Проблема Плато

В математике Жозефом задача Плато состоит в том, чтобы показать существование минимальной поверхности с заданной границей, проблема, поднятая -Луи Лагранжем в 1760 году. Однако она названа в честь Жозефа Плато, который экспериментировал с мыльными пленками . Задача считается частью вариационного исчисления . Проблемы существования и регулярности являются частью геометрической теории меры .

История

Были решены различные специализированные формы проблемы, но только в 1930 году общие решения в контексте отображений (погружений) были найдены независимо Джесси Дугласом и Тибором Радо . Их методы были совершенно разными; Работа Радо основывалась на предыдущей работе Рене Гарнье и справедлива только для спрямляемых простых замкнутых кривых, тогда как Дуглас использовал совершенно новые идеи, и его результат справедлив для произвольной простой замкнутой кривой. Оба полагались на постановку задач минимизации; Дуглас минимизировал ныне называемый интеграл Дугласа, а Радо минимизировал «энергию». В 1936 году за свои усилия Дуглас был награжден медалью Филдса .

В высших измерениях

Распространение задачи на более высокие размерности (т.е. для $k$ -мерные поверхности в $n$ -мерное пространство) оказывается гораздо труднее для изучения. Более того, хотя решения исходной задачи всегда регулярны, оказывается, что решения расширенной задачи могут иметь особенности, если $k\leq n-2$ . В случае гиперповерхности , когда $k=n-1$ особенности возникают только для $n\geq 8$ . Примером такого сингулярного решения проблемы Плато является конус Саймонса , конус над $S^{3}\times S^{3}$ в $\mathbb {R} ^{8}$ который был впервые описан Джимом Саймонсом и показан как минимизатор площади Бомбьери , Де Джорджи и Джусти . ^{[ 1 ]} Для решения расширенной задачи в некоторых частных случаях теория периметров ( Де Джорджи ) для коразмерности 1 и теория выпрямляемых токов ( Федерер разработаны и Флеминг) для более высокой коразмерности. Теория гарантирует существование решений коразмерности 1, гладких вдали от замкнутого множества хаусдорфовой размерности. $n-8$ . В случае более высокой коразмерности Альмгрен доказал существование решений с сингулярным множеством размерности не более $k-2$ в его теореме о регулярности . С.С. Чанг, а. ученик Альмгрена, основанный на работе Альмгрена, чтобы показать, что особенности двумерной области минимизирующие интегральные токи (в произвольной коразмерности) образуют конечное дискретное множество. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

Аксиоматический подход Дженни Харрисон и Харрисона Пью ^{[ 4 ]} рассматривает широкий спектр особых случаев. В частности, они решают проблему анизотропного Плато в произвольной размерности и коразмерности для любого набора спрямляемых множеств, удовлетворяющих комбинации общих гомологических, когомологических или гомотопических условий охвата. Иные доказательства результатов Харрисона-Пью были получены Камилло Де Леллисом , Франческо Гиральдином и Франческо Магги . ^{[ 5 ]}

Физические приложения

Пленки физического мыла более точно моделируются методом $(M,0,\Delta )$ -минимальные множества Фредерика Альмгрена , но отсутствие теоремы о компактности затрудняет доказательство существования минимизатора площади. В этом контексте постоянным открытым вопросом остается существование мыльной пленки наименьшей площади. Эрнст Роберт Райфенберг решил такую «универсальную проблему Плато» для границ, гомеоморфных одиночным вложенным сферам.

