Джентльмены, проблема

— Задача Синьорини задача эластостатики в линейной упругости нахождении упруго-равновесной конфигурации анизотропного : она состоит в неоднородного упругого тела , покоящегося на твердой без трения поверхности и подверженного действию только его массовых сил . Название было придумано Гаэтано Фичерой в честь его учителя Антонио Синьорини : оригинальное название, придуманное им, — проблема с неоднозначными граничными условиями .

История

Классическая задача Синьорини: какова будет равновесная конфигурация оранжевого упругого тела сферической формы, покоящегося на синей жесткой плоскости без трения ?

• - «Мой ученик Фичера доставил мне большое удовлетворение»
• - "Но у вас их было много, профессор, за вашу жизнь" , - ответил доктор Априле, но Синьорини ответил еще раз:
• - «Но это самое большое». И это были его последние слова.

- Гаэтано Фичера , ( Fichera 1995 , стр. 49)

Задача была поставлена ​​Антонио Синьорини во время курса, читаемого в Национальном институте высшей математики в 1959 году, позже опубликована в виде статьи ( Signorini 1959 ), расширяющей предыдущее краткое изложение, которое он дал в заметке, опубликованной в 1933 . году 128) сам назвал ее задачей с неоднозначными граничными условиями . поскольку существует два альтернативных набора граничных условий , решение должно удовлетворять в любой заданной точке контакта . В постановке задачи присутствуют не только равенства , но и неравенства , причем неизвестно априори , какой из двух наборов граничных условий выполняется в каждой точке . или нет проблема Синьорини попросил определить, корректна в физическом смысле, т.е. существует ли ее решение, единственно или нет: он прямо пригласил молодых аналитиков изучить проблему.

Курс посетили Гаэтано Фичера и Мауро Пиконе , и Фичера приступил к исследованию проблемы: поскольку он не нашел упоминаний о подобных задачах в теории краевых задач , он решил подойти к этому вопросу, исходя из основных принципов , в частности, из принципа виртуальной работы .

Во время исследования Фичерой этой проблемы у Синьорини начались серьезные проблемы со здоровьем: тем не менее, он желал узнать ответ на свой вопрос перед смертью. Пиконе, которого связывала крепкая дружба с Синьорини, стал преследовать Фичеру, чтобы найти решение: сам Фичера, будучи также связан с Синьорини подобными чувствами, воспринимал последние месяцы 1962 года как тревожные дни. Наконец, в первых числах января 1963 года Фичера смог дать полное доказательство существования единственного решения задачи с неоднозначным граничным условием, которую он назвал «проблемой Синьорини» в честь своего учителя. Предварительное объявление об исследовании, позже опубликованное как ( Fichera 1963 ), было написано и отправлено Синьорини ровно за неделю до его смерти. Синьорини выразил большое удовлетворение, увидев решение своего вопроса.
Несколько дней спустя Синьорини имел со своим семейным доктором Дамиано Априле разговор, процитированный выше.

Решение проблемы Синьорини совпадает с рождением области вариационных неравенств .

Формальная постановка задачи

Содержание этого раздела и следующих подразделов близко соответствует рассмотрению Гаэтано Фичеры в Fichera 1963 , Fichera 1964b , а также Fichera 1995 : его вывод проблемы отличается от вывода Синьорини тем, что он не рассматривает только несжимаемые тела и плоская поверхность покоя , как это делает Синьорини. Задача состоит в нахождении вектора смещения из естественной конфигурации $\scriptstyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=\left(u_{1}({\boldsymbol {x}}),u_{2}({\boldsymbol {x}}),u_{3}({\boldsymbol {x}})\right)$ анизотропного , неоднородного упругого тела лежащего в подмножестве $A$ трехмерного , евклидова пространства которого граница равна $\scriptstyle \partial A$ и чья внутренняя нормаль является вектором $n$, опирающийся на жесткую без трения поверхность которой , контактная поверхность контактов (или, в более общем смысле, набор ) $\Sigma$ и подчиняется только своим телам $\scriptstyle {\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {x}})=\left(f_{1}({\boldsymbol {x}}),f_{2}({\boldsymbol {x}}),f_{3}({\boldsymbol {x}})\right)$и поверхностные силы $\scriptstyle {\boldsymbol {g}}({\boldsymbol {x}})=\left(g_{1}({\boldsymbol {x}}),g_{2}({\boldsymbol {x}}),g_{3}({\boldsymbol {x}})\right)$ наносится на свободную (т.е. не соприкасающуюся с остальной поверхностью) поверхность $\scriptstyle \partial A\setminus \Sigma$: набор $A$ и контактная поверхность $\Sigma$ характеризуют естественную конфигурацию тела и известны априори. Следовательно, тело должно удовлетворять уравнениям общего равновесия.

