Особая точка алгебраического многообразия

В математической области алгебраической геометрии особой точкой алгебраического многообразия $V$ является точка $P$ , которая является «особой» (то есть сингулярной) в геометрическом смысле, что в этой точке касательное пространство к многообразию не может быть определено правильно. . В случае многообразий, определенных над действительными числами , это понятие обобщает понятие локальной неплоскостности . Точка алгебраического многообразия, не являющаяся особой, называется регулярной . Алгебраическое многообразие, не имеющее особой точки, называется неособым или гладким .

Определение

Плоская кривая, определяемая неявным уравнением

F(x,y)=0

,

где $F$ — гладкая функция , называется сингулярной в некоторой точке, если ряд Тейлора для $F$ имеет порядок не менее $2$ в этой точке.

Причина этого в том, что в касательная в точке $(x0 дифференциальном, y0 исчислении)$ такой кривой определяется уравнением

(x-x_{0})F'_{x}(x_{0},y_{0})+(y-y_{0})F'_{y}(x_{0},y_{0})=0,

левая часть которого представляет собой член первой степени разложения Тейлора. Таким образом, если этот член равен нулю, тангенс не может быть определен стандартным способом либо потому, что он не существует, либо потому, что необходимо предоставить специальное определение.

В общем случае для гиперповерхности

F(x,y,z,\ldots )=0

особые точки — это такие точки, в которых одновременно обращаются в нуль все частные производные . Общее алгебраическое многообразие $V,$ определяемое как общие нули нескольких многочленов , условие того, что точка $P$ из $V$ является особой точкой, состоит в том, что матрица Якоби частных производных первого порядка многочленов имеет ранг в точке $P$ , который равен ниже, чем ранг в других точках сорта.

Точки $V,$ не являющиеся особыми, называются неособыми или регулярными . Всегда верно, что почти все точки неособы, в том смысле, что неособые точки образуют множество, одновременно открытое и плотное в многообразии (для топологии Зарисского , как и для обычной топологии, в многообразии случай многообразий, определенных над комплексными числами ). ^{[ 1 ]}

В случае вещественного многообразия (то есть набора точек с действительными координатами многообразия, определенного многочленами с действительными коэффициентами), многообразие представляет собой многообразие вблизи каждой регулярной точки. Но важно отметить, что вещественное многообразие может быть многообразием и иметь особые точки. Например, уравнение $y 3 + 2x 2 у - х 4 = 0$ определяет вещественное аналитическое многообразие , но имеет особую точку в начале координат. ^{[ 2 ]} Это можно объяснить тем, что кривая имеет две комплексно-сопряженные ветви , которые разрезают реальную ветвь в начале координат.

Особые точки гладких отображений

Поскольку понятие особых точек является чисто локальным свойством, приведенное выше определение можно расширить, чтобы охватить более широкий класс гладких отображений (функций из $M$ в $R н$ где существуют все производные). Анализ этих особых точек можно свести к случаю алгебраического многообразия, рассматривая струи отображения. k $-$ я струя представляет собой ряд Тейлора отображения, усеченный в степени $k$ и удаляющий постоянный член .

Узлы

В классической алгебраической геометрии назывались также некоторые особые особые точки узлами . Узел — это особая точка, в которой матрица Гессе невырождена; это означает, что особая точка имеет кратность два и касательный конус не является особым вне своей вершины.

См. также

Ссылки

^ Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . п. 33. ISBN 978-0-387-90244-9 . МР 0463157 . Збл 0367.14001 .
^ Милнор, Джон (1969). Особые точки комплексных гиперповерхностей . Анналы математических исследований. Том. 61. Издательство Принстонского университета . стр. 12–13. ISBN 0-691-08065-8 .

[1] Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . п. 33. ISBN 978-0-387-90244-9 . МР 0463157 . Збл 0367.14001 .

[2] Милнор, Джон (1969). Особые точки комплексных гиперповерхностей . Анналы математических исследований. Том. 61. Издательство Принстонского университета . стр. 12–13. ISBN 0-691-08065-8 .

[ 1 ]

[ 2 ]