Алгебра Ли Мальцева

В математике алгебра Ли Мальцева , или алгебра Ли Мальцева , является обобщением рациональной нильпотентной алгебры Ли , и группы Мальцева аналогичны. Оба были введены Квилленом (1969 , Приложение А3) на основе работы ( Мальцев 1949 ).

Определение

Согласно Пападиме и Сучу (2004), алгебра Ли Мальцева является рациональной алгеброй Ли. $L$ вместе с полным, нисходящим ${\mathbb {Q} }$-векторная пространственная фильтрация $\{F_{r}L\}_{r\geq 1}$, такой, что:

• $F_{1}L=L$
• $[F_{r}L,F_{s}L]\subset F_{r+s}L$
• соответствующая градуированная алгебра Ли $\oplus _{r\geq 1}F_{r}L/F_{r+1}L$ порождается элементами первой степени.

Приложения

Связь с алгебрами Хопфа

Квиллен (1969 , Приложение A3) показал, что мальцевские алгебры Ли и группы Мальцева эквивалентны полным алгебрам Хопфа , т. е. алгебрам Хопфа H, наделенным такой фильтрацией , что H изоморфна $\varprojlim H/F_{n}H$. Функторы, участвующие в этих эквивалентностях, следующие: группа Мальцева G отображается в пополнение (относительно идеала дополнения ) своего группового кольца Q G с обратным, задаваемым группой группоподобных элементов алгебры Хопфа H , по существу те элементы 1 + x такие, что $\Delta (x)=x\otimes x$. От полных алгебр Хопфа к алгебрам Ли Мальцева можно получить, взяв (пополнение) примитивных элементов с обратным функтором, заданным пополнением универсальной обертывающей алгебры .

Эта эквивалентность категорий была использована Гудвилли (1986) для доказательства того, что после тензорирования с помощью Q относительная K -теория K( A , I ) для нильпотентного идеала I изоморфна относительным циклическим гомологиям HC( A , I ). Эта теорема стала новаторским результатом в области методов следов .

Теория Ходжа

Алгебры Ли Мальцева возникают также в теории смешанных структур Ходжа .

Ссылки

• Гудвилли, Томас Г. (1986), «Относительная алгебраическая K -теория и циклические гомологии», Annals of Mathematics , Second Series, 124 (2): 347–402, doi : 10.2307/1971283 , JSTOR   1971283 , MR   0855300
• Mal'cev, A. I. (1949), "Nilpotent torsion-free groups", Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya , 13 : 201–212, ISSN  0373-2436 , MR  0028843
• Пападима, Стефан; Сучу, Александр И. (2004), «Алгебры Ли Чена», Международные уведомления о математических исследованиях , 2004 (21): 1057–1086, arXiv : math/0307087 , doi : 10.1155/S1073792804132017 , ISSN   1073-7928 , MR   20370 49
• Куиллен, Дэниел (1969), «Рациональная теория гомотопии», Annals of Mathematics , Second Series, 90 (2): 205–295, doi : 10.2307/1970725 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1970725 , MR   0258031