Бесконечный набор
 | Эта статья нуждается в дополнительных цитатах для проверки . ( сентябрь 2011 г. ) |
В теории множеств бесконечное множество — это множество , которое не является конечным . Бесконечные множества могут быть счетными и несчетными . [1]
Характеристики
[ редактировать ]Множество натуральных чисел (существование которых постулируется аксиомой бесконечности ) бесконечно. [1] Это единственное множество, которого прямо требуется аксиомами бесконечность . Существование любого другого бесконечного множества можно доказать в теории множеств Цермело–Френкеля (ZFC), но только показав, что оно следует из существования натуральных чисел.
Множество бесконечно тогда и только тогда, когда для каждого натурального числа существует подмножество , которого мощность равна этому натуральному числу. [2]
Если аксиома выбора верна, то множество бесконечно тогда и только тогда, когда оно включает счетное бесконечное подмножество.
Если множество множеств бесконечно или содержит бесконечный элемент, то его объединение бесконечно. Набор мощности бесконечного множества бесконечен. [3] Любое надмножество бесконечного множества бесконечно. Если бесконечное множество разбить на конечное число подмножеств, то хотя бы одно из них должно быть бесконечным. Любое множество, которое можно отобразить в бесконечное множество, является бесконечным. Декартово произведение бесконечного множества и непустого множества бесконечно. Декартово произведение бесконечного числа множеств, каждое из которых содержит не менее двух элементов, либо пусто, либо бесконечно; если аксиома выбора верна, то оно бесконечно.
Если бесконечное множество является хорошо упорядоченным , то оно должно иметь непустое, нетривиальное подмножество, не имеющее наибольшего элемента.
В ZF набор бесконечен тогда и только тогда, когда набор степеней его набора степеней является дедекиндовым бесконечным множеством , имеющим собственное подмножество, равное самому себе. [4] Если аксиома выбора также верна, то бесконечные множества - это в точности бесконечные по Дедекинду множества.
Если бесконечное множество является хорошо упорядочиваемым множеством , то оно имеет множество неизоморфных правильных порядков.
История
[ редактировать ]Важные идеи, обсуждаемые Дэвидом Бертоном в его книге «История математики: введение», включают в себя то, как определять «элементы» или части набора, как определять уникальные элементы в наборе и как доказывать бесконечность. [5] Бертон также обсуждает доказательства различных типов бесконечности, включая счетные и несчетные множества. [5] Темы, используемые при сравнении бесконечных и конечных множеств, включают упорядоченные множества , мощность, эквивалентность, координатные плоскости , универсальные множества , отображение, подмножества, непрерывность и трансцендентность . [5] На идеи Кантора повлияли тригонометрия и иррациональные числа. Другие ключевые идеи теории бесконечных множеств, упомянутые Бертоном, Паулой, Нарли и Роджером, включают действительные числа, такие как π , целые числа и число Эйлера . [5] [6] [7]
И Бертон, и Роджерс используют конечные множества, чтобы начать объяснять бесконечные множества, используя такие концепции доказательства, как отображение, доказательство по индукции или доказательство от противного. [5] [7] Математические деревья также можно использовать для понимания бесконечных множеств. [8] Бертон также обсуждает доказательства бесконечных множеств, включая такие идеи, как объединения и подмножества. [5]
В главе 12 книги « История математики: введение » Бертон подчеркивает, как такие математики, как Цермело , Дедекинд , Галилей , Кронекер , Кантор и Больцано , исследовали теорию бесконечных множеств и повлияли на нее. Многие из этих математиков либо обсуждали бесконечность, либо иным образом дополняли идеи бесконечных множеств. Потенциальные исторические влияния, такие как история Пруссии в 1800-х годах, привели к увеличению научных математических знаний, включая теорию бесконечных множеств Кантора. [5]
Одним из потенциальных применений теории бесконечных множеств является генетика и биология. [9]
Примеры
[ редактировать ]Счётно бесконечные множества
[ редактировать ]Множество всех целых чисел , {..., −1, 0, 1, 2, ...} является счётным бесконечным множеством. Множество всех четных целых чисел также является счетным множеством, даже если оно является собственным подмножеством целых чисел. [3]
Множество всех рациональных чисел является счетным множеством, поскольку существует биекция множества целых чисел. [3]
Несчетно бесконечные множества
[ редактировать ]Множество всех действительных чисел представляет собой несчетно бесконечное множество. Множество всех иррациональных чисел также является несчетно бесконечным. [3]
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Перейти обратно: а б Багария, Джоан (2019), «Теория множеств» , в Залте, Эдвард Н. (редактор), Стэнфордская энциклопедия философии (изд. осени 2019 г.), Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет , получено 30 ноября 2019 г.
- ^ Булос, Джордж (1998). Логика, логика и логика (иллюстрированное изд.). Издательство Гарвардского университета. п. 262. ИСБН 978-0-674-53766-8 .
- ^ Перейти обратно: а б с д Колдуэлл, Крис. «Основной глоссарий — бесконечность» . primes.utm.edu . Проверено 29 ноября 2019 г.
- ^ Булос, Джордж (1994), «Преимущества честного труда перед воровством», Математика и разум (Амхерст, Массачусетс, 1991) , Logic Comput. Философия, Оксфордский университет. Пресс, Нью-Йорк, стр. 27–44, MR 1373892 . См., в частности, стр. 32–33 .
- ^ Перейти обратно: а б с д и ж г Бертон, Дэвид (2007). История математики: Введение (6-е изд.). Бостон: МакГроу Хилл. стр. 666–689. ISBN 9780073051895 .
- ^ Пала, Озан; Нарли, Серкан (15 декабря 2020 г.). «Роль формальных знаний в формировании доказательного образа: пример в контексте бесконечных множеств» . Турецкий журнал компьютерного и математического образования (TURCOMAT) . 11 (3): 584–618. дои : 10.16949/turkbilmat.702540 . S2CID 225253469 .
- ^ Перейти обратно: а б Роджерс, Нэнси (2000). Учимся рассуждать: введение в логику, множества и отношения . Нью-Йорк: Уайли. ISBN 978-1-118-16570-6 . OCLC 757394919 .
- ^ Голлин, Дж. Паскаль; Кнайп, Якоб (01 апреля 2021 г.). «Представления бесконечных древесных множеств» . Заказ . 38 (1): 79–96. arXiv : 1908.10327 . дои : 10.1007/s11083-020-09529-0 . ISSN 1572-9273 . S2CID 201646182 .
- ^ Шела, Сахарон; Стрюнгманн, Лутц (01 июня 2021 г.). «Бесконечная комбинаторика в математической биологии» . Биосистемы . 204 : 104392. doi : 10.1016/j.biosystems.2021.104392 . ISSN 0303-2647 . ПМИД 33731280 . S2CID 232298447 .
