Малые латинские квадраты и квазигруппы

Латинские квадраты и квазигруппы — эквивалентные математические объекты, хотя первые имеют комбинаторную природу , а вторые — более алгебраические . В листинге ниже будут рассмотрены примеры некоторых очень малых порядков , которые представляют собой длину стороны квадрата или количество элементов в эквивалентной квазигруппе.

Эквивалентность [ править ]

Учитывая квазигруппу $Q$ с $n$ элементами, ее таблица Кэли (почти повсеместно называемая таблицей умножения ) представляет собой $таблицу (n + 1) \times (n + 1),$ которая включает границы; верхний ряд заголовков столбцов и левый столбец заголовков строк. Удаление границ оставляет $массив размером n \times n$ , представляющий собой латинский квадрат. Этот процесс можно обратить вспять, начав с латинского квадрата, ввести граничащие строку и столбец, чтобы получить таблицу умножения квазигруппы. Несмотря на полный произвол в том, как проводится это окаймление, квазигруппы, полученные разными выборами, иногда эквивалентны в указанном ниже смысле.

Изотопия и изоморфизм [ править ]

Два латинских квадрата $L$ ₁ и $L$ ₂ размера $n$ изотопны L , если существуют три биекции строк, столбцов и символов $1$ _на строки, столбцы и символы $L$ ₂ соответственно, которые отображают $L$ ₁ в $L$ ₂ . ^[1] Изотопия — это отношение эквивалентности , а классы эквивалентности называются классами изотопии .

Существует более сильная форма эквивалентности. Два латинских квадрата, $L$ ₁ и $L$ ₂ , стороны $n$ с общим набором символов $S$ , который также является набором индексов для строк и столбцов каждого квадрата, изоморфны, если существует биекция $g:S \to S$ такая, что $g (L 1 (я, j)) знак равно L 2 (грамм (я), грамм (j))$ для всех $я$ , $j$ в $S$ . ^[1] Альтернативный способ определения изоморфных латинских квадратов состоит в том, чтобы сказать, что пара изотопных латинских квадратов изоморфна, если три биекции, используемые для доказательства их изотопности, фактически равны. ^[2] Изоморфизм также является отношением эквивалентности, и его классы эквивалентности называются классами изоморфизма .

Альтернативное представление латинского квадрата дается ортогональным массивом . Для латинского квадрата порядка $n$ это $n$ ² Матрица × 3 со столбцами, обозначенными $r$ , $c$ и $s$ , строки которых соответствуют одной позиции латинского квадрата, а именно строке позиции, столбцу позиции и символу в позиции. Таким образом, для латинского квадрата третьего порядка

1	2	3
2	3	1
3	1	2

ортогональный массив задается следующим образом:

$р$	$с$	$с$
1	1	1
1	2	2
1	3	3
2	1	2
2	2	3
2	3	1
3	1	3
3	2	1
3	3	2

Условием того, чтобы матрица подходящего размера представляла латинский квадрат, является то, что для любых двух столбцов $n 2$ упорядоченные пары, определяемые строками в этих столбцах, — это все пары ( $i, j$ ) с 1 ≤ $i, j \leq n$ по одному разу каждая.

Это свойство не теряется при перестановке трех столбцов (но не меток), поэтому получается еще один ортогональный массив (и, следовательно, еще один латинский квадрат). Например, перестановка первых двух столбцов, что соответствует транспонированию квадрата (с учетом его главной диагонали), дает другой латинский квадрат, который может быть, а может и не быть изотопным оригиналу. В этом случае, если квазигруппа, соответствующая этому латинскому квадрату, удовлетворяет коммутативному закону , новый латинский квадрат идентичен исходному. Всего существует шесть возможностей, включая «ничего не делать», что дает не более шести латинских квадратов, называемых сопряженными (также парастрофами ) исходного квадрата. ^[3]

Два латинских квадрата называются паратопными , а также изотопными основного класса , если один из них изотопен сопряженному другому. Это также отношение эквивалентности, классы эквивалентности называются основными классами , видами или паратопическими классами . ^[3] Каждый основной класс содержит до шести изотопических классов.

