Проблема с препятствиями

Проблема с препятствиями — классический мотивирующий пример в математическом исследовании вариационных неравенств и задач со свободной границей . Задача состоит в том, чтобы найти равновесия положение эластичной мембраны , граница которой зафиксирована и которая вынуждена находиться над данным препятствием. Это глубоко связано с изучением минимальных поверхностей , а емкости множеств в теории потенциала также . Приложения включают исследование фильтрации жидкости в пористых средах, ограниченный нагрев, упругопластичность, оптимальное управление и финансовую математику.

Математическая постановка задачи заключается в поиске минимизаторов энергетического функционала Дирихле :

$\displaystyle J=\int _{D}|\nabla u|^{2}\mathrm {d} x$

в некоторых доменах $D$ где функции $u$ представляют собой вертикальное смещение мембраны. Помимо удовлетворения граничным условиям Дирихле, соответствующим неподвижной границе мембраны, функции $u$ кроме того, они должны быть больше некоторой заданной препятствия функции $\phi (x)$. Решение разбивается на область, где решение равно функции препятствия, известную как контактное множество, и область, где решение находится над препятствием. Граница между двумя регионами является свободной границей.

В общем, решение является непрерывным и обладает липшицевыми первыми производными, но решение обычно разрывно по вторым производным через свободную границу. Свободная граница характеризуется как гельдеровская непрерывная поверхность, за исключением некоторых особых точек, которые находятся на гладком многообразии.

Историческая справка

Некоторое время спустя Стампаккья, всегда исходивший из своего вариационного неравенства, открыл новую область исследований, которая оказалась важной и плодотворной. Это то, что сейчас называют проблемой препятствий .

— Сандро Фаэдо , ( Фаэдо 1986 , стр. 107)

Проблемы с мотивацией

Форма мембраны над препятствием

Проблема препятствий возникает, когда рассматривается форма, которую принимает мыльная пленка в области, граничное положение которой фиксировано (см. проблему Плато ), с дополнительным ограничением, заключающимся в том, что мембрана вынуждена лежать над некоторым препятствием. $\phi (x)$ и внутри домена. В этом случае функционалом энергии, который необходимо минимизировать, является интеграл площади поверхности, или

$\displaystyle J(u)=\int _{D}{\sqrt {1+|\nabla u|^{2}}}\,\mathrm {d} x.$

Эту проблему можно линеаризовать в случае малых возмущений, разложив функционал энергии в ряд Тейлора и взяв только первый член, и в этом случае энергия, которую необходимо минимизировать, является стандартной энергией Дирихле.

$\displaystyle J(u)=\int _{D}|\nabla u|^{2}\mathrm {d} x.$

Оптимальная остановка

Проблема препятствий возникает и в теории управления , а именно вопрос о нахождении оптимального момента остановки случайного процесса с функцией выигрыша. $\phi (x)$.

В простом случае, когда процесс представляет собой броуновское движение и процесс вынужден остановиться при выходе из области, решение $u(x)$ задачи о препятствиях можно охарактеризовать как ожидаемое значение выигрыша, начиная процесс с $x$, если следовать оптимальной стратегии остановки. Критерий остановки заключается в том, что необходимо остановиться при достижении контактной группы .

Официальное заявление

Предположим, даны следующие данные:

1. открытая ​ ограниченная область $D\in \mathbb {R} ^{n}$ с гладкой границей
2. функция плавная $f(x)$ на $\partial D$ ( граница г. $D$)
3. плавная функция $\varphi (x)$ определено на всех $D$ такой, что $\varphi |_{\partial D}<f$, то есть ограничение $\varphi (x)$ до границы $D$ (его след ) меньше, чем $f$.

Затем рассмотрим набор

$\displaystyle K=\left\{u(x)\in H^{1}(D):u|_{\partial D}=f(x){\text{ and }}u\geq \varphi \right\},$

которое представляет собой замкнутое выпуклое подмножество пространства Соболева с квадратом интегрируемых функций с интегрируемыми с квадратом слабыми первыми производными , содержащее именно те функции с искомыми граничными условиями, которые также находятся над препятствием. Решением задачи о препятствиях является функция, минимизирующая интеграл энергии

$\displaystyle J(u)=\int _{D}|\nabla u|^{2}\mathrm {d} x$

по всем функциям $u(x)$ принадлежащий $K$; существование такого минимизатора обеспечивается соображениями теории гильбертового пространства .

формулировки

неравенство

Смотрите также: Вариационное неравенство

Проблему с препятствиями можно переформулировать как стандартную задачу теории вариационных неравенств в гильбертовых пространствах . Ищем в наборе минимизатор энергии $K$ подходящих функций эквивалентно поиску

$\displaystyle u\in K$ такой, что $\int _{D}\langle {\nabla u},{\nabla (v-u)}\rangle \mathrm {d} x\geq 0\qquad \forall v\in K,$

где $\langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ - обычное скалярное произведение в конечномерном действительном векторном пространстве. $\mathbb {R} ^{n}$. Это частный случай более общего вида вариационных неравенств в гильбертовых пространствах, решениями которых являются функции $u$ в некотором замкнутом выпуклом подмножестве $K$ всего пространства, так что

$\displaystyle a(u,v-u)\geq f(v-u)\qquad \forall v\in K.\,$

для принудительных вещественных ограниченных билинейных ​ форм $a(u,v)$ и ограниченные линейные функционалы $f(v)$.

супергармоническая

См. также: Супергармоническая функция и решение вязкости.