См. также

Ссылки

^ Бомбьери, Энрико; Де Джорджи, Энний; Джусти, Энрико (1969), «Минимальные конусы и проблема Бернштейна», Mathematical Inventions , 7 (3): 243–268, Bibcode : 1969InMat...7..243B , doi : 10.1007/BF01404309 , S2CID 59816096
^ Чанг, Шелдон Сюй-Донг (1988), «Двумерная площадь, минимизирующая интегральные токи, представляют собой классические минимальные поверхности», Журнал Американского математического общества , 1 (4): 699–778, doi : 10.2307/1990991 , JSTOR 1990991
^ Де Леллис, Камилло (2016), «Двумерные токи, минимизирующие почти площадь» (PDF) , Bollettino dell'Unione Matematica Italiana , 9 (1): 3–67, doi : 10.1007/s40574-016-0057-1 , MR 3470822
^ Харрисон, Дженни; Пью, Харрисон (2017), «Общие методы эллиптической минимизации», Вариационное исчисление и уравнения в частных производных , 56 (1), arXiv : 1603.04492 , doi : 10.1007/s00526-017-1217-6 , S2CID 119704344
^ Де Леллис, Камилло; Гиральдин, Франческо; Магги, Франческо (2017), «Прямой подход к проблеме Плато» (PDF) , Журнал Европейского математического общества , 19 (8): 2219–2240, doi : 10.4171/JEMS/716 , S2CID 29820759

Дуглас, Джесси (1931). «Решение проблемы Плато» . Пер. амер. Математика. Соц . 33 (1): 263–321. дои : 10.2307/1989472 . JSTOR 1989472 .
Райфенберг, Эрнст Роберт (1960). «Решение проблемы {Плато} для m-мерных поверхностей различного топологического типа» . Акта Математика . 104 (2): 1–92. дои : 10.1007/bf02547186 .
Фоменко А.Т. (1989). Проблема плато: исторический обзор . Уиллистон, ВТ: Гордон и Брич. ISBN 978-2-88124-700-2 .
Морган, Фрэнк (2009). Геометрическая теория меры: руководство для начинающих . Академическая пресса. ISBN 978-0-12-374444-9 .
О'Нил, TC (2001) [1994], «Геометрическая теория меры» , Энциклопедия математики , EMS Press
Радо, Тибор (1930). «О проблеме Плато». Энн. математики . 2. 31 (3): 457–469. Бибкод : 1930АнМат..31..457Р . дои : 10.2307/1968237 . JSTOR 1968237 .
Струве, Майкл (1989). Проблема Плато и вариационное исчисление . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-08510-4 .
Альмгрен, Фредерик (1966). Проблема Плато, приглашение к разнообразной геометрии . Нью-Йорк-Амстердам: Бенджамин. ISBN 978-0-821-82747-5 .

Харрисон, Дженни; Пью, Харрисон (2016). Открытые задачи по математике (проблема Плато) . Спрингер. arXiv : 1506.05408 . дои : 10.1007/978-3-319-32162-2 . ISBN 978-3-319-32160-8 .

Эта статья включает в себя материал из «Проблемы Плато» на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

[1] Бомбьери, Энрико; Де Джорджи, Энний; Джусти, Энрико (1969), «Минимальные конусы и проблема Бернштейна», Mathematical Inventions , 7 (3): 243–268, Bibcode : 1969InMat...7..243B , doi : 10.1007/BF01404309 , S2CID 59816096

[2] Чанг, Шелдон Сюй-Донг (1988), «Двумерная площадь, минимизирующая интегральные токи, представляют собой классические минимальные поверхности», Журнал Американского математического общества , 1 (4): 699–778, doi : 10.2307/1990991 , JSTOR 1990991

[3] Де Леллис, Камилло (2016), «Двумерные токи, минимизирующие почти площадь» (PDF) , Bollettino dell'Unione Matematica Italiana , 9 (1): 3–67, doi : 10.1007/s40574-016-0057-1 , MR 3470822

[4] Харрисон, Дженни; Пью, Харрисон (2017), «Общие методы эллиптической минимизации», Вариационное исчисление и уравнения в частных производных , 56 (1), arXiv : 1603.04492 , doi : 10.1007/s00526-017-1217-6 , S2CID 119704344

[5] Де Леллис, Камилло; Гиральдин, Франческо; Магги, Франческо (2017), «Прямой подход к проблеме Плато» (PDF) , Журнал Европейского математического общества , 19 (8): 2219–2240, doi : 10.4171/JEMS/716 , S2CID 29820759

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]