Основной класс — это дизъюнктное объединение классов изотопии, а изотопический класс — это дизъюнктное объединение классов изоморфизма. ^[4]

Изотопические квазигруппы [ править ]

Пусть $(Q,\circ)$ и $(R,*)$ — две квазигруппы. Упорядоченная тройка $(f, g, h)$ биекций из $Q$ на $R$ называется изотопизмом ( $Q y)$ на $(R,*),$ если $f (x) * g (y) = h (x \circ), \circ$ для все $x,$ в $G.$ y Такие квазигруппы называются изотопными . ^[5]

Если в приведенном выше определении $f = g = h$ , то квазигруппы называются изоморфными . ^[2]

В отличие от ситуации с латинскими квадратами, когда две изотопные квазигруппы представлены таблицами Кэли (латинскими квадратами с рамкой), перестановки $f$ и $g$ действуют только на заголовки границ и не перемещают столбцы и строки, а $h$ действует на тело таблицы. . ^[5]

Перестановка строк и столбцов таблицы Кэли (включая заголовки) не меняет определяемую ею квазигруппу, однако латинский квадрат, связанный с этой таблицей, будет заменен изотопным латинским квадратом. Таким образом, нормализация таблицы Кэли (помещение заголовков границ в некотором фиксированном заранее определенном порядке путем перестановки строк и столбцов, включая заголовки) сохраняет изотопический класс соответствующего латинского квадрата.Более того, если две нормализованные таблицы Кэли представляют изоморфные квазигруппы, то связанные с ними латинские квадраты также изоморфны. Следовательно, число различных квазигрупп данного порядка равно числу классов изоморфизма латинских квадратов этого порядка. ^[6]

Обозначения [ править ]

Набор символов, используемых в латинском квадрате (или квазигруппе), произволен, и отдельные символы не несут никакого значения, даже если они могут иметь значение в других контекстах. Таким образом, поскольку чаще всего используются наборы символов ${1,2, ..., n$ } или ${0,1, ... , n - 1$ }, следует помнить, что эти символы не несут никакого числового значения. Чтобы подчеркнуть этот момент, в маленьких латинских квадратах иногда используются буквы алфавита в качестве набора символов.

Подсчет латинских квадратов [ править ]

Поскольку латинский квадрат является комбинаторным объектом, набор символов, используемый для записи квадрата, не имеет значения. Таким образом, как и латинские квадраты, их следует считать одинаковыми:

{\begin{matrix}a&b\\b&a\end{matrix}}

и

{\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}}.

Точно так же и по той же причине

{\begin{matrix}b&a\\a&b\end{matrix}}

и

{\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}}

следует рассматривать как одно и то же. Таким образом,

{\begin{matrix}a&b\\b&a\end{matrix}}

и

{\begin{matrix}b&a\\a&b\end{matrix}}

нельзя рассматривать как разные латинские квадраты.

Этот интуитивный аргумент можно уточнить. Латинские квадраты

{\begin{matrix}a&b\\b&a\end{matrix}}

и

{\begin{matrix}b&a\\a&b\end{matrix}},

изотопны во многих отношениях. Пусть ( $a,b$ ) будет инволюторной перестановкой на множестве $S = {a, b$ }, переводящей $a$ в $b$ и $b$ в $a$ . Тогда изотопия ${(a, b), id, id$ } поменяет местами две строки первого квадрата, чтобы получить второй квадрат ( $id$ — тождественная перестановка). Но ${id, (a, b), id$ }, который меняет местами два столбца, также является изотопией, как и ${id, id, (a, b)$ }, который меняет местами два символа. Однако ${(a, b), (a, b), (a, b)$ } также является изотопией между двумя квадратами, и поэтому эта пара квадратов изоморфна.

