Диаграмма Тейлора

Диаграммы Тейлора — это математические диаграммы , предназначенные для графического указания того, какое из нескольких приблизительных представлений (или моделей) системы, процесса или явления является наиболее реалистичным. Эта диаграмма, изобретенная Карлом Э. Тейлором в 1994 году (опубликована в 2001 году). ) облегчает сравнительную оценку различных моделей. Он используется для количественной оценки степени соответствия между смоделированным и наблюдаемым поведением с точки зрения трех статистических данных: коэффициента корреляции Пирсона , ошибки среднеквадратической ошибки (RMSE) и стандартного отклонения .

Хотя диаграммы Тейлора в основном использовались для оценки моделей, предназначенных для изучения климата и других аспектов окружающей среды Земли, их можно использовать для целей, не связанных с наукой об окружающей среде (например, для количественной оценки и визуального отображения того, насколько хорошо модели термоядерной энергии отражают реальность). ).

Диаграммы Тейлора можно построить с помощью ряда различных пакетов программного обеспечения с открытым исходным кодом и коммерческих программ, включая: GrADS, МВУ, МАТЛАБ, НКЛ, Питон, Р, и ЦДАТ.

Пример диаграммы

Пример диаграммы Тейлора, показанной на рисунке 1. представляет собой краткое описание относительной способности , с которой несколько моделей глобального климата моделируют пространственную структуру среднегодовых осадков. Сравниваются восемь моделей, каждая из которых обозначена на диаграмме отдельной буквой, и расстояние между каждой моделью и точкой, помеченной как «наблюдаемая», является мерой того, насколько реалистично каждая модель воспроизводит наблюдения. Для каждой модели строятся три статистические данные: коэффициент корреляции Пирсона (определяющий сходство картины между смоделированными и наблюдаемыми полями) связан с азимутальным углом (синие контуры); центрированная среднеквадратическая ошибка в моделируемом поле пропорциональна расстоянию от точки на оси X, обозначенной как «наблюдаемая» (зеленые контуры); а стандартное отклонение моделируемого шаблона пропорционально радиальному расстоянию от начала координат (черные контуры). Например, из этой диаграммы видно, что для модели F коэффициент корреляции составляет около 0,65, среднеквадратическая ошибка составляет около 2,6 мм/день, а стандартное отклонение составляет около 3,3 мм/день. Стандартное отклонение модели F явно превышает стандартное отклонение наблюдаемого поля (обозначено пунктирным контуром на радиальном расстоянии 2,9 мм/день).

Рис. 1: Образец диаграммы Тейлора, показывающий статистическое сравнение с наблюдениями восьми модельных оценок глобальной структуры среднегодовых осадков.

Относительные преимущества различных моделей можно сделать из рисунка 1. Смоделированные закономерности, которые хорошо согласуются с наблюдениями, будут лежать ближе всего к точке, помеченной как «наблюдаемая» на оси X. Эти модели имеют относительно высокую корреляцию и низкие среднеквадратические ошибки. Модели, лежащие на пунктирной дуге, имеют правильное стандартное отклонение (что указывает на то, что вариации модели имеют правильную амплитуду). На рисунке 1 видно, что модели A и C в целом лучше всего согласуются с наблюдениями, каждая из которых имеет примерно одинаковую среднеквадратичную ошибку. Модель A, однако, имеет несколько более высокую корреляцию с наблюдениями и имеет то же стандартное отклонение, что и наблюдаемое, тогда как модель C имеет слишком небольшую пространственную изменчивость (со стандартным отклонением 2,3 мм/день по сравнению с наблюдаемым значением 2,9 мм/день). ). Из моделей с худшими характеристиками модель E имеет низкую корреляцию моделей, в то время как модель D имеет вариации, которые намного больше, чем наблюдаемые, что в обоих случаях приводит к относительно большой (~ 3 мм/день) центрированной среднеквадратической ошибке в полях осадков. Хотя модели D и B имеют примерно одинаковую корреляцию с наблюдениями, модель B моделирует амплитуду изменений (т. е. стандартное отклонение) гораздо лучше, чем модель D, что приводит к меньшей среднеквадратической ошибке.

Теоретическая основа

Диаграммы Тейлора отображают статистику, полезную для оценки сходства переменной, моделируемой моделью (в более общем смысле, «тестового» поля) с ее наблюдаемым аналогом (в более общем смысле, «эталонным» полем). Математически три статистики, отображаемые на диаграмме Тейлора, связаны формулой распространения ошибки (которую можно получить непосредственно из определения статистики, появляющейся в ней):

$E^{\prime 2}=\sigma _{\Delta }^{2}=\sigma _{r}^{2}+\sigma _{t}^{2}-2\sigma _{r}\sigma _{t}\rho$,

где ρ — коэффициент корреляции между тестовым и эталонным полями, E ’ — центрированная среднеквадратическая разница между полями (с предварительно удаленной любой разницей в средних значениях), и $\sigma _{r}$ и $\sigma _{t}$ – стандартные отклонения эталонного и тестового полей соответственно. Закон косинусов ,

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \phi ,$

(где a , b и c — длины сторон треугольника, а $\phi$ — угол между сторонами a и b ) дает ключ к формированию геометрической взаимосвязи между четырьмя величинами, лежащими в основе диаграммы Тейлора (показанной на рисунке 2).

Рис. 2: Геометрическая связь между статистиками, построенными на диаграммах Тейлора по закону косинусов.

Стандартное отклонение наблюдаемого поля $(\sigma _{r})$ сторона a — стандартное отклонение тестового поля. $(\sigma _{t})$ является стороной b , центрированная среднеквадратическая разница между двумя полями ( E ′) равна стороне c , а косинус угла между сторонами a и b является коэффициентом корреляции ( ρ ).

Средние значения полей вычитаются перед вычислением их статистики второго порядка, поэтому диаграмма не предоставляет информацию об общих отклонениях ( средняя ошибка ), а характеризует исключительно центрированную ошибку шаблона.

Тейлора

Среди нескольких предложенных незначительных вариаций диаграммы (см. Taylor, 2001) ):

• расширение на второй «квадрант» (слева от квадранта, показанного на рисунке 1) для учета отрицательных корреляций;
• нормализация размерных величин (деление среднеквадратической разности и стандартного отклонения «тестового» поля на стандартное отклонение наблюдений) так, чтобы «наблюдаемая» точка была нанесена на единичное расстояние от начала координат вдоль оси x, и статистика по разным полям (с разными единицами измерения) может отображаться на одном графике;
• отсутствие на схеме изолиний, чтобы было легче увидеть нанесенные точки;
• использование стрелки для соединения двух связанных точек на диаграмме. Например, можно провести стрелку от точки, представляющей более старую версию модели, к более новой версии, что позволяет более четко указать, движется ли модель к «истине», как это определено наблюдениями.

Одним из основных ограничений диаграммы Тейлора является отсутствие явной информации о предвзятости прогноза. Вариант диаграммы Тейлора, учитывающий погрешность прогноза, представлен солнечной диаграммой (см. Wadoux et al., 2022). ).