Маленькая алгебра

Об алгебрах и группах Ли см . «Алгебра Ли Мальцева» .

В математике алгебра Мальцева (или алгебра Мальцева или Муфанга – Ли алгебра ) над полем является неассоциативной алгеброй , которая антисимметрична, так что

$xy=-yx$

и удовлетворяет тождеству Мальцева

$(xy)(xz)=((xy)z)x+((yz)x)x+((zx)x)y.$

Впервые они были определены Анатолием Мальцевым (1955).

Алгебры Мальцева играют роль в теории петель Муфанга , которая обобщает роль алгебр Ли в теории групп . А именно, так же, как касательное пространство единицы группы Ли образует алгебру Ли, касательное пространство единицы гладкой петли Муфанга образует алгебру Мальцева. Более того, так же, как группа Ли может быть восстановлена ​​по ее алгебре Ли при определенных дополнительных условиях, гладкая петля Муфанга может быть восстановлена ​​по ее алгебре Мальцева, если выполняются определенные дополнительные условия. Например, это справедливо для связного односвязного вещественно-аналитического цикла Муфанга.

Примеры

• Любая алгебра Ли является алгеброй Мальцева.
• Любую альтернативную алгебру можно превратить в алгебру Мальцева, определив произведение Мальцева как xy − yx .
• 7-сфере можно придать структуру гладкой петли Муфанга, отождествив ее с единичными октонионами . Касательное пространство идентичности этой петли Муфанга можно отождествить с 7-мерным пространством воображаемых октонионов. Мнимые октонионы образуют алгебру Мальцева с произведением Мальцева xy − yx .

См. также

• Мальцево-допустимая алгебра

Ссылки

• Эльдук, Альберто; Мьюнг, Хё К. (1994), Мутации альтернативных алгебр , Kluwer, ISBN  0-7923-2735-7
• Филиппов, В.Т. (2001) [1994], «Алгебра Мальцева» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Мальцев А. И. (1955), "Аналитические петли", Матем. Сб. , Новая серия, 36 (78): 569–576, МР   0069190