Уменьшенные квадраты [ править ]

Нахождение класса изоморфизма данного латинского квадрата может оказаться сложной вычислительной задачей для квадратов большого порядка. Чтобы несколько уменьшить проблему, латинский квадрат всегда можно привести к стандартной форме, известной как уменьшенный квадрат . У уменьшенного квадрата элементы верхней строки записаны в некотором естественном порядке для набора символов (например, целые числа в порядке возрастания или буквы в алфавитном порядке). Записи в левом столбце располагаются в том же порядке. Поскольку это можно сделать перестановками строк и столбцов, каждый латинский квадрат изотопен приведенному квадрату. Таким образом, каждый изотопический класс должен содержать приведенный латинский квадрат, однако латинский квадрат может иметь более одного изотопного ему приведенного квадрата. Фактически, в данном классе изоморфизма может быть более одного приведенного квадрата. ^[7]

Например, приведенные латинские квадраты четвертого порядка,

{\begin{matrix}1&2&3&4\\2&4&1&3\\3&1&4&2\\4&3&2&1\end{matrix}}

и

{\begin{matrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\\3&4&2&1\\4&3&1&2\end{matrix}}

оба принадлежат классу изоморфизма, который также содержит приведенный квадрат

{\begin{matrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\\3&4&1&2\\4&1&2&3\end{matrix}}.

Это можно показать с помощью изоморфизмов {(3,4), (3,4), (3,4)} и {(2,3), (2,3), (2,3)} соответственно. ^[8]

Поскольку классы изотопии не пересекаются, количество приведенных латинских квадратов дает верхнюю границу количества классов изотопии. При этом общее количество латинских квадратов равно $n!(n - 1)!$ раз больше числа уменьшенных квадратов. ^[9]

Таблицу Кэли квазигруппы можно нормализовать так же, как сокращенный латинский квадрат. Тогда квазигруппа, связанная с приведенным латинским квадратом, имеет (двусторонний) единичный элемент (а именно, первый элемент среди заголовков строк). Квазигруппа с двусторонним тождеством называется петлей . Некоторые, но не все, петли представляют собой группы. Чтобы быть группой, также должен выполняться закон ассоциативности.

Изотопические инварианты [ править ]

Количество различных подструктур в латинском квадрате может быть полезно для их отличия друг от друга. Некоторые из этих значений одинаковы для каждого изотопа латинского квадрата и называются изотопическими инвариантами. Одним из таких инвариантов является количество подквадратов размером 2 × 2, называемых вставками . Другой — общее количество трансверсалей , набора из $n$ позиций в латинском квадрате порядка $n$ , по одной в каждой строке и по одной в каждом столбце, которые не содержат ни одного элемента дважды. Латинские квадраты с разными значениями этих отсчетов должны принадлежать к разным классам изотопии. Число вставок также является инвариантом основного класса.

Заказ 1 [ править ]

Для первого порядка существует только один латинский квадрат с символом 1 и одна квазигруппа с базовым набором {1}; это группа, тривиальная группа .

Заказ 2 [ править ]

Существует только один приведенный латинский квадрат второго порядка (а всего два), а именно

{\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}}.

Поскольку существует только один приведенный квадрат этого порядка, существует только один изотопический класс. Фактически, этот класс изотопии также является классом изоморфизма ( показано выше ). ^[8]^[1]

Поскольку существует только один класс изоморфизма латинских квадратов, существует только одна квазигруппа второго порядка (с точностью до изоморфизма), и это группа, обычно обозначаемая $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,$ циклическая группа второго порядка.

Заказ 3 [ править ]

Также имеется только один уменьшенный латинский квадрат третьего порядка (из 12),

{\begin{matrix}1&2&3\\2&3&1\\3&1&2\end{matrix}}.