(1)      $\qquad {\frac {\partial \sigma _{ik}}{\partial x_{k}}}-f_{i}=0\qquad {\text{for }}i=1,2,3$

записаны с использованием обозначений Эйнштейна , так как в дальнейшем развитии обычные граничные условия на $\scriptstyle \partial A\setminus \Sigma$

(2)      $\qquad \sigma _{ik}n_{k}-g_{i}=0\qquad {\text{for }}i=1,2,3$

и следующие два набора граничных условий на $\Sigma$, где $\scriptstyle {\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {u}})$ – тензор напряжений Коши . Очевидно, что объемные силы и поверхностные силы не могут быть заданы произвольным образом, но они должны удовлетворять условию, позволяющему телу достичь равновесной конфигурации: это условие будет выведено и проанализировано в последующих разработках.

Неоднозначные граничные условия

Если $\scriptstyle {\boldsymbol {\tau }}=(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3})$ любой касательный вектор к контактов множеству $\Sigma$, то неоднозначные граничные условия в каждой точке этого множества выражаются следующими двумя системами неравенств

(3)      $\quad {\begin{cases}u_{i}n_{i}&=0\\\sigma _{ik}n_{i}n_{k}&\geq 0\\\sigma _{ik}n_{i}\tau _{k}&=0\end{cases}}$     или       (4)      ${\begin{cases}u_{i}n_{i}&>0\\\sigma _{ik}n_{i}n_{k}&=0\\\sigma _{ik}n_{i}\tau _{k}&=0\end{cases}}$

Разберем их значение:

• Каждый набор условий состоит из трех отношений , равенств или неравенств , причем все вторые члены являются нулевой функцией .
• Величины направленной члене каждого первого соотношения пропорциональны норме . компоненты в первом вектора перемещения, вдоль вектора нормали $n$.
• Величины в первом члене каждого второго соотношения пропорциональны норме компоненты вектора напряженности, направленной вдоль вектора нормали. $n$,
• Величины в первом члене каждого третьего соотношения пропорциональны норме компоненты вектора напряженности вдоль любого вектора $\tau$ касательная в данной точке к контактному множеству $\Sigma$.
• Величины в первом члене каждого из трех отношений положительны, если они имеют одинаковый смысл вектора , которому они пропорциональны , и отрицательны в противном случае, поэтому константы пропорциональности соответственно равны $\scriptstyle +1$ и $\scriptstyle -1$.

Зная эти факты, совокупность условий (3) применима к точкам границы контактного тела, не выходящим за пределы множества . $\Sigma$ в равновесной конфигурации , поскольку согласно первому соотношению вектор смещения $u$ не имеет компонент, направленных как вектор нормали $n$, а согласно второму соотношению вектор напряженности может иметь компоненту, направленную как вектор нормали $n$ и имеющий тот же смысл . Аналогичным образом набор условий (4) распространяется на точки границы тела, выходящие из этого множества в равновесной конфигурации, поскольку вектор смещения $u$ имеет компоненту, направленную как вектор нормали $n$, а вектор напряженности не имеет компонент, направленных как вектор нормали $n$. Для обоих наборов условий вектор натяжения не имеет касательной к множеству контактов в соответствии с гипотезой о том, что тело покоится на жесткой поверхности без трения .

Каждая система выражает односторонние ограничения в том смысле, что они выражают физическую невозможность упругого тела проникнуть в поверхность, на которой оно покоится: неоднозначность заключается не только в неизвестных значениях, которым ненулевые величины должны удовлетворять на контактном множестве, но и в в том, что априори неизвестно, удовлетворяет ли точка, принадлежащая этому множеству, системе граничных условий (3) или (4) . Совокупность точек, в которых выполняется (3), называется площадью опоры упругого тела на $\Sigma$, в то время как его дополнение относительно $\Sigma$ называется областью разделения .

Приведенная выше формулировка является общей, поскольку тензор напряжений Коши , т. е. материальное уравнение упругого тела, не был явно выражен: она одинаково справедлива, предполагая гипотезу линейной упругости или гипотезу нелинейной упругости . Однако, как станет ясно из следующих событий, проблема по своей сути нелинейна , поэтому предположение о линейном тензоре напряжений не упрощает проблему .

Вид тензора напряжений в формулировке Синьорини и Фичеры

Форма, принятая Синьорини и Фичерой для упругой потенциальной энергии , следующая (как и в предыдущих разработках, обозначения Эйнштейна приняты ):

$W({\boldsymbol {\varepsilon }})=a_{ik,jh}({\boldsymbol {x}})\varepsilon _{ik}\varepsilon _{jh}$

где

• $\scriptstyle {\boldsymbol {a}}({\boldsymbol {x}})=\left(a_{ik,jh}({\boldsymbol {x}})\right)$ тензор упругости
• $\scriptstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}({\boldsymbol {u}})=\left(\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {u}})\right)=\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}\right)\right)$ – тензор бесконечно малых деформаций

Таким образом, тензор напряжений Коши имеет следующий вид

(5)      $\sigma _{ik}=-{\frac {\partial W}{\partial \varepsilon _{ik}}}\qquad {\text{for }}i,k=1,2,3$

и он линейен по отношению к компонентам тензора бесконечно малых деформаций; однако он не является ни однородным , ни изотропным .

Решение проблемы

Что касается раздела о формальной постановке проблемы Синьорини, то содержание этого раздела и включенных в него подразделов близко соответствует трактовке Гаэтано Фичеры в Fichera 1963 , Fichera 1964b , Fichera 1972 , а также Fichera 1995 : очевидно, изложение сосредоточено на не технические подробности, а основные этапы доказательства существования и единственности решения задачи (1) , (2) , (3) , (4) и (5) .

Потенциальная энергия

Первым шагом анализа Фичеры, а также первым шагом анализа Антонио Синьорини в Signorini 1959 является анализ потенциальной энергии , то есть следующего функционала

(6)       $I({\boldsymbol {u}})=\int _{A}W({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {\varepsilon }})\mathrm {d} x-\int _{A}u_{i}f_{i}\mathrm {d} x-\int _{\partial A\setminus \Sigma }u_{i}g_{i}\mathrm {d} \sigma$

где $u$ принадлежит множеству перемещений допустимых $\scriptstyle {\mathcal {U}}_{\Sigma }$ т.е. набор векторов перемещений, удовлетворяющих системе граничных условий (3) или (4) . Значение каждого из трех терминов следующее.

• первый — полная упругая потенциальная энергия упругого тела
• второй — это полная потенциальная энергия , обусловленная массовыми силами , например силой гравитации.
• третий — это потенциальная энергия, обусловленная поверхностными силами , например силами, оказываемыми атмосферным давлением.

Синьорини (1959 , стр. 129–133) смог доказать, что допустимое смещение $u$ которые минимизируют интеграл $I(u)$ является решением задачи с неоднозначными граничными условиями (1) , (2) , (3) , (4) и (5) , если это $C^{1}$ функция поддерживается при замыкании $\scriptstyle {\bar {A}}$ из набора $A$: однако Гаэтано Фичера привел класс контрпримеров в ( Fichera 1964b , стр. 619–620), показывающих, что в целом допустимые смещения негладкие функции этого класса. Поэтому Фичера пытается минимизировать функционал (6) в более широком функциональном пространстве : при этом он сначала вычисляет первую вариацию (или функциональную производную ) данного функционала в окрестности искомого минимизирующего допустимое смещение $\scriptstyle {\boldsymbol {u}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }$, а затем требует, чтобы оно было больше или равно нулю

$\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}I({\boldsymbol {u}}+t{\boldsymbol {v}})\right\vert _{t=0}=-\int _{A}\sigma _{ik}({\boldsymbol {u}})\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {v}})\mathrm {d} x-\int _{A}v_{i}f_{i}\mathrm {d} x-\int _{\partial A\setminus \Sigma }\!\!\!\!\!v_{i}g_{i}\mathrm {d} \sigma \geq 0\qquad \forall {\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }$

Определение следующих функционалов

$B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})=-\int _{A}\sigma _{ik}({\boldsymbol {u}})\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {v}})\mathrm {d} x\qquad {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }$

и

$F({\boldsymbol {v}})=\int _{A}v_{i}f_{i}\mathrm {d} x+\int _{\partial A\setminus \Sigma }\!\!\!\!\!v_{i}g_{i}\mathrm {d} \sigma \qquad {\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }$

предыдущее неравенство можно записать как

(7)       $B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})-F({\boldsymbol {v}})\geq 0\qquad \forall {\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }$

Это неравенство является вариационным неравенством для задачи Синьорини .

См. также

• Линейная эластичность
• Вариационное неравенство

Ссылки

Исторические справки

• Антман, Стюарт (1983), «Влияние эластичности в анализе: современные разработки» , Бюллетень Американского математического общества , 9 (3): 267–291, doi : 10.1090/S0273-0979-1983-15185-6 , MR   0714990 , Збл   0533.73001 .
• Дюво, Жорж (1971), «Односторонние проблемы в механике сплошных сред» (PDF) , Труды Международного конгресса математиков, 1970 , ICM Proceedings , vol. Прикладная математика (E), история и преподавание (F) – Том 3, Париж : Готье-Виллар , стр. 71–78 . Краткий исследовательский обзор, описывающий область вариационных неравенств.
• Фичера, Гаэтано (1972), «Краевые задачи упругости с односторонними ограничениями», во Флюгге, Зигфрид ; Трусделл, Клиффорд А. (ред.), Festkörpermechanik/Mechanics of Solids , Handbuch der Physik (Энциклопедия физики), vol. VIa/2 (изд. в мягкой обложке, 1984 г.), Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 391–424, ISBN  0-387-13161-2 , Збл   0277.73001 . Энциклопедическую статью о задачах с односторонними ограничениями (класс краевых задач, к которому относится задача Синьорини) он написал для Handbuch der Physik по приглашению Клиффорда Трусделла .
• Фичера, Гаэтано (1995), «Рождение теории вариационных неравенств, вспоминаемое спустя тридцать лет», итало-испанское научное собрание. Рим, 21 октября 1993 г. , Proceedings of the Lincei Conferences (на итальянском языке), vol. 114, Рим : Национальная академия Линчеи , стр. 47–53 . Рождение теории вариационных неравенств, вспоминаемое тридцать лет спустя (английский перевод названия статьи), представляет собой историческую статью, описывающую зарождение теории вариационных неравенств с точки зрения ее основателя.
• Фичера, Гаэтано (2002), Исторические ( , биографические, распространяющие работы на итальянском языке), Неаполь : Джаннини, стр. 491 . Том, в котором собраны почти все работы Гаэтано Фичеры в области истории математики и научного распространения.
• Гаэтано (2004), произведения Избранные Фичера , , Флоренция : Edizioni Cremonese (распространяется Unione Matematica Italiana ), стр. XXIX+432 (т. 1), стр. VI+570 (т. 2), стр. VI+583 (том 3), заархивировано из оригинала 28 декабря 2009 г. , ISBN   88-7083-811-0 (т. 1), ISBN   88-7083-812-9 (т. 2), ISBN   88-7083-813-7 (т. 3). Три тома, в которых собраны наиболее важные математические статьи Гаэтано Фичеры, с биографическим очерком Ольги А. Олейник .
• Антонио (1991), произведения Избранные Синьорини , , Флоренция : Edizioni Cremonese (распространяется Unione Matematica Italiana ), стр. XXXI + 695, заархивировано из оригинала 28 декабря 2009 г. Том, в котором собраны наиболее важные произведения Антонио Синьорини, с введением и комментариями Джузеппе Гриоли .

Исследовательские работы

• Андерссон, Джон (2016), «Оптимальная регулярность задачи Синьорини и ее свободной границы», Inventiones Mathematicae , 1 (1): 1–82, arXiv : 1310.2511 , Bibcode : 2016InMat.204....1A , doi : 10.1007 /s00222-015-0608-6 , MR   3480553 , S2CID   118934322 , Збл   1339,35345 .
• Фичера, Гаэтано (1963), «Об упругостатической задаче Синьорини с неоднозначными граничными условиями» , Отчеты Национальной академии Линчеи, Класс физических, математических и естественных наук , 8 (на итальянском языке), 34 (2): 138– 142, МР   0176661 , Збл   0128.18305 . Краткая исследовательская заметка, анонсирующая и описывающая (без доказательств) решение проблемы Синьорини.
• Фичера, Гаэтано (1964a), «Эластостатические задачи с односторонними ограничениями: проблема Синьорини с неоднозначными граничными условиями», Мемуары Национальной академии наук Линчеи, Класс наук Fisiche, Matematiche e Naturali , 8 (на итальянском языке), 7 (2) : 91–140, Збл   0146.21204 . Первая статья, в которой доказана теорема существования и единственности задачи Синьорини.
• Фичера, Гаэтано (1964b), «Эластостатические задачи с односторонними ограничениями: проблема Синьорини с неоднозначными граничными условиями», Seminari dell'Istituto Nazionale di Alta Matematica 1962–1963 , Рим : Edizioni Cremonese, стр. 613–679 . Английский перевод предыдущей статьи.
• Петросян, Аршак; Шаххолян, Генрик; Уральцева, Нина (2012), Регулярность свободных границ в задачах типа препятствий , Аспирантура по математике, вып. 136, Провиденс, Род-Айленд : Американское математическое общество , стр. x + 221, ISBN.  978-0-8218-8794-3 , МР   2962060 , Збл   1254.35001 .
• Синьорини, Антонио (1959), «Вопросы нелинейной и полулинеаризованной упругости» [Темы нелинейной и полулинейной упругости], Rendiconti di Matematica e delle sua Applicazioni , 5 (на итальянском языке), 18 : 95–139, Zbl   0091.38006 .

Внешние ссылки

• Барбу, В. (2001) [1994], «Проблема Синьорини» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Алессио Фигалли, О глобальных однородных решениях проблемы Синьорини ,