Локальная плоскостность

В топологии , разделе математики , локальная плоскость — это условие гладкости, которое может быть наложено на топологические подмногообразия . В категории топологических многообразий локально плоские подмногообразия играют роль, аналогичную роли вложенных подмногообразий в категории гладких многообразий . Нарушения локальной плоскостности характеризуют гребневую сеть и смятые структуры и применяются в обработке материалов и машиностроении .

Определение

Предположим, что d -мерное многообразие N вложено в n- мерное многообразие M (где d < n ). Если $x\in N,$ мы говорим, N что локально плоско в точке x, если существует окрестность $U\subset M$ такой x , что топологическая пара $(U,U\cap N)$ гомеоморфна ​ паре $(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{d})$, со стандартным включением $\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{n}.$ То есть существует гомеоморфизм $U\to \mathbb {R} ^{n}$ такое, образ что $U\cap N$ совпадает с $\mathbb {R} ^{d}$. В схематических терминах следующий квадрат должен коммутировать :

Мы называем N локально плоским в M, если N локально плоско в каждой точке. Аналогично, карта $\chi \colon N\to M$ называется локально плоским , даже если оно не является вложением, если каждый x в N имеет окрестность U , образ которой $\chi (U)$ локально плоский в M .

В многообразиях с краем

Приведенное выше определение предполагает, что если M имеет границу , x не является граничной точкой M. то Если x — точка на границе M , то определение модифицируется следующим образом. Мы говорим, что N в локально плоская граничной точке x множества M, если существует окрестность $U\subset M$ такой x , что топологическая пара $(U,U\cap N)$ гомеоморфна паре $(\mathbb {R} _{+}^{n},\mathbb {R} ^{d})$, где $\mathbb {R} _{+}^{n}$ является стандартным полупространством и $\mathbb {R} ^{d}$ включается как стандартное подпространство его границы.

Последствия

Локальная плоскостность вложения подразумевает сильные свойства, которыми не обладают все вложения. Браун (1962) доказал, что если d = n - 1, то N имеет воротник; то есть у него есть окрестность, гомеоморфная N × [0,1], причем само N соответствует N × 1/2 (если N находится внутри M ) или N × 0 (если N находится на границе M ). М ).

См. также

• Евклидово пространство
• Аккуратное подмногообразие

Ссылки

• Браун, Мортон (1962), Локально плоские вложения [ sic ] топологических многообразий. Анналы математики , Вторая серия, Том. 75 (1962), стр. 331–341.
• Мазур, Барри. О вложениях сфер. Бюллетень Американского математического общества , Vol. 65 (1959), вып. 2, стр. 59–65. http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183523034 .