Таким образом, существует только один изотопический класс. ^[8] Однако этот класс изотопии представляет собой объединение пяти классов изоморфизма. ^[1]

Три из пяти классов изоморфизма содержат по три латинских квадрата каждый, один — два, а третий — только один. Приведенный квадрат принадлежит классу изоморфизма с тремя элементами, поэтому соответствующая квазигруппа является петлей, фактически это группа, $\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} ,$ циклическая группа третьего порядка. Латинский квадрат, представляющий каждый из этих классов изоморфизма, имеет вид (число под каждым — это количество квадратов в соответствующем классе изоморфизма):

{\begin{matrix}1&2&3\\2&3&1\\3&1&2\\&(3)&\end{matrix}}\qquad \qquad {\begin{matrix}2&3&1\\1&2&3\\3&1&2\\&(3)&\end{matrix}}\qquad \qquad {\begin{matrix}2&1&3\\3&2&1\\1&3&2\\&(3)\end{matrix}}\qquad \qquad {\begin{matrix}3&2&1\\2&1&3\\1&3&2\\&(2)&\end{matrix}}\qquad \qquad {\begin{matrix}1&3&2\\3&2&1\\2&1&3\\&(1)&\end{matrix}}.

Приказ 4 [ править ]

Имеется четыре уменьшенных латинских квадрата четвертого порядка (из 576 квадратов). Это:

{\begin{matrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\\3&4&1&2\\4&3&2&1\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\\3&4&2&1\\4&3&1&2\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\\3&4&1&2\\4&1&2&3\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}1&2&3&4\\2&4&1&3\\3&1&4&2\\4&3&2&1\end{matrix}}.

Последние три из них изоморфны ( см. выше ). Существует два основных класса, два класса изотопии и 35 классов изоморфизма. Среди 35 квазигрупп только две являются петлями, и они фактически являются группами. Первому квадрату выше соответствует группа четырех Клейна , а любому из трех других квадратов соответствует циклическая группа. $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} .$ Первый квадрат имеет восемь трансверсалей и 12 вставок, а каждый из остальных не имеет трансверсалей и имеет четыре вставки.

Класс изоморфизма четырехгруппы Клейна имеет четыре члена, а класс изоморфизма циклической группы - 12 членов. 4х4 Из 576 латинских квадратов 288 являются решениями версии судоку , иногда называемой Ши Доку [1] .

Заказ 5 [ править ]

Из 161 280 латинских квадратов пятого порядка имеется 56 уменьшенных квадратов. Существует два основных класса и только два изотопических класса, но 1411 классов изоморфизма. Существует шесть классов изоморфизма, содержащих приведенные квадраты, т. е. имеется шесть петель, только одна из которых является группой, циклической группой пятого порядка. ^[1]

Ниже приведены два уменьшенных латинских квадрата пятого порядка, по одному от каждого изотопического класса. ^[10]

{\begin{matrix}0&1&2&3&4\\1&2&3&4&0\\2&3&4&0&1\\3&4&0&1&2\\4&0&1&2&3\end{matrix}}\qquad \qquad {\begin{matrix}0&1&2&3&4\\1&0&3&4&2\\2&3&4&0&1\\3&4&1&2&0\\4&2&0&1&3\end{matrix}}

Первый квадрат имеет 15 трансверсалей, не имеет вставок и представляет собой таблицу Кэли без границ циклической группы. $\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} .$ Второй квадрат имеет три трансверсали и четыре вставки. Он представляет собой петлю, не являющуюся группой, поскольку, например, 2 + (3 + 4) = 2 + 0 = 2, а (2 + 3) + 4 = 0 + 4 = 4, поэтому закон ассоциативности не действует. держать.

Заказы от 6 до 10 [ править ]

Число латинских квадратов по мере увеличения порядка демонстрирует явление, известное как комбинаторный взрыв ; даже небольшому увеличению размеров соответствует огромное увеличение разновидностей. Основные значения приведены в следующих двух таблицах: ^[1] и мало что, кроме того, что представлено здесь, известно с точностью.

