Кривая Морделла
В алгебре — кривая Морделла это эллиптическая кривая вида y 2 = х 3 + n , где n — фиксированное ненулевое целое число . [1]
Эти кривые внимательно изучал Луис Морделл . [2] с точки зрения определения их целочисленных точек. Он показал, что каждая кривая Морделла содержит лишь конечное число целых точек ( x , y ). Другими словами, различия идеальных квадратов и идеальных кубов стремятся к бесконечности. Вопрос о скорости в принципе решался методом Бейкера . Гипотетически этот вопрос решается гипотезой Маршалла Холла .
Свойства [ править ]
- Если ( x , y ) является целой точкой на кривой Морделла, то то же самое относится и ( x , − y ).
- Если ( x , y ) является рациональной точкой на кривой Морделла с y ≠ 0, то также ( х 4 − 8 нх / 4 у 2 , − х 6 − 20 нкс 3 + 8 н 2 / 8 лет 3 ) . Более того, если xy ≠ 0 и n не равно 1 или −432, таким образом можно сгенерировать бесконечное количество рациональных решений. Эта формула известна как формула дублирования Баше . [3]
- Когда n ≠ 0, кривая Морделла имеет только конечное число целочисленных решений (см. теорему Зигеля о целых точках ).
- Существуют определенные значения n, для которых соответствующая кривая Морделла не имеет целочисленных решений; [1] эти значения:
- 6, 7, 11, 13, 14, 20, 21, 23, 29, 32, 34, 39, 42, ... (последовательность A054504 в OEIS ).
- −3, −5, −6, −9, −10, −12, −14, −16, −17, −21, −22, ... (последовательность A081121 в OEIS ).
- Конкретный случай, когда n = −2, также известен как сэндвич-теорема Ферма . [4]
Список решений [ править ]
Ниже приводится список решений кривой Морделла y. 2 = х 3 + п для | п | только решения с y ≤ 25. Показаны ≥ 0.
| н | ( х , у ) |
|---|---|
| 1 | (−1, 0), (0, 1), (2, 3) |
| 2 | (−1, 1) |
| 3 | (1, 2) |
| 4 | (0, 2) |
| 5 | (−1, 2) |
| 6 | – |
| 7 | – |
| 8 | (−2, 0), (1, 3), (2, 4), (46, 312) |
| 9 | (−2, 1), (0, 3), (3, 6), (6, 15), (40, 253) |
| 10 | (−1, 3) |
| 11 | – |
| 12 | (−2, 2), (13, 47) |
| 13 | – |
| 14 | – |
| 15 | (1, 4), (109, 1138) |
| 16 | (0, 4) |
| 17 | (−1, 4), (−2, 3), (2, 5), (4, 9), (8, 23), (43, 282), (52, 375), (5234, 378661) |
| 18 | (7, 19) |
| 19 | (5, 12) |
| 20 | – |
| 21 | – |
| 22 | (3, 7) |
| 23 | – |
| 24 | (−2, 4), (1, 5), (10, 32), (8158, 736844) |
| 25 | (0, 5) |
| н | ( х , у ) |
|---|---|
| −1 | (1, 0) |
| −2 | (3, 5) |
| −3 | – |
| −4 | (5, 11), (2, 2) |
| −5 | – |
| −6 | – |
| −7 | (2, 1), (32, 181) |
| −8 | (2, 0) |
| −9 | – |
| −10 | – |
| −11 | (3, 4), (15, 58) |
| −12 | – |
| −13 | (17, 70) |
| −14 | – |
| −15 | (4, 7) |
| −16 | – |
| −17 | – |
| −18 | (3, 3) |
| −19 | (7, 18) |
| −20 | (6, 14) |
| −21 | – |
| −22 | – |
| −23 | (3, 2) |
| −24 | – |
| −25 | (5, 10) |
В 1998 году Дж. Гебель, А. Петё, Х. Г. Циммер нашли все целые точки для 0 < | п | ≤ 10 4 . [5] [6]
В 2015 году М. А. Беннетт и А. Гадермарци вычислили целочисленные точки для 0 < | п | ≤ 10 7 . [7]
Ссылки [ править ]
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Вайсштейн, Эрик В. «Кривая Морделла» . Математический мир .
- ^ Луи Морделл (1969). Диофантовы уравнения .
- ^ Сильверман, Джозеф ; Тейт, Джон (1992). "Введение". Рациональные точки на эллиптических кривых (2-е изд.). стр. xvi.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Сэндвич-теорема Ферма» . Математический мир . Проверено 24 марта 2022 г.
- ^ Гебель, Дж.; Пето, А.; Циммер, Х.Г. (1998). «Об уравнении Морделла» . Математическая композиция . 110 (3): 335–367. дои : 10.1023/А:1000281602647 .
- ^ Последовательности OEIS : A081119 и OEIS : A081120 .
- ^ М. А. Беннетт, А. Гадермарци (2015). «Уравнение Морделла: классический подход» (PDF) . LMS Журнал вычислений и математики . 18 : 633–646. arXiv : 1311.7077 . дои : 10.1112/S1461157015000182 .
Внешние ссылки [ править ]
- Дж. Гебель, Данные о кривых Морделла для –10000 ≤ n ≤ 10000
- М. Беннетт, Данные по кривым Морделла для –10 7 ≤ n ≤ 10 7