Вязкостный раствор

В математике концепция решения вязкости была введена в начале 1980-х годов Пьером-Луи Лионсом и Майклом Г. Крэндаллом как обобщение классической концепции того, что подразумевается под «решением» уравнения в частных производных (УЧП). Было обнаружено, что решение вязкости является естественной концепцией решения, которую можно использовать во многих приложениях УЧП, включая, например, уравнения первого порядка, возникающие в динамическом программировании ( уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана ), дифференциальные игры (уравнение Гамильтона-Якоби-Айзекса уравнение ) или задачи эволюции фронта, а также уравнения второго порядка, например, возникающие в стохастическом оптимальном управлении или стохастических дифференциальных играх.

Классическая концепция заключалась в том, что PDE

$F(x,u,Du,D^{2}u)=0$

через домен $x\in \Omega$ имеет решение, если мы можем найти функцию u ( x ), непрерывную и дифференцируемую во всей области, такую, что $x$, $u$, $Du$, $D^{2}u$ удовлетворять приведенному выше уравнению в каждой точке.

Если скалярное уравнение является вырожденным эллиптическим (определено ниже), можно определить тип слабого решения, называемого вязкостным решением .Согласно концепции вязкостного решения, u не обязательно должно быть всюду дифференцируемым. Могут быть моменты, когда либо $Du$ или $D^{2}u$ не существует, и тем не менее u удовлетворяет уравнению в подходящем обобщенном смысле. Определение допускает только определенные виды особенностей, так что существование, единственность и устойчивость в равномерных пределах справедливы для большого класса уравнений.

Определение

Существует несколько эквивалентных способов сформулировать определение вязкости растворов. См., например, раздел II.4 книги Флеминга и Сонера. или определение с использованием полужиклеров в Руководстве пользователя.

Вырожденный эллиптический

Уравнение $F(x,u,Du,D^{2}u)=0$ в домене $\Omega$ определяется как вырожденная эллиптическая , если для любых двух симметричных матриц $X$ и $Y$ такой, что $Y-X$ положительно определена , и любые значения $x\in \Omega$, $u\in \mathbb {R}$ и $p\in \mathbb {R} ^{n}$, имеем неравенство $F(x,u,p,X)\geq F(x,u,p,Y)$. Например, $-\Delta u=0$ (где $\Delta$ обозначает лапласиан ) вырожденный эллиптический, так как в этом случае $F(x,u,p,X)=-{\text{trace}}(X)$, след и $X$ есть сумма его собственных значений. Любое вещественное уравнение первого порядка является вырождающимся эллиптическим.

Вязкость субрастворения

Полунепрерывная сверху функция $u$ в $\Omega$ определяется как субрешение приведенного выше вырождающегося эллиптического уравнения в смысле вязкости, если для любой точки $x_{0}\in \Omega$ и любой $C^{2}$ функция $\phi$ такой, что $\phi (x_{0})=u(x_{0})$ и $\phi \geq u$ в районе ​ $x_{0}$, у нас есть $F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\leq 0$.

Суперрешение по вязкости

Полунепрерывная снизу функция $u$ в $\Omega$ определяется как суперрешение приведенного выше вырождающегося эллиптического уравнения в смысле вязкости, если для любой точки $x_{0}\in \Omega$ и любой $C^{2}$ функция $\phi$ такой, что $\phi (x_{0})=u(x_{0})$ и $\phi \leq u$ в районе ​ $x_{0}$, у нас есть $F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\geq 0$.

Вязкостный раствор

Непрерывная функция u является вязкостным решением УЧП $F(x,u,Du,D^{2}u)=0$ в $\Omega$ если это одновременно и сверхрешение, и субрешение. Заметим, что граничные условия в смысле вязкости здесь не обсуждались.

Пример

Рассмотрим краевую задачу $|u'(x)|=1$, или $F(u')=|u'|-1=0$, на $(-1,1)$ с граничными условиями $u(-1)=u(1)=0$. Тогда функция $u(x)=1-|x|$ представляет собой раствор вязкости.

Действительно, заметим, что граничные условия выполняются классически и $|u'(x)|=1$ четко выражен внутри, за исключением $x=0$. Таким образом, осталось показать, что условия вязкостного субрастворения и вязкостного сверхрешения выполняются при $x=0$. Предположим, что $\phi (x)$ дифференцируема ли любая функция в $x=0$ с $\phi (0)=u(0)=1$ и $\phi (x)\geq u(x)$ около $x=0$. Из этих предположений следует, что $\phi (x)-\phi (0)\geq -|x|$. Для позитива $x$, из этого неравенства следует $\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\phi (x)-\phi (0)}{x}}\geq -1$, используя это $|x|/x=sgn(x)=1$ для $x>0$. С другой стороны, для $x<0$, у нас это есть $\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {\phi (x)-\phi (0)}{x}}\leq 1$. Потому что $\phi$ дифференцируема, левый и правый пределы совпадают и равны $\phi '(0)$, и поэтому мы заключаем, что $|\phi '(0)|\leq 1$, то есть, $F(\phi '(0))\leq 0$. Таким образом, $u$ является вязкостным субрастворением. Более того, тот факт, что $u$ является суперрешением, выполняется бессмысленно, поскольку не существует функции $\phi (x)$ дифференцируемый в $x=0$ с $\phi (0)=u(0)=1$ и $\phi (x)\leq u(x)$ около $x=0$. Это означает, что $u$ представляет собой раствор вязкости.