Количество изотопических классов латинских квадратов и квазигрупп (классов изоморфизма)
$н$	основные классы	изотопические классы	классы изоморфизма
6	12	22	1,130,531
7	147	564	12,198,455,835
8	283,657	1,676,267	2,697,818,331,680,661
9	19,270,853,541	115,618,721,533	15,224,734,061,438,247,321,497
10	34,817,397,894,749,939	208,904,371,354,363,006	2,750,892,211,809,150,446,995,735,533,513

Количество уменьшенных латинских квадратов и петель разного размера.
$н$	уменьшенные латинские квадраты размера $n$	петли размера $n$
6	9,408	109
7	16,942,080	23,746
8	535,281,401,856	106,228,849
9	377,597,570,964,258,816	9,365,022,303,540
10	7,580,721,483,160,132,811,489,280	20,890,436,195,945,769,617

История [ править ]

Этот отчет следует за McKay, Meynert & Myrvold (2007 , стр. 100).

Подсчет латинских квадратов имеет долгую историю, но опубликованные отчеты содержат много ошибок. Эйлер в 1782 году, ^[11] и Кэли в 1890 году, ^[12] оба знали число сокращенных латинских квадратов до пятого порядка. В 1915 году Мак-Магон ^[13] подошел к проблеме по-другому, но изначально получил неправильное значение пятого порядка. М.Фролов в 1890 г. ^[14] и Тарри в 1901 году, ^[15]^[16] нашел количество приведенных квадратов шестого порядка. М. Фролов дал неверный подсчет приведенных квадратов седьмого порядка. Р. А. Фишер и Ф. Йейтс , ^[17] не зная о более ранних работах Э. Шенхардта, ^[18] дал число изотопических классов порядков до шести. В 1939 году Х. У. Нортон обнаружил 562 изотопических класса седьмого порядка. ^[19] но признал, что его метод был неполным. А. Саде, в 1951 г. ^[20] но опубликовано в частном порядке ранее в 1948 году, а П. Н. Саксена ^[21] нашел больше классов, и в 1966 году Д. А. Прис отметил, что это исправило результат Нортона до 564 изотопических классов. ^[22] Однако в 1968 году Дж. У. Браун объявил неверное значение 563. ^[23] что неоднократно повторялось. Он также указал неправильное количество изотопических классов восьмого порядка. Правильное количество приведенных квадратов восьмого порядка уже было найдено М.Б. Уэллсом в 1967 году. ^[24] и числа изотопических классов - в 1990 г. Г. Колесовой, К.В. Ламом и Л. Тилем. ^[25] Число приведенных квадратов девятого порядка было получено С.Э. Баммелем и Дж. Ротштейном: ^[26] по заказу 10 Б.Д. Маккея и Э. Рогойского, ^[27] и для заказа 11 — Б.Д. Маккея и М.М. Уэнлесса. ^[28]

См. также [ править ]

Список малых групп

Примечания [ править ]

↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Колборн и Диниц 2007 , с. 136
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Денес и Кидуэлл 1974 , с. 24
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Денес и Кидуэлл 1974 , с. 126
^ Денес и Кидуэлл 1974 , стр. 127-8
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Денес и Кидуэлл 1974 , с. 23
^ Маккей, Мейнерт и Мирволд 2007 , стр. 105.
^ Денес и Кидуэлл 1974 , с. 128
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Денес и Кидуэлл 1974 , с. 129
^ Маккей, Мейнерт и Мирволд 2007 , стр. 100.
^ Колборн и Диниц 2007 , с. 137
^ Эйлер, Л. (1782), «Recherches sur une nouvelle espèce de quarrés magiques», Трактаты / Опубликовано Zeeuwsch Genootschap der Onderzoeken во Флиссингене (9): 85–239
^ Кэли, А. (1890), «На латинских площадях», Oxford Camb. Дублинский вестник математики. , 19 : 85–239
^ МакМахон, Пенсильвания (1915), Комбинаторный анализ , Издательство Кембриджского университета, стр. 300
^ Фролов, М. (1890), “О квадратных перестановках”, J. De Math. Спец. , IV : 8–11, 25–30
^ Тарри, Гастон (1900). «Проблема 36 офицеров». Отчет Французской ассоциации содействия развитию науки . 1 . Секретариат Ассоциации: 122–123.
^ Тарри, Гастон (1901). «Проблема 36 офицеров». Отчет Французской ассоциации содействия развитию науки . 2 . Секретариат Ассоциации: 170–203.
^ Фишер, РА; Йейтс, Ф. (1934), «Латинские квадраты 6 × 6», Proc. Кембриджская философия. Соц. , 30 (4): 492–507, Bibcode : 1934PCPS...30..492F , doi : 10.1017/S0305004100012731 , S2CID 120585553
^ Шенхардт, Э. (1930), «О латинских квадратах и союзах», Дж. Рейн Ангью. Math. , 1930 (163): 183–230, doi : 10.1515/crll.1930.163.183 , S2CID 115237080 .
^ Нортон, HW (1939), «Квадраты 7 × 7», Анналы евгеники , 9 (3): 269–307, doi : 10.1111/j.1469-1809.1939.tb02214.x
^ Шаде, А. (1951), «Упущение в списке Нортона квадратов 7 × 7», Ann. Математика. Стат. , 22 (2): 306–307, doi : 10.1214/aoms/1177729654
^ Саксена, П.Н. (1951), «Упрощенный метод перечисления латинских квадратов с помощью дифференциальных операторов Мак-Магона; II. Латинские квадраты 7 × 7», J. Indian Soc. Сельское хозяйство. Статистика , 3 : 24–79
^ Прис, Д.А. (1966), «Классификация прямоугольников Юдена», Дж. Рой. Статист. Соц. Сер. Б , 28 : 118–130, doi : 10.1111/j.2517-6161.1966.tb00625.x
^ Браун, Дж. В. (1968), «Перечисление латинских квадратов с применением к порядку 8», Журнал комбинаторной теории , 5 (2): 177–184, doi : 10.1016/S0021-9800(68)80053-5
^ Уэллс, МБ (1967), «Число латинских квадратов восьмого порядка», Журнал комбинаторной теории , 3 : 98–99, doi : 10.1016/S0021-9800(67)80021-8
^ Колесова Г.; Лам, CWH; Тиль, Л. (1990), «О числе латинских квадратов 8 × 8», Журнал комбинаторной теории, серия A , 54 : 143–148, doi : 10.1016/0097-3165(90)90015-O
^ Баммел, ЮВ; Ротштейн, Дж. (1975), «Число латинских квадратов 9 × 9», Дискретная математика , 11 : 93–95, doi : 10.1016/0012-365X(75)90108-9
^ Маккей, Б.Д.; Рогойский, Э. (1995), «Латинские квадраты десятого порядка», Электронный журнал комбинаторики , 2 : 4, doi : 10.37236/1222.
^ Маккей, Б.Д.; Ванлесс, И.М. (2005), «О количестве латинских квадратов», Ann. Гребень. , 9 (3): 335–344, doi : 10.1007/s00026-005-0261-7 , S2CID 7289396

Ссылки [ править ]

Колборн, Чарльз Дж.; Диниц, Джеффри Х. (2007), Справочник по комбинаторным планам (2-е изд.), Бока-Ратон: Chapman & Hall/CRC, ISBN 978-1-58488-506-1
Денес, Ж.; Кидуэлл, А.Д. (1974), Латинские квадраты и их приложения , Нью-Йорк-Лондон: Academic Press, стр. 547, ISBN 0-12-209350-Х , МР 0351850
Маккей, Брендан Д .; Мейнерт, Элисон; Мирволд, Венди (2007), «Маленькие латинские квадраты, квазигруппы и петли» (PDF) , Journal of Combinatorial Designs , 15 (2): 98–119, CiteSeerX 10.1.1.151.3043 , doi : 10.1002/jcd.20105 , S2CID 82321 , Збл 1112.05018

[CD-1] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Колборн и Диниц 2007 , с. 136

[Denes_1974_loc=p._24-2] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Денес и Кидуэлл 1974 , с. 24

[DK126-3] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Денес и Кидуэлл 1974 , с. 126

[4] Денес и Кидуэлл 1974 , стр. 127-8

[DK23-5] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Денес и Кидуэлл 1974 , с. 23

[6] Маккей, Мейнерт и Мирволд 2007 , стр. 105.

