
   73	2	39	81	7	44	77	6	40
   59	15	49	55	11	48	63	16	53
   72	25	35	68	24	31	64	20	30
   37	74	3	45	79	8	41	78	4
   50	60	13	46	56	12	54	61	17
   36	70	26	32	69	22	28	65	21

Ссылки

• У.С. Эндрюс, Магические квадраты и кубы . Нью-Йорк: Дувр, 1960. Первоначально напечатано в 1917 году. См. особенно главу X.

• Оллереншоу К., Бри Д.: Наиболее совершенные пандиагональные магические квадраты. IMA, Саутенд-он-Си (1998)

Внешние ссылки

• Панмагический квадрат в MathWorld
• http://www.azspcs.net/Contest/PandiagonalMagicSquares