Фактически, можно доказать, что $u$ является уникальным решением такой проблемы с вязкостью. Часть уникальности включает в себя более тонкий аргумент.

Обсуждение

Семейство решений $u_{\epsilon }$ сходящиеся к $u(x)=1-|x|$.

Предыдущая краевая задача представляет собой уравнение эйконала в одном пространственном измерении с $f=1$, где решением, как известно, является функция расстояния со знаком до границы области. Обратите внимание также в предыдущем примере на важность знака $F$. В частности, решение вязкости для УЧП $-F=0$ с теми же граничными условиями $u(x)=|x|-1$. Это можно объяснить, заметив, что решение $u(x)=1-|x|$ является предельным решением проблемы исчезающей вязкости $F(u')=[u']^{2}-1=\epsilon u''$ как $\epsilon$ стремится к нулю, в то время как $u(x)=|x|-1$ является предельным решением проблемы исчезающей вязкости $-F(u')=1-[u']^{2}=\epsilon u''$. Можно легко подтвердить, что $u_{\epsilon }(x)=\epsilon [\ln(\cosh(1/\epsilon ))-\ln(\cosh(x/\epsilon ))]$ решает УЧП $F(u')=[u']^{2}-1=\epsilon u''$ для каждого $\epsilon >0$. Далее, семейство решений $u_{\epsilon }$ сходится к решению $u=1-|x|$ как $\epsilon$ исчезает (см. рисунок).

Основные свойства

Тремя основными свойствами вязкостных растворов являются существование , единственность и стабильность .

• Единственность решений требует некоторых дополнительных структурных предположений относительно уравнения. Однако это можно показать для очень широкого класса вырождающихся эллиптических уравнений. Это прямое следствие принципа сравнения . Вот несколько простых примеров, где справедлив принцип сравнения:

1. $u+H(x,\nabla u)=0$ с H равномерно непрерывным по обеим переменным.
2. (Равномерно эллиптический случай) $F(D^{2}u,Du,u)=0$ так что $F$ является липшицевым относительно всех переменных и для любого $r\leq s$ и $X\geq Y$, $F(Y,p,s)\geq F(X,p,r)+\lambda ||X-Y||$ для некоторых $\lambda >0$.

• Существование решений справедливо во всех случаях , когда справедлив принцип сравнения и граничные условия могут быть каким-либо образом реализованы (через барьерные функции в случае граничного условия Дирихле ). Для уравнений первого порядка ее можно получить методом вязкости исчезающей или для большинства уравнений с использованием метода Перрона. Существует обобщенное понятие граничных условий в смысле вязкости . Решение краевой задачи с обобщенными граничными условиями разрешимо при выполнении принципа сравнения.
• Устойчивость решений в $L^{\infty }$ справедливо следующее: локально равномерный предел последовательности решений (или субрешений, или суперрешений) есть решение (или субрешение, или суперрешение). В более общем смысле, понятия вязкости суб- и сверхрешения также сохраняются в полуослабленных пределах.

История

Термин « решения вязкости» впервые появляется в работе Майкла Г. Крэндалла и Пьера-Луи Лионса в 1983 году, посвященной уравнению Гамильтона – Якоби. Название оправдано тем, что существование решений было получено методом исчезающей вязкости . Определение решения фактически было дано ранее Лоуренсом К. Эвансом в 1980 году. Впоследствии определение и свойства вязкостных решений уравнения Гамильтона – Якоби были уточнены в совместной работе Крэндалла, Эванса и Лайонса в 1984 году.

В течение нескольких лет работа над решениями вязкости была сосредоточена на уравнениях первого порядка, поскольку не было известно, будут ли эллиптические уравнения второго порядка иметь единственное решение вязкости, за исключением очень частных случаев. Прорывной результат пришел с методом, предложенным Робертом Дженсеном в 1988 году для доказательства принципа сравнения с использованием регуляризованной аппроксимации решения, которое имеет вторую производную почти всюду (в современных версиях доказательства это достигается с помощью суп-сверток и теоремы Александрова ). .

В последующие годы концепция решения вязкости стала все более распространенной при анализе вырожденных эллиптических УЧП. Основываясь на их свойствах устойчивости, Барлз и Суганидис получили очень простое и общее доказательство сходимости конечно-разностных схем. Дальнейшие свойства регулярности решений вязкости были получены, особенно в равномерно эллиптическом случае, в работе Луиса Каффарелли . Решения по вязкости стали центральной концепцией при изучении эллиптического PDE. В частности, решения вязкости необходимы при изучении бесконечного лапласиана.

В современном подходе существование решений получается чаще всего с помощью метода Перрона . Метод исчезающей вязкости вообще непрактичен для уравнений второго порядка, поскольку добавление искусственной вязкости не гарантирует существования классического решения. Более того, определение вязкости растворов обычно не включает физическую вязкость. Тем не менее, хотя теорию вязкостных растворов иногда считают не связанной с вязкими жидкостями , безвихревые жидкости действительно могут быть описаны уравнением Гамильтона-Якоби. В этом случае вязкость соответствует объемной вязкости безвихревой несжимаемой жидкости.Другие названия, которые были предложены, были решения Крэндалла – Лайонса в честь их пионеров. $L^{\infty }$-слабые решения , относящиеся к их свойствам устойчивости, или решения сравнения , относящиеся к их наиболее характерным свойствам.