[7] Денес и Кидуэлл 1974 , с. 128

[DK129-8] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Денес и Кидуэлл 1974 , с. 129

[9] Маккей, Мейнерт и Мирволд 2007 , стр. 100.

[10] Колборн и Диниц 2007 , с. 137

[11] Эйлер, Л. (1782), «Recherches sur une nouvelle espèce de quarrés magiques», Трактаты / Опубликовано Zeeuwsch Genootschap der Onderzoeken во Флиссингене (9): 85–239

[12] Кэли, А. (1890), «На латинских площадях», Oxford Camb. Дублинский вестник математики. , 19 : 85–239

[13] МакМахон, Пенсильвания (1915), Комбинаторный анализ , Издательство Кембриджского университета, стр. 300

[14] Фролов, М. (1890), “О квадратных перестановках”, J. De Math. Спец. , IV : 8–11, 25–30

[15] Тарри, Гастон (1900). «Проблема 36 офицеров». Отчет Французской ассоциации содействия развитию науки . 1 . Секретариат Ассоциации: 122–123.

[16] Тарри, Гастон (1901). «Проблема 36 офицеров». Отчет Французской ассоциации содействия развитию науки . 2 . Секретариат Ассоциации: 170–203.

[17] Фишер, РА; Йейтс, Ф. (1934), «Латинские квадраты 6 × 6», Proc. Кембриджская философия. Соц. , 30 (4): 492–507, Bibcode : 1934PCPS...30..492F , doi : 10.1017/S0305004100012731 , S2CID 120585553

[18] Шенхардт, Э. (1930), «О латинских квадратах и союзах», Дж. Рейн Ангью. Math. , 1930 (163): 183–230, doi : 10.1515/crll.1930.163.183 , S2CID 115237080 .

[19] Нортон, HW (1939), «Квадраты 7 × 7», Анналы евгеники , 9 (3): 269–307, doi : 10.1111/j.1469-1809.1939.tb02214.x

[20] Шаде, А. (1951), «Упущение в списке Нортона квадратов 7 × 7», Ann. Математика. Стат. , 22 (2): 306–307, doi : 10.1214/aoms/1177729654

[21] Саксена, П.Н. (1951), «Упрощенный метод перечисления латинских квадратов с помощью дифференциальных операторов Мак-Магона; II. Латинские квадраты 7 × 7», J. Indian Soc. Сельское хозяйство. Статистика , 3 : 24–79

[22] Прис, Д.А. (1966), «Классификация прямоугольников Юдена», Дж. Рой. Статист. Соц. Сер. Б , 28 : 118–130, doi : 10.1111/j.2517-6161.1966.tb00625.x

[23] Браун, Дж. В. (1968), «Перечисление латинских квадратов с применением к порядку 8», Журнал комбинаторной теории , 5 (2): 177–184, doi : 10.1016/S0021-9800(68)80053-5

[24] Уэллс, МБ (1967), «Число латинских квадратов восьмого порядка», Журнал комбинаторной теории , 3 : 98–99, doi : 10.1016/S0021-9800(67)80021-8

[25] Колесова Г.; Лам, CWH; Тиль, Л. (1990), «О числе латинских квадратов 8 × 8», Журнал комбинаторной теории, серия A , 54 : 143–148, doi : 10.1016/0097-3165(90)90015-O

[26] Баммел, ЮВ; Ротштейн, Дж. (1975), «Число латинских квадратов 9 × 9», Дискретная математика , 11 : 93–95, doi : 10.1016/0012-365X(75)90108-9

[27] Маккей, Б.Д.; Рогойский, Э. (1995), «Латинские квадраты десятого порядка», Электронный журнал комбинаторики , 2 : 4, doi : 10.37236/1222.

[28] Маккей, Б.Д.; Ванлесс, И.М. (2005), «О количестве латинских квадратов», Ann. Гребень. , 9 (3): 335–344, doi : 10.1007/s00026-005-0261-7 , S2CID 7289396

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]