Вариационный аргумент показывает, что вне набора контактов решение проблемы с препятствиями является гармоническим. Аналогичный аргумент, ограничивающийся положительными вариациями, показывает, что решение является супергармоническим на контактном множестве. Вместе эти два аргумента означают, что решение представляет собой супергармоническую функцию.

Фактически, применение принципа максимума тогда показывает, что решением проблемы с препятствием является наименее супергармоничная функция из множества допустимых функций.

Свойства регулярности

Решение одномерной задачи о препятствиях. Обратите внимание, что решение остается супергармоническим (вогнутым в одномерном пространстве) и сопоставляет производные с препятствием (которым является $C^{1,1}$ состояние)

регулярность

Решение проблемы с препятствиями $C^{1,1}$ регулярность, или ограниченные вторые производные , когда само препятствие обладает этими свойствами. решения Точнее, модуль непрерывности и модуль непрерывности его производной связаны с модулем непрерывности препятствия.

1. Если препятствие $\phi (x)$ имеет модуль непрерывности $\sigma (r)$, то есть $|\phi (x)-\phi (y)|\leq \sigma (|x-y|)$, то решение $u(x)$ имеет модуль непрерывности, определяемый выражением $C\sigma (2r)$, где константа зависит только от области, а не от препятствия.
2. Если первая производная препятствия имеет модуль непрерывности $\sigma (r)$, то первая производная решения имеет модуль непрерывности, определяемый выражением $Cr\sigma (2r)$, где константа снова зависит только от области определения.

Поверхности уровня и свободная граница

С учетом условия вырождения множества уровней разности между решением и препятствием $\{x:u(x)-\phi (x)=t\}$ для $t>0$ являются $C^{1,\alpha }$ поверхности. Свободная граница, которая является границей множества, где решение встречается с препятствием, также является $C^{1,\alpha }$ за исключением набора особых точек, которые сами либо изолированы, либо локально содержатся на некоторой $C^{1}$ многообразие.

Обобщения

Теория задачи о препятствиях распространена на другие дивергентные формы равномерно эллиптических операторов : и связанные с ними энергетические функционалы. Его также можно обобщить на вырождающиеся эллиптические операторы.

Также представляет интерес задача двойного препятствия, когда функция вынуждена находиться выше одной функции препятствия и ниже другой.

Проблема Синьорини представляет собой вариант задачи о препятствиях, в которой функционал энергии минимизируется при условии ограничения, которое существует только на поверхности одного меньшего измерения, что включает в себя задачу о граничных препятствиях , где ограничение действует на границе области.

, Объектом исследования также являются параболические нестационарные случаи задачи о препятствиях и ее варианты.

См. также

• Минимальная поверхность
• Вариационное неравенство
• Джентльмены, проблема

Исторические справки

• Фаэдо, Сандро (1986), «Леонида Тонелли и математическая школа Пизана», в Монталенти, Г.; Америо, Л .; Аккуаро, Г.; Байада, Э.; и др. (ред.), Convegno celebrativo del centenario della nascita di Mauro Picone e Leonida Tonelli (6–9 дней 1985 г.) , Atti dei Convegni Lincei (на итальянском языке), vol. 77, Roma: Accademia Nazionale dei Lincei , стр. 89–109, заархивировано из оригинала 23 февраля 2011 г. , получено 12 февраля 2013 г. « Леонида Тонелли и Пизанская математическая школа » представляет собой обзор работы Тонелли в Пизе и его влияние на развитие школы, представленный на Международном конгрессе по случаю празднования столетия со дня рождения Мауро Пиконе и Леониды Тонелли. (состоялся в Риме 6–9 мая 1985 г.). Автор был одним из его учеников и после его смерти занимал кафедру математического анализа в Пизанском университете , став деканом факультета естественных наук, а затем ректором: он оказал сильное положительное влияние на развитие университета.

Ссылки

• Каффарелли, Луис (июль 1998 г.), «Возвращение к проблеме препятствий», Журнал анализа и приложений Фурье , 4 (4–5): 383–402, doi : 10.1007/BF02498216 , MR   1658612 , S2CID   123431389 , Zbl   0928.49030
• Эванс, Лоуренс , Введение в стохастические дифференциальные уравнения (PDF) , стр. 130 , получено 11 июля 2011 г. Сборник конспектов лекций, " без особых точных подробностей излагаются основы теории вероятностей, случайные дифференциальные уравнения и некоторые приложения ". в котором , как утверждает сам автор,
• Фрезе, Йенс (1972), «О регулярности решения вариационного неравенства второго порядка», Bolletino della Unione Matematica Italiana , Serie IV, vol. 6, стр. 312–315, МР   0318650 , Збл   0261.49021 .
• Фридман, Авнер (1982), Вариационные принципы и проблемы со свободными границами , Чистая и прикладная математика, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , стр. ix+710, ISBN  0-471-86849-3 , МР   0679313 , Збл   0564.49002 .
• Киндерлерер, Дэвид ; Стампаккья, Гвидо (1980), Введение в вариационные неравенства и их приложения , Чистая и прикладная математика, том. 88, Нью-Йорк: Academic Press , стр. xiv+313, ISBN.  0-12-407350-6 , МР   0567696 , Збл   0457.35001
• Петросян, Аршак; Шаххолян, Генрих; Уральцева, Нина (2012), Регулярность свободных границ в задачах типа препятствий. Аспирантура по математике , Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, ISBN  978-0-8218-8794-3

Внешние ссылки

• Каффарелли, Луис (август 1998 г.), Проблема препятствий (PDF) , черновик из лекций Ферми , стр. 45 , получено 11 июля 2011 г. , доставлено автором в Scuola Normale Superiore в